In diesem Artikel wird die partielle Differentialgleichung vorgestellt und an ein paar Beispielen erläutert.
Definition Partielle Differentialgleichung
Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL, englisch PDE = “partial differential equation”) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion mehrerer Veränderlicher und mindestens eine partielle Ableitung dieser Funktion enthält.
Man spricht von einer partiellen Differentialgleichung k-ter Ordnung, wenn k die höchste auftretende Ableitugnsordnung ist.
Notation
Sei eine Funktion dreier Veränderlicher. Die folgenden Bezeichnungen können als partielle Ableitung von
nach
interpretiert werden:
Sei eine Funktion dreier Veränderlicher. Die folgenden Bezeichnungen können als partielle Ableitung von
nach
interpretiert werden:
Sei eine Vektorfunktion mit drei Komponenten und drei Veränderlichen. Beispiel:
Dann ist
die Ableitung der dritten Komponente nach der zweiten Veränderlichen (y).
Beispiele
Partielle DGLn werden zur Modellbildung in vielen Gebieten der Natur- und Ingenieurwissenschaften und inzwischen auch im Finanzwesen verwendet. Vereinfachte Modellgleichungen sind etwa:
-
Wärmeleitgleichung:
-
Schwingung von Saite und Membran:
-
Schwingung von Balken und Platte:
(auf die Funktion den Laplaceoperator anwenden, auf der Ergebnis erneut anwenden) -
Poissongleichung (statische Wärmegleichung):
-
Transportgleichung:
-
Burgersgleichung:
In allen Beispielen war die gesuchte Funktion skalar. Ist die gesuchte Funktion eine Vektorfunktion, hat man es in der Regel mit einem System von partiellen Differentialgleichungen zu tun
Beispiele:
- lineare Elastizität
- Maxwell’sche Gleichung
- Navier-Stokes-Gleichung
Im Rahmen dieser Einführungsvorlesung werden wir uns damit aber nicht beschäftigen.
Differentialoperator L
Alle DGLn in den Beispielen können mit Hilfe eines Differentialoperators in der Form
geschrieben werden. Dabei hängt die rechte Seite nicht von der Funktion
ab. Der Operator
bildet dabei eine Funktion auf eine andere ab, nämlich
auf
.
Funktional: Bildet eine Funktion auf ein Skalar ab.
Operator: Bildet eine Funktion auf eine andere ab.
Definition:
heißt linear, wenn der Differentialoperator
linear ist, d.h. wenn
mit
-konstante Skalare
-hinreichend oft differenzierbare Funktionen (so oft differenzierbar, wie es der Operator erfordert)
Ansonsten ist der Differentialoperator nichtlinear, die DGL ist dann auch nicht-linear.
Beispiel:
Die Burgers-Gleichung ist nicht-linear, denn sie ist bezüglich der Addition nicht abgeschlossen:
Nichtlineare Gleichungen werden oft in der Form oder
geschrieben, da die Lösungsstruktur für homogene und inhomogene Gleichungen nicht so aufgebaut ist wie bei linearen Gleichungen.
Beispiel:
Definition: Eine Differentialgleichung mit linearem Differentialoperator heißt homogen, wenn sie die Form
besitzt.
Typisierung von partiellen Differentialgleichungen
Definition: Eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung
heißt
-
elliptisch, wenn
positiv oder negativ definit ist,
-
parabolisch, wenn
semidefinit ist und
vollen Rang hat (keine Nullzeile nach Gaußß-Elimination),
-
hyperbolisch, wenn
indefinit ist.
Dabei ist eine
Matrix,
eine Vektorfunktion und
eine Skalarfunktion.
Arbeitsweise der Gleichung:
erster Summand: von den Gradienten bilden (Vektorfunktion), mit
multiplizieren (weiterhin Vektorfunktion), Divergenz bilden (wird zu skalarer Funktion).
zweiter Summand: von den Gradienten bilden (Vektorfunktion), mit der Vektorfunktion
skalar multiplizieren (wird zu skalarer Funktion)
dritter Summand: Skalarfunktion mit
multiplizieren (skalare Funktion)
Falls vom Ort abhängig ist, definiert man diese Eigenschaft punktweise. Wenn der Typ nicht für alle
der selbe ist, treten besondere Schwierigkeiten auf. Solche Fälle werden in dieser Vorlesung nicht betrachtet.