
Ein im Punkt A aufgehängtes physikalisches Pendel mit dem Massenträgheitsmoment ΘA wird durch das Moment M(t) = M0 sin(Ω t) zu Schwingungen angeregt. Man ermittle für kleine Ausschläge den Verlauf φ(t) unter den Anfangsbedingungen

und

- für den Fall

und
-
für den Fall
Gegeben: ΘA, s, M0, G
Lösung
Beim ersten Fall ist die Erregerfrequenz das doppelte der Eigenkreisfrequenz das Systems. Beim zweiten Fall entspricht die Erregerfrequenz der Eigenkreisfrequenz, es kommt zur Resonanz (Schwingung wird immer stärker).
Schritt 1:

Schritt 2:

Schritt 3:
Der Schwerpunktsatz wäre nur nötig, um die Auflagerreaktionen zu beschreiben. Da diese nicht gesucht sind, betrachten wir nur den Drallsatz:

Aus der Aufgabenstellung:

Es folgt:


Schritt 4:
Linearisierung des Systems:


Wir ersetzen:



Gesamtlösung

Homogene Lösung:


Partikuläre Lösung:

Wir nutzen einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

Dabei müssen wir cos und sin benutzen, da wir nur mit sin nur eine Integrationskonstante erhalten würden. Wir brauchen aber zwei, da die Differentialgleichung von zweiter Ordnung ist.
zweite Ableitung:

Einsetzen in die partikuläre Lösung:


Koeffizientenvergleich ergibt:


Wir erhalten also für die Gesamtlösung:

Anfangsbedingungen




Die Funktion ist somit:
![<br />
\varphi \left( t \right) = \frac{f_0}{\omega_1^2-\Omega^2} \left[ \sin \Omega t-\frac{\Omega}{\omega_1} \sin \omega_1 t \right]<br />
<br />
\varphi \left( t \right) = \frac{f_0}{\omega_1^2-\Omega^2} \left[ \sin \Omega t-\frac{\Omega}{\omega_1} \sin \omega_1 t \right]<br />](http://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex-0efce2aa5b9c91fe5054e9515af64262.gif)
Beantwortung der Aufgabenstellung
a )

eingesetzt:
![<br />
\phi \left( t \right) = \frac{{f_0 }}<br />
{{\omega _1^2 -\frac{{\omega _1^2 }}<br />
{4}}}\left[ {\sin \left( {\frac{1}<br />
{2}\omega _1 t} \right)-\frac{\Omega }<br />
{{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]<br />
<br />
\phi \left( t \right) = \frac{{f_0 }}<br />
{{\omega _1^2 -\frac{{\omega _1^2 }}<br />
{4}}}\left[ {\sin \left( {\frac{1}<br />
{2}\omega _1 t} \right)-\frac{\Omega }<br />
{{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]<br />](http://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex-da2f47e0517e9e32f0c36467c28dfb15.gif)
![<br />
\phi \left( t \right) = \frac{{4f_0 }}<br />
{{3\omega _1^2 }}\left[ {\sin \left( {\frac{1}<br />
{2}\omega _1 t} \right)-\frac{1}<br />
{2}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]<br />
<br />
\phi \left( t \right) = \frac{{4f_0 }}<br />
{{3\omega _1^2 }}\left[ {\sin \left( {\frac{1}<br />
{2}\omega _1 t} \right)-\frac{1}<br />
{2}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]<br />](http://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex-8d65a8146be49e5a8d4dd13548b85956.gif)
b )
Wenn wir für die Erregerkreisfrequenz die Eigenkreisfrequenz setzen, wird bei der Berechnung der Auslenkung durch 0 geteilt. Wir müssen daher den Grenzwert mit der Formel von L’Hospital berechnen.
Die Regel lautet:
Seien f und g differenzierbar auf einem offenen Intervall I. Sei a ∈ I. Es gelte f(a) = g(a) = 0, g(x) ≠ 0 für alle x ∈ I \ {a} und g’(a) ≠ 0. Dann gilt:

Für genauere Informationen zu der Regel von L’Hospital siehe diesen Artikel aus Analysis 1
Auf die Aufgabenstellung angewendet:
![<br />
\phi \left( t \right) = \lim \limits_{\Omega \to \omega _1 } \left\{ {\frac{{f_0 }}<br />
{{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\left[ {\sin \left( {\Omega t} \right)-\frac{\Omega }<br />
{{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]} \right\}<br />
<br />
\phi \left( t \right) = \lim \limits_{\Omega \to \omega _1 } \left\{ {\frac{{f_0 }}<br />
{{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\left[ {\sin \left( {\Omega t} \right)-\frac{\Omega }<br />
{{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]} \right\}<br />](http://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex-5db5690f3c731b52e0ebe1f3d5398655.gif)
![<br />
= \lim \limits_{\Omega \to \omega _1 } \left\{ {\frac{{\frac{\partial }<br />
{{\partial \Omega }}\left( {f_0 \left[ {\sin \left( {\Omega t} \right)-\frac{\Omega }<br />
{{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]} \right)}}<br />
{{\frac{\partial }<br />
{{\partial \Omega }}\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}} \right\}<br />
<br />
= \lim \limits_{\Omega \to \omega _1 } \left\{ {\frac{{\frac{\partial }<br />
{{\partial \Omega }}\left( {f_0 \left[ {\sin \left( {\Omega t} \right)-\frac{\Omega }<br />
{{\omega _1 }}\sin \left( {\omega _1 t} \right)} \right]} \right)}}<br />
{{\frac{\partial }<br />
{{\partial \Omega }}\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}} \right\}<br />](http://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex-792738f86c2a393069ebd7b0ea26971f.gif)

![<br />
= \frac{{f_0 }}<br />
{{2\omega _1^2 }}\left[ {\sin \left( {\omega _1 t} \right)-\omega _1 t\cos \left( {\omega _1 t} \right)} \right]<br />
<br />
= \frac{{f_0 }}<br />
{{2\omega _1^2 }}\left[ {\sin \left( {\omega _1 t} \right)-\omega _1 t\cos \left( {\omega _1 t} \right)} \right]<br />](http://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex-b67c1ccc8ede23778eac8f8d227a6d46.gif)
Graph der beiden Funktionen


