v01 – Einführung

 

In diesem Artikel wird die partielle Differentialgleichung vorgestellt und an ein paar Beispielen erläutert.

Definition Partielle Differentialgleichung

Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDGL, englisch PDE = “partial differential equation”) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion mehrerer Veränderlicher und mindestens eine partielle Ableitung dieser Funktion enthält.
Man spricht von einer partiellen Differentialgleichung k-ter Ordnung, wenn k die höchste auftretende Ableitugnsordnung ist.

Notation

Sei u\left( {x,y,z} \right) eine Funktion dreier Veränderlicher. Die folgenden Bezeichnungen können als partielle Ableitung von u nach x interpretiert werden:

\frac{{\partial u}} {{\partial x}},\quad {u_x},\quad {u_{,x}},\quad {D^{\left( {1,0,0} \right)}}u,\quad {\partial _x}u,\quad {D_x}u

Sei u\left( {x_1,x_2,x_3} \right) eine Funktion dreier Veränderlicher. Die folgenden Bezeichnungen können als partielle Ableitung von u nach x_2 interpretiert werden:

\frac{{\partial u}} {{\partial {x_2}}},\quad {u_{{x_2}}},\quad {u_{,x2}},\quad {u_{,2}},\quad {D^{\left( {0,1,0} \right)}}u,\quad {\partial _{x2}}u,\quad {D_{x2}}u

Sei u\left( {x,y,z} \right) eine Vektorfunktion mit drei Komponenten und drei Veränderlichen. Beispiel:

u\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {x+y+z}  \\    {x-y-z}  \\    {xyz}  \\   \end{array} } \right)

Dann ist

{u_{3,y}} = \left( {xyz} \right)' = xz

die Ableitung der dritten Komponente nach der zweiten Veränderlichen (y).

Beispiele

Partielle DGLn werden zur Modellbildung in vielen Gebieten der Natur- und Ingenieurwissenschaften und inzwischen auch im Finanzwesen verwendet. Vereinfachte Modellgleichungen sind etwa:

  1. Wärmeleitgleichung: {\partial _t}u-\Delta u = f

  2. Schwingung von Saite und Membran: {\partial _{tt}}u-\Delta u = 0

  3. Schwingung von Balken und Platte: {\partial _{tt}}u-{\Delta ^2}u = 0
    (auf die Funktion den Laplaceoperator anwenden, auf der Ergebnis erneut anwenden)

  4. Poissongleichung (statische Wärmegleichung): -\Delta u = f

  5. Transportgleichung: {\partial _t}u+a{\partial _x}u = 0

  6. Burgersgleichung: {\partial _t}u+u{\partial _x}u = 0

In allen Beispielen war die gesuchte Funktion u skalar. Ist die gesuchte Funktion eine Vektorfunktion, hat man es in der Regel mit einem System von partiellen Differentialgleichungen zu tun

Beispiele:

  • lineare Elastizität
  • Maxwell’sche Gleichung
  • Navier-Stokes-Gleichung

Im Rahmen dieser Einführungsvorlesung werden wir uns damit aber nicht beschäftigen.

Differentialoperator L

Alle DGLn in den Beispielen können mit Hilfe eines Differentialoperators L in der Form

Lu=f

geschrieben werden. Dabei hängt die rechte Seite f nicht von der Funktion u ab. Der Operator L bildet dabei eine Funktion auf eine andere ab, nämlich u auf f.

Funktion: Bildet einen Vektor auf einen anderen Vektor ab.
Funktional: Bildet eine Funktion auf ein Skalar ab.
Operator: Bildet eine Funktion auf eine andere ab.

Definition:

Lu=f heißt linear, wenn der Differentialoperator L linear ist, d.h. wenn

L\left( {\alpha u+\beta v} \right) = \alpha Lu+\beta Lv

mit

\alpha ,\beta-konstante Skalare

u,v-hinreichend oft differenzierbare Funktionen (so oft differenzierbar, wie es der Operator erfordert)

Ansonsten ist der Differentialoperator nichtlinear, die DGL ist dann auch nicht-linear.

Beispiel:

Die Burgers-Gleichung {\partial _t}u+u{\partial _x}u = 0 ist nicht-linear, denn sie ist bezüglich der Addition nicht abgeschlossen:

L\left( {u+v} \right) = {\partial _t}\left( {u+v} \right)+\left( {u+v} \right){\partial _x}\left( {u+v} \right) = 0

= {\partial _t}u+{\partial _t}v+u{\partial _x}u+v{\partial _x}u+u{\partial _x}v+v{\partial _x}v

\ne Lu+Lv = {\partial _t}u+u{\partial _x}u+{\partial _t}v+v{\partial _x}v

Nichtlineare Gleichungen werden oft in der Form Lu = 0 oder F\left( u \right) = 0 geschrieben, da die Lösungsstruktur für homogene und inhomogene Gleichungen nicht so aufgebaut ist wie bei linearen Gleichungen.

Beispiel:

{\partial _{tt}}u-\Delta u = \underbrace {\left( {{\partial _{tt}}-\Delta } \right)}_Lu

Definition: Eine Differentialgleichung mit linearem Differentialoperator L heißt homogen, wenn sie die Form Lu=0 besitzt.

Typisierung von partiellen Differentialgleichungen

Definition: Eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

-\nabla  \cdot \left( {A\nabla u} \right)+b \cdot \nabla u+cu = f

heißt

  • elliptisch, wenn A positiv oder negativ definit ist,
  • parabolisch, wenn A semidefinit ist und \left[A|b\right] vollen Rang hat (keine Nullzeile nach Gaußß-Elimination),
  • hyperbolisch, wenn A indefinit ist.

Dabei ist A eine d \times d Matrix, b eine Vektorfunktion und c eine Skalarfunktion.

Arbeitsweise der Gleichung:

erster Summand: von u den Gradienten bilden (Vektorfunktion), mit A multiplizieren (weiterhin Vektorfunktion), Divergenz bilden (wird zu skalarer Funktion).

zweiter Summand: von u den Gradienten bilden (Vektorfunktion), mit der Vektorfunktion b skalar multiplizieren (wird zu skalarer Funktion)

dritter Summand: Skalarfunktion c mit u multiplizieren (skalare Funktion)

Falls A=A\left(x\right) vom Ort abhängig ist, definiert man diese Eigenschaft punktweise. Wenn der Typ nicht für alle x\in\Omega der selbe ist, treten besondere Schwierigkeiten auf. Solche Fälle werden in dieser Vorlesung nicht betrachtet.