25 – Saitenschwingungen 4 – Orthogonalität der Eigenfunktionen

 

Im letzten Artikel wurde damit begonnen, die Differentialgleichung der Saitenschwingung zu lösen. Mit den Randbedingungen konnten allerdings nur zwei der Unbekannten bestimmt werden. Um das Problem vollständig lösen zu können, müssen wir noch die Anfangsbedingungen betrachten. Um die dabei durchgeführte Rechnung nachvollziehen zu können, benötigen wir einige Informationen über die Orthogonalität der Eigenfunktionen. Diese Beziehungen sollen in diesem Artikel erläutert werden.

Die Differentialgleichung der Saitenschwingung lautet für qz = 0

Sw^{\prime\prime} = \mu \ddot w

und hat die Gesamtlösung

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

mit den Ableitungen

w^{\prime\prime} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j^{\prime\prime} \left( x \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

und

\ddot w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( {-\omega _j^2 } \right)\left( {A_j ^* \cos \omega _j t+B_j ^* \sin \omega _j t} \right)}

Einsetzen in die Differentialgleichung:

S \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime\prime} \left( x \right) \cdot \left( {A_j^* \cos \omega _j t+B_j^* \sin \omega _j t} \right)}

= \mu \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j \left( x \right) \cdot \left( {-\omega _j^2 } \right)\left( {A_j^* \cos \omega _j t+B_j^* \sin \omega _j t} \right)}

Wir teilen auf beiden Seiten in der Summe durch den identischen Ausdruck in der Klammer:

S \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j ^{\prime\prime} \left( x \right)} = \mu \cdot \sum\limits_{j = 1}^\infty {-\omega _j^2 \hat w_j \left( x \right)}

Was für die gesamte Summe gilt, muss auch für jedes einzelne Glied der Summe gelten, wir lassen daher das Summenzeichen weg:

S\hat w_j ^{\prime\prime} \left( x \right) = -\omega _j^2 \mu \hat w_j \left( x \right)

Dies entspricht der örtlichen DGL. Da wir das Verhalten von miteinander kombinierten Eigenfunktionen testen wollen, multiplizieren wir auf beiden Seiten mit \hat w_k

Über die gesamte Länge l der Saite integriert liefert dies

\int_0^l {S \hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} = -\omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx}

Die linke Seite wird partiell integriert und es werden die Randbedingungen der beidseitig festgehaltenen Saite eingesetzt, so dass man

\int_0^l {S \hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = \omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx}

erhält.

Nebenrechnung: partielle Integration

\int_0^l {S \underbrace {\hat w_j ^{\prime\prime} }_{g^{\prime} }\underbrace {\hat w_k }_f dx} = S\left[ {\left. {\hat w_k \hat w_j^{\prime} } \right|_0^l -\int_0^l {\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} } dx} \right]

Randbedingungen einsetzen:

\hat w_k \left( 0 \right) = \hat w_k \left( l \right) = \hat w_j \left( 0 \right) = \hat w_j \left( l \right) = 0

Ergebnis:

\int_0^l {S\hat w_j ^{\prime\prime} \hat w_k dx} = -\int_0^l { S \hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx}

Für zwei verschiedene Eigenkreisfrequenzen \omega _j ,\omega _k muss gelten:

\int_0^l {S\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = \omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx}

\int_0^l {S\hat w_k^{\prime} \hat w_j^{\prime} dx} = \omega _k^2 \int_0^l {\mu \hat w_k \hat w_j dx}

Wir subtrahieren die Gleichungen voneinander und erhalten:

0 = \left( {\omega _j^2 -\omega _k^2 } \right)\int_0^l {\mu \hat w_k \hat w_j dx}

Da für unterschiedliche Werte k ≠ j gilt

\omega _j^2 \ne \omega _k^2

folgt daraus, dass der andere Faktor 0 werden muss:

\int_0^l {\mu \hat w_k \hat w_j dx} = 0

Dieses Ergebnis setzen wir oben in die integrierten Gleichungen ein:

\int_0^l {S \hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} = -\omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx} \quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \int_0^l {S \hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} = 0

\int_0^l {\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = \omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j \hat w_k dx} \quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \int_0^l {S \hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} = 0

Für zwei gleiche Eigenkreisfrequenzen (k = j) gilt:

\int_0^l {S\hat w_j^{\prime\prime} \hat w_j dx} = -\omega _j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j^2 dx}

In diesen Beziehungen können prinzipiell die Vorspannkraft S und die Massenbelegung μ vom Ort abhängig sein. Nimmt man beide als konstant an, so lassen sie sich vor das Integral ziehen.

Das Ergebnis der Orthogonalitätsbeziehungen ist dann:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} \int_0^l {\hat w_j \hat w_k dx} \\ {\int_0^l {\hat w_j^{\prime\prime} \hat w_k dx} } \\ {\int_0^l {\hat w_j^{\prime} \hat w_k^{\prime} dx} } \\ \end{array} } \right\}\begin{array}{*{20}{c}} = 0\quad \forall j \ne k \\ { \ne 0\quad \forall j = k} \\ \end{array}

\int_0^l {\hat w_j^{\prime\prime} \hat w_j dx} = -k_j^2 \int_0^l {\mu \hat w_j^2 dx}

Bei der beidseitig festgehaltenen Saite gilt immer:

\int_0^l {\hat w_j^2 dx} = \frac{l} {2}

Also:

Eine Eigenfunktion mit einer anderen multipliziert und über die Saite integriert ergibt 0.
Mit sich selber multipliziert und integriert ergibt sich ein endlicher Wert ungleich 0, bei der Saite l/2.