04.2 – Poissongleichung, 5-Punkte-Stern, finite Differenzen

 

Gegeben ist die Poisson-Gleichung

-\Delta u = f\quad in\:\:\Omega = {\left( {0,1} \right)^2}

\frac{{\partial u}}{{\partial n}} = v\quad auf\:\:{\Gamma _N} = \left\{ {\left( {0,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}|0 \leq y \leq 1} \right\}

u = w\quad auf\:\:{\Gamma _D} = \partial \Omega \backslash {\Gamma _N}

Es soll ein Gitter mit den Punkten \left( {{x_i},{y_i}} \right) = \left( {i/3,\:\:j/3} \right) verwendet werden. Für die Neumann-Randbedingung soll die Ableitung durch einen zentralen Differenzenquotienten approximiert werden. Dazu sind zusätzliche Punkte \left( {{x_{i-1}},\:{y_j}} \right) einzuführen.
Stellen Sie das Gleichungssystem auf, das bei der Diskretisierung mittels finiter Differenzen entsteht!

Lösung

Wie in der Aufgabenstellung gefordert, zerlegen wir das Einheitsquadrat in neun gleiche Felder. Die gesuchte Funktion ist auf den Randpunkten {w_0} bis {w_9} bereits bekannt. Auf den anderen beiden Randpunkten kennen wir nur die Ableitung:

finite-differenzen-methode-diskretisierung

Den Laplace-Operator modellieren wir mit Hilfe der Finite-Differenzen-Methode, indem wir in beiden Raumdimensionen durch Differenzenquotienten approximieren und dabei die oben, unten, links und rechts an den jeweiligen Knoten ankreuzenden Nachbarn nutzen:

finite-differenzen-funf-punkte-stern

Es ergibt sich:

-{\Delta _h}{u_h}: = -\frac{{\frac{{{u_{i+1,j}}-{u_{i,j}}}}{h}-\frac{{{u_{i,j}}-{u_{i-1,j}}}}{h}}}{h}-\frac{{\frac{{{u_{i,j+1}}-{u_{i,j}}}}{h}-\frac{{{u_{i,j}}-{u_{i,j-1}}}}{h}}}{h}

= -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{i+1,j}}+{u_{i-1,j}}+{u_{i,j+1}}+{u_{i,j-1}}-4{u_{i,j}}} \right)

Beispielsweise lautet der Fünf-Punkte-Stern für den Knoten 5:

{f_5} = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_6}+{u_4}+{w_8}+{u_2}-4{u_5}} \right)

Die 5-Punkte-Sterne für die Knoten 2, 3 und 6 ergeben sich analog. Problematisch wird es bei den Knoten 1 und 4, da hier keine linken Nachbarn vorhanden sind. An diesen Punkten ist aber die Ableitung gegeben. Wir können daher mit der zentralen Differenz die Hilfspunkte 0 und -1 erschaffen:

I:\quad \quad \frac{{{u_0}-{u_2}}}{{2h}} = {v_1}\quad \Rightarrow \quad {u_0} = {u_2}+2h\:{v_1}

II:\quad \quad \frac{{{u_{-1}}-{u_5}}}{{2h}} = {v_1}\quad \Rightarrow \quad {u_{-1}} = {u_5}+2h\:{v_2}

Die Differenzen sind hier so herum, da die Normalenableitung am linken Rand nach außen (links) zeigt, statt in Koordinatenrichtung (rechts). Mit den Hilfspunkten ergeben sich die fehlenden Differenzensterne:

Knoten 1: {f_1} = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_2}+{u_0}+{u_4}+{w_0}-4{u_1}} \right)

= -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_2}+\left( {{u_2}+2h\:{v_1}} \right)+{u_4}+{w_0}-4{u_1}} \right)

Knoten 4: {f_4} = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_5}+{u_{-1}}+{w_9}+{u_1}-4{u_4}} \right)

= -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_5}+\left( {{u_5}+2h\:{v_2}} \right)+{w_9}+{u_1}-4{u_4}} \right)

Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-4} & 2 & {} & {} & {} & {} \\  1 & {-4} & 1 & {} & 1 & {} \\{} & 1 & {-4} & {} & {} & 1 \\  1 & {} & {} & {-4} & 2 & {} \\{} & 1 & {} & 1 & {-4} & 1 \\{} & {} & 1 & {} & 1 & {-4} \\  \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\{{u_2}} \\{{u_3}} \\{{u_4}} \\{{u_5}} \\{{u_6}} \\  \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_1}+2\frac{{{v_1}}}{h}+\frac{{{w_1}}}{{{h^2}}}} \\{{f_2}+\frac{{{w_1}}}{{{h^2}}}} \\{{f_3}+\frac{{{w_2}+{w_4}}}{{{h^2}}}} \\{{f_4}+\frac{{{w_9}}}{{{h^2}}}+2\frac{{{v_2}}}{h}} \\{{f_5}+\frac{{{w_8}}}{{{h^2}}}} \\{{f_6}+\frac{{{w_5}+{w_7}}}{{{h^2}}}} \\  \end{array} } \right)

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