v01 – Einführung

In diesem Artikel wird die partielle Differentialgleichung vorgestellt und an ein paar Beispielen erläutert.

Definition Partielle Differentialgleichung

Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL, englisch PDE = “partial differential equation”) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion mehrerer Veränderlicher und mindestens eine partielle Ableitung dieser Funktion enthält.
Man spricht von einer partiellen Differentialgleichung k-ter Ordnung, wenn k die höchste auftretende Ableitugnsordnung ist.

Notation

Sei $u\left( {x,y,z} \right)$ eine Funktion dreier Veränderlicher. Die folgenden Bezeichnungen können als partielle Ableitung von $u$ nach $x$ interpretiert werden:

$\frac{{\partial u}} {{\partial x}},\quad {u_x},\quad {u_{,x}},\quad {D^{\left( {1,0,0} \right)}}u,\quad {\partial _x}u,\quad {D_x}u$

Sei $u\left( {x_1,x_2,x_3} \right)$ eine Funktion dreier Veränderlicher. Die folgenden Bezeichnungen können als partielle Ableitung von $u$ nach $x_2$ interpretiert werden:

$\frac{{\partial u}} {{\partial {x_2}}},\quad {u_{{x_2}}},\quad {u_{,x2}},\quad {u_{,2}},\quad {D^{\left( {0,1,0} \right)}}u,\quad {\partial _{x2}}u,\quad {D_{x2}}u$

Sei $u\left( {x,y,z} \right)$ eine Vektorfunktion mit drei Komponenten und drei Veränderlichen. Beispiel:

$u\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x+y+z} \\ {x-y-z} \\ {xyz} \\ \end{array} } \right)$

Dann ist

${u_{3,y}} = \left( {xyz} \right)' = xz$

die Ableitung der dritten Komponente nach der zweiten Veränderlichen (y).

Beispiele

Partielle DGLn werden zur Modellbildung in vielen Gebieten der Natur- und Ingenieurwissenschaften und inzwischen auch im Finanzwesen verwendet. Vereinfachte Modellgleichungen sind etwa:

Wärmeleitgleichung: ${\partial _t}u-\Delta u = f$
Schwingung von Saite und Membran: ${\partial _{tt}}u-\Delta u = 0$
Schwingung von Balken und Platte: ${\partial _{tt}}u-{\Delta ^2}u = 0$
(auf die Funktion den Laplaceoperator anwenden, auf der Ergebnis erneut anwenden)
Poissongleichung (statische Wärmegleichung): $-\Delta u = f$
Transportgleichung: ${\partial _t}u+a{\partial _x}u = 0$
Burgersgleichung: ${\partial _t}u+u{\partial _x}u = 0$

In allen Beispielen war die gesuchte Funktion $u$ skalar. Ist die gesuchte Funktion eine Vektorfunktion, hat man es in der Regel mit einem System von partiellen Differentialgleichungen zu tun

Beispiele:

lineare Elastizität
Maxwell’sche Gleichung
Navier-Stokes-Gleichung

Im Rahmen dieser Einführungsvorlesung werden wir uns damit aber nicht beschäftigen.

Differentialoperator L

Alle DGLn in den Beispielen können mit Hilfe eines Differentialoperators $L$ in der Form

$Lu=f$

geschrieben werden. Dabei hängt die rechte Seite $f$ nicht von der Funktion $u$ ab. Der Operator $L$ bildet dabei eine Funktion auf eine andere ab, nämlich $u$ auf $f$ .

Funktion: Bildet einen Vektor auf einen anderen Vektor ab.
Funktional: Bildet eine Funktion auf ein Skalar ab.
Operator: Bildet eine Funktion auf eine andere ab.

Definition:

$Lu=f$ heißt linear, wenn der Differentialoperator $L$ linear ist, d.h. wenn

$L\left( {\alpha u+\beta v} \right) = \alpha Lu+\beta Lv$

mit

$\alpha ,\beta$ -konstante Skalare

$u,v$ -hinreichend oft differenzierbare Funktionen (so oft differenzierbar, wie es der Operator erfordert)

Ansonsten ist der Differentialoperator nichtlinear, die DGL ist dann auch nicht-linear.

Beispiel:

Die Burgers-Gleichung ${\partial _t}u+u{\partial _x}u = 0$ ist nicht-linear, denn sie ist bezüglich der Addition nicht abgeschlossen:

$L\left( {u+v} \right) = {\partial _t}\left( {u+v} \right)+\left( {u+v} \right){\partial _x}\left( {u+v} \right) = 0$

$= {\partial _t}u+{\partial _t}v+u{\partial _x}u+v{\partial _x}u+u{\partial _x}v+v{\partial _x}v$

$\ne Lu+Lv = {\partial _t}u+u{\partial _x}u+{\partial _t}v+v{\partial _x}v$

Nichtlineare Gleichungen werden oft in der Form $Lu = 0$ oder $F\left( u \right) = 0$ geschrieben, da die Lösungsstruktur für homogene und inhomogene Gleichungen nicht so aufgebaut ist wie bei linearen Gleichungen.

Beispiel:

${\partial _{tt}}u-\Delta u = \underbrace {\left( {{\partial _{tt}}-\Delta } \right)}_Lu$

Definition: Eine Differentialgleichung mit linearem Differentialoperator $L$ heißt homogen, wenn sie die Form $Lu=0$ besitzt.

Typisierung von partiellen Differentialgleichungen

Definition: Eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

$-\nabla \cdot \left( {A\nabla u} \right)+b \cdot \nabla u+cu = f$

heißt

elliptisch, wenn $A$ positiv oder negativ definit ist,
parabolisch, wenn $A$ semidefinit ist und $\left[A|b\right]$ vollen Rang hat (keine Nullzeile nach Gaußß-Elimination),
hyperbolisch, wenn $A$ indefinit ist.

Dabei ist $A$ eine $d \times d$ Matrix, $b$ eine Vektorfunktion und $c$ eine Skalarfunktion.

Arbeitsweise der Gleichung:

erster Summand: von $u$ den Gradienten bilden (Vektorfunktion), mit $A$ multiplizieren (weiterhin Vektorfunktion), Divergenz bilden (wird zu skalarer Funktion).

zweiter Summand: von $u$ den Gradienten bilden (Vektorfunktion), mit der Vektorfunktion $b$ skalar multiplizieren (wird zu skalarer Funktion)

dritter Summand: Skalarfunktion $c$ mit $u$ multiplizieren (skalare Funktion)

Falls $A=A\left(x\right)$ vom Ort abhängig ist, definiert man diese Eigenschaft punktweise. Wenn der Typ nicht für alle $x\in\Omega$ der selbe ist, treten besondere Schwierigkeiten auf. Solche Fälle werden in dieser Vorlesung nicht betrachtet.

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