.01.4 – Physikalisches Pendel

 

Aufgabe physikalisches Pendel

Ein im Punkt A aufgehängtes physikalisches Pendel mit dem Massenträgheitsmoment ΘA wird durch das Moment M(t) = M0 sin(Ω t) zu Schwingungen angeregt. Man ermittle für kleine Ausschläge den Verlauf φ(t) unter den Anfangsbedingungen

\varphi \left( 0 \right) = 0

und

\dot \varphi \left( 0 \right) = 0

  1. für den Fall

    \Omega = \frac{1}{2} \omega_1

    und

  2. für den Fall

    \Omega = \omega_1

Gegeben: ΘA, s, M0, G

Lösung

Beim ersten Fall ist die Erregerfrequenz das doppelte der Eigenkreisfrequenz das Systems. Beim zweiten Fall entspricht die Erregerfrequenz der Eigenkreisfrequenz, es kommt zur Resonanz (Schwingung wird immer stärker).

Schritt 1:

Freigeschnittenes System

Schritt 2:

Winkelbeziehungen

Schritt 3:

Der Schwerpunktsatz wäre nur nötig, um die Auflagerreaktionen zu beschreiben. Da diese nicht gesucht sind, betrachten wir nur den Drallsatz:

\Theta_A \ddot \varphi = M \left( t \right)-G s \sin \varphi

Aus der Aufgabenstellung:

M \left( t \right) = M_0 \sin \Omega t

Es folgt:

\Theta_A \ddot \varphi+m g s \sin \varphi = M_0 \sin \Omega t

\ddot \varphi+\frac{m g s}{\Theta_A} \sin \varphi = \frac{M_0}{\Theta_A} \sin \Omega t

Schritt 4:

Linearisierung des Systems:

\sin \varphi = \varphi, \quad \quad \quad \cos \varphi = 1

\ddot \varphi+\frac{m g s}{\Theta_A} \varphi = \frac{M_0}{\Theta_A} \sin \Omega t

Wir ersetzen:

\ddot \varphi+\omega_1^2 \varphi = f_0 \sin \Omega t

\omega_1 = \sqrt{\frac{m g s}{\Theta_A}}

f_0 = \frac{M_0}{\Theta_A}

Gesamtlösung

\varphi = \varphi_h+\varphi_p

Homogene Lösung:

\ddot \varphi_h+\omega_1^2 \varphi_h = 0

\varphi_h = A_h \cos \left( \omega_1t \right)+B_h \sin \left( \omega_1 t \right)

Partikuläre Lösung:

\ddot \varphi_p+\omega_1^2 \varphi_p = f_0 \sin \Omega t

Wir nutzen einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

\varphi_p = A_p \cos \Omega t+B_p \sin \Omega t

Dabei müssen wir cos und sin benutzen, da wir nur mit sin nur eine Integrationskonstante erhalten würden. Wir brauchen aber zwei, da die Differentialgleichung von zweiter Ordnung ist.

zweite Ableitung:

\ddot \varphi_p =-\Omega^2 \left( A_p \cos \Omega t+B_p \sin \Omega t \right)

Einsetzen in die partikuläre Lösung:

\left( \omega_1^2-\Omega^2 \right) \varphi_p = f_0 \sin \Omega t

\Rightarrow \quad \left( \omega_1^2-\Omega^2 \right) \left( A_p \cos \Omega t+B_p \sin \Omega t \right) = f_0 \sin \Omega t

Koeffizientenvergleich ergibt:

A_p = 0

B_p = \frac{f_0}{\omega_1^2-\Omega^2}

Wir erhalten also für die Gesamtlösung:

\varphi = A_h \cos \omega_1 t+B_h \sin \omega_1 t+\frac{f_0}{\omega_1^2-\Omega^2} \sin \Omega t

Anfangsbedingungen

\varphi \left( 0 \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad A_h = 0

\dot \varphi \left( 0 \right) = 0

\dot \varphi = B_h \omega_1 \cos \omega_1 t+\frac{f_0 \Omega}{\omega_1^2-\Omega^2}  \cos \Omega t

\Rightarrow B_h =-\frac{f_0}{\omega_1^2-\Omega^2} \frac{\Omega}{\omega_1}

Die Funktion ist somit:

\varphi \left( t \right) = \frac{f_0}{\omega_1^2-\Omega^2} \left[ \sin \Omega t-\frac{\Omega}{\omega_1} \sin \omega_1 t \right]

Beantwortung der Aufgabenstellung

a )

\Omega = \frac{1}{2} \omega_1

eingesetzt:

\phi \left( t \right) = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\frac{{\omega _1^2 }} {4}}}\left[ {\sin \left( {\frac{1} {2}\omega _1 t} \right)-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]

\phi \left( t \right) = \frac{{4f_0 }} {{3\omega _1^2 }}\left[ {\sin \left( {\frac{1} {2}\omega _1 t} \right)-\frac{1} {2}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]

b )

Wenn wir für die Erregerkreisfrequenz die Eigenkreisfrequenz setzen, wird bei der Berechnung der Auslenkung durch 0 geteilt. Wir müssen daher den Grenzwert mit der Formel von L’Hospital berechnen.

Die Regel lautet:
Seien f und g differenzierbar auf einem offenen Intervall I. Sei a ∈ I. Es gelte f(a) = g(a) = 0, g(x) ≠ 0 für alle x ∈ I \ {a} und g’(a) ≠ 0. Dann gilt:

\lim \limits_{x \to a,x \ne a} \frac{{f\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}} = \frac{{f ^{\prime}\left( a \right)}} {{g ^{\prime}\left( a \right)}}

Für genauere Informationen zu der Regel von L’Hospital siehe diesen Artikel aus Analysis 1

Auf die Aufgabenstellung angewendet:

\phi \left( t \right) = \lim \limits_{\Omega  \to \omega _1 } \left\{ {\frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\left[ {\sin \left( {\Omega t} \right)-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]} \right\}

= \lim \limits_{\Omega  \to \omega _1 } \left\{ {\frac{{\frac{\partial } {{\partial \Omega }}\left( {f_0 \left[ {\sin \left( {\Omega t} \right)-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]} \right)}} {{\frac{\partial } {{\partial \Omega }}\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}} \right\}

= \lim \limits_{\Omega  \to \omega _1 } \frac{{f_0 \left( {\sin \left( {\Omega t} \right)t-\frac{{\sin \left( {\omega _1 t} \right)}} {{\omega _1 }}} \right)}} {{-2\Omega }}

= \frac{{f_0 }} {{2\omega _1^2 }}\left[ {\sin \left( {\omega _1 t} \right)-\omega _1 t\cos \left( {\omega _1 t} \right)} \right]

Graph der beiden Funktionen

Graph der beiden Bewegungsfunktionen