U 08.1 – Photomultiplier

 

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Abbildung 1: Schematische Darstellung eines Photomultipliers.

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Abbildung 2: Vereinfachte Geometrie des Photomultipliers für die Abschätzungen.

Schätzen Sie für den abgebildeten Photomultiplier (Abb. 1 und 2) die Grenzen der Zeitauflösung für das Messsignal ab.

  1. Bestimmen Sie zunächst die gesamte Laufzeit des wachsenden Elektronenpulses für das Messsignal von der Photokathode bis zur Anode.
  2. Schätzen Sie den Einfluss der Anfangsenergie des ersten Elektrons auf die gesamte Laufzeit ab. Verwenden Sie dazu violettes Licht. Die Photokathode besteht aus Cs mit einer Austrittsarbeit von {W_A} = 2\;eV.
  3. Schätzen Sie den Einfluss der Startposition des ersten Elektrons auf die gesamte Laufzeit ab. (Start von Punkt a oder b)

Lösung

Hinweis: Wir gehen bei den folgenden Rechnungen davon aus, dass es 10 Dynoden gibt und jedes Elektron 5 neue Elektronen auslöst.

a) Laufzeit des Elektronenpulses

Für den Laufweg der Elektronen von der Photokathode bis zur Anode gilt:

x = \frac{{8\;cm}}{{\sin 30^\circ }} = 16\;cm

Da pro Elektron und pro Dynode eine Verfünffachung der Elektronen stattfindet gilt für die Gesamtverstärkung:

Verst. = {5^{10}} \approx {10^7}

Für die Beschleunigerspannung pro Dynode erhalten wir:

\frac{{\Delta U}}{{Dynode}} = 200\;V

Damit gilt für die Energie pro Dynode:

{\left. {{E_{{e^-}}}} \right|_{Dynode}} = 200\;eV

Damit lässt sich nun die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ermitteln:

E = \frac{1}{2}m{v^2}\quad \Rightarrow \quad v = \sqrt {\frac{{2E}}{{{m_e}}}} \approx \sqrt {\frac{{2 \cdot 200\;eV}}{{500\;\frac{{keV}}{{{c^2}}}}}} = \sqrt {8 \times {{10}^{-4}} \cdot {c^2}} \approx 0,03 \cdot c

\Rightarrow \quad v \approx 9 \times {10^6}\frac{m}{s}

\Rightarrow \quad \bar v = \frac{v}{2} \approx 4,5 \times {10^6}\frac{m}{s}

Damit lässt sich nun die Laufzeit bestimmen:

t = \frac{x}{{\bar v}} = \frac{{16 \times {{10}^{-2}}m}}{{4,5 \times {{10}^6}\frac{m}{s}}} \approx 4 \times {10^{-8}}s = \underline{\underline {40\;ns}}

b) Einfluss der Anfangsenergie auf die Laufzeit

Für nahes UV gilt:

\lambda \approx 380\;nm\quad \Rightarrow \quad {E_{UV}} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \approx 3\;eV

Des Weiteren gilt:

{\left. {{W_A}} \right|_{Cs}} = 2\;eV

\Rightarrow \quad {\left. {\Delta E} \right|_{Start}} = {E_{UV}}-{\left. {{W_A}} \right|_{Cs}} = 1\;eV

Damit gilt für den relativen Einfluss der Anfangsenergie auf die Laufzeit:

\frac{{\Delta t}}{t} = \frac{{\Delta v}}{v} = \frac{1}{2}\frac{{\Delta E}}{E} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1\;eV}}{{200\;eV}} = 2,5 \times {10^{-3}}

Nebenrechnung:

E = \frac{1}{2}m{v^2}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dE}}{{dv}} = mv\quad \Rightarrow \quad dE = mv\;dv\quad |:E

\Rightarrow \quad \frac{{dE}}{E} = \frac{{mv}}{{\frac{1}{2}m{v^2}}}dv\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\frac{{dE}}{E} = \frac{{dv}}{v}\quad \Rightarrow \quad \frac{{\Delta v}}{v} = \frac{1}{2}\frac{{\Delta E}}{E}

Für die Flugzeit von der Kathode bis zur ersten Dynode gilt:

{\left. t \right|_{K-1.D}} = \frac{t}{{10}} = 4\;ns

\frac{{\Delta t}}{{{{\left. t \right|}_{K-1.D}}}} = 2,5 \times {10^{-3}}

\Rightarrow \quad \Delta t = 10\;ps

c) Einfluss der Startposition

E = const\quad \Rightarrow \quad v = const

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta t}}{t} = \frac{{\Delta x}}{x}

Mit Hilfe des Kosinussatzes erhalten wir:

\Delta x = \frac{{2\;cm}}{{\cos 30^\circ }}-\sqrt {{{\left( {5\;mm} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{2\;cm}}{{\cos 30^\circ }}} \right)}^2}-2 \cdot 5\;mm \cdot \frac{{2\;cm}}{{\cos 30^\circ }} \cdot \cos 30^\circ }

\Rightarrow \quad \Delta x = 4,16\;mm

x = \frac{{2\;cm}}{{\cos 30^\circ }} = 2,3\;mm

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta t}}{t} = \frac{{\Delta x}}{x} = 0,18\qquad \left( { \approx 0,1} \right)

\Rightarrow \quad {\left. {\Delta t} \right|_{K-1.D}} = 0,18 \cdot 4\;ns = 721.28\;ps\qquad \left( { \approx 400\;ps} \right)

\mathcal{J}\mathcal{K}