Prinzipien der Mechanik – Stabiles und instabiles Gleichgewicht

 

Beispiel 1: Zwei Halbkreise

prinzipien-mechanik-gesamtpotential-beispiel-aufgabe

Geometrische Zusammenhänge:

dh = \left( {r-s} \right)\cos \beta

H = \left( {R+r} \right)\cos \alpha

Gesucht ist eine Bedingung an den Schwerpunktabstand s, so dass das System stabil ist.

Kinematik:

h = H-dh = \left( {R+r} \right)\cos \alpha -\left( {r-s} \right)\cos \beta

Wir brauchen außerdem einen Zusammenhang zwischen den beiden Winkeln. Hierfür benutzen wir die Tatsache, dass der kleine Halbkreis auf dem großen abrollt. Die abgerollten Strecken auf den Umfängen der Halbkreise sind daher gleich:

R\alpha = r\left( {\beta -\alpha } \right)\quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{{R+r}}{r}\alpha

Für die potentielle Energie des kleinen Halbkreises gilt:

U\left( \alpha \right) = mg{h_{SP}} = mgh = mg\left( {\left( {R+r} \right)\cos \alpha -\left( {r-s} \right)\cos \left( {\frac{{R+r}}{r}\alpha } \right)} \right)

Um ein Gleichgewicht zu finden, müssen wir die Ableitung dieser Energie gleich 0 setzen:

{U^\prime }\left( \alpha \right) = mg\left( {-\left( {R+r} \right)\sin \alpha +\frac{{\left( {r-s} \right)\left( {R+r} \right)}}{r}\sin \left( {\frac{{R+r}}{r}\alpha } \right)} \right)

\quad \quad = mg\left( {R+r} \right)\left( {-\sin \alpha +\frac{{\left( {r-s} \right)}}{r}\sin \left( {\frac{{R+r}}{r}\alpha } \right)} \right)\mathop = \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad \alpha = 0

Um nun noch zu prüfen, ob ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht vorliegt, müssen wir prüfen, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ ist:

{U^{\prime \prime }}\left( \alpha \right) = mg\left( {-\left( {R+r} \right)\cos \alpha +\frac{{\left( {r-s} \right){{\left( {R+r} \right)}^2}}}{{{r^2}}}\cos \left( {\frac{{R+r}}{r}\alpha } \right)} \right)

\quad \quad = mg\frac{{R+r}}{{{r^2}}}\left( {-{r^2}\cos \alpha +\left( {r-s} \right)\left( {R+r} \right)\cos \left( {\frac{{R+r}}{r}\alpha } \right)} \right)

{U^{\prime \prime }}\left( 0 \right) = mg\frac{{R+r}}{{{r^2}}}\left( {-{r^2}+\left( {r-s} \right)\left( {R+r} \right)} \right) = \underbrace {mg\frac{{R+r}}{{{r^2}}}}_{ > 0}\left( {rR-s\left( {R+r} \right)} \right)

Das System ist bei \alpha = 0 stabil, wenn {U^{\prime \prime }}\left( 0 \right) > 0 ist. Es muss also gelten:

rR-s\left( {R+r} \right) > 0\quad \Rightarrow \quad s < \frac{{rR}}{{R+r}}

Ansonsten liegt ein labiles Gleichgewicht vor.

Beispiel 2: Garagentor

prinzipien-mechanik-gesamtpotential-garagentor-beispiel

Gesucht sind die Gleichgewichtslagen des Garagentors, Art des Gleichgewichts.

Gegeben:

r,\:\:a \ll r,\:\:G,\:\:c,\:\:\frac{{Gr}}{{c{a^2}}} = 3

Bei \alpha = 0 ist das Tor geschlossen, die Feder ist maximal gespannt. Bei \alpha = \pi ist das Tor offen, die Feder ist entspannt.

Potential der Feder (Federenergie):

{\Pi _F} = \frac{1}{2}c \cdot \Delta {l^2} = \frac{1}{2}c{\left( {x-{x_0}} \right)^2}

Ausgangslänge {x_0} der Feder bei \alpha = \pi:

{x_0} = r-a

Momentane Länge x der Feder nach dem Kosinussatz:

garagentor-ausschnitt-prinzip-mechanik-gesamtpotential

{x^2} = {r^2}+{a^2}+2ar\cos \alpha

\Delta x = x-{x_0} = x-\left( {r-a} \right)\quad \Rightarrow \quad x = \Delta x+r-a

Einsetzen:

{\left( {\Delta x+r-a} \right)^2} = {a^2}+{r^2}+2ar\cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \Delta {x^2}+{r^2}+{a^2}+2r\Delta x-2a\Delta x-2ra = {a^2}+{r^2}+2ar\cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \Delta {x^2}+2r\Delta x-2a\Delta x-2ra = 2ar\cos \alpha

Mit r \gg aund r \gg \Delta x erhalten wir:

\quad \Rightarrow \quad \underbrace {\Delta {x^2}}_{ \approx 0}+2r\Delta x\underbrace {-2a\Delta x}_{ \approx 0}-2ra = 2ar\cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad 2r\Delta x-2ra = 2ar\cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \Delta x-a = a\cos \alpha

\quad \Rightarrow \quad \Delta x = a\left( {\cos \alpha +1} \right)

Daraus folgt für die Federenergie:

{\Pi _F} = \frac{1}{2}c{a^2}{\left( {\cos \alpha +1} \right)^2}

Nun kommen wir zum Potential der Gewichtskraft auf das Garagentor. Wir definieren dieses Potential als 0, wenn das Tor geschlossen ist:

\alpha = 0\quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{\pi }{2}\quad \Rightarrow \quad {\Pi _G} = 0

In allen anderen Fällen gilt:

{\Pi _G} = G\left( {r-r\sin \beta } \right),\quad 0 \leq \beta \leq \frac{\pi }{2}

Geometriezusammenhang:

2r\sin \beta -r\cos \alpha = r

\quad \Rightarrow \quad \sin \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \alpha +1} \right)

\quad \Rightarrow \quad {\Pi _G} = \frac{{Gr}}{2}\left( {1-\cos \alpha } \right)

Die Gesamtenergie setzt sich aus den beiden Anteilen der Feder und des Tors zusammen:

\Pi = {\Pi _F}+{\Pi _G} = \frac{1}{2}c{a^2}{\left( {\cos \alpha +1} \right)^2}+\frac{{Gr}}{2}\left( {1-\cos \alpha } \right)

Dies ist eine Funktion des Winkels \alpha. Um das Gleichgewicht zu finden, setzen wir die Ableitung gleich 0:

\Pi = \Pi \left( \alpha \right)

{\Pi ^\prime } = \frac{{d\Pi }}{{d\alpha }} = \frac{{Gr}}{2}\sin \alpha +c{a^2}\left( {\cos \alpha +1} \right)\left( {-\sin \alpha } \right)\mathop = \limits^! 0

\quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = 0\quad \vee \quad \frac{{Gr}}{2}-c{a^2}\left( {\cos \alpha +1} \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad {\alpha _1} = 0,\quad {\alpha _2} = \pi

Für die andere Bedingung setzen wir das gegebene Verhältnis ein:

2\left( {\cos \alpha +1} \right) = 3\quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad {\alpha _3} = \frac{\pi }{3}

Für das Stabilitätsverhalten müssen wir die drei Werte für \alpha in die zweite Ableitung einsetzen:

{\Pi ^{\prime \prime }}\left( \alpha \right) = \frac{{{d^2}\Pi }}{{d{\alpha ^2}}} = \frac{{Gr}}{2}\cos \alpha -c{a^2}\left[ {\cos \alpha \left( {\cos \alpha +1} \right)+\sin \alpha \left( {-\sin \alpha } \right)} \right]

{\Pi ^{\prime \prime }}\left( 0 \right) = \frac{{Gr}}{2}-2c{a^2} = \frac{{Gr}}{2}-\frac{2}{3}Gr = -\frac{1}{6}Gr < 0\quad \Rightarrow \quad {\text{instabil}}

{\Pi ^{\prime \prime }}\left( \pi \right) = -\frac{{Gr}}{2} < 0\quad \Rightarrow \quad {\text{instabil}}

{\Pi ^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{Gr}}{4} > 0\quad \Rightarrow \quad {\text{stabil}}

Zusatzfrage: Wie groß muss c sein, damit für \alpha = 0 ein indifferentes GGW herrscht?

Ansatz:

{\Pi ^{\prime \prime }}\left( 0 \right)\mathop = \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{Gr}}{2}-2{c^*}{a^2} = 0\quad \Rightarrow \quad {c^*} = \frac{{Gr}}{{4{a^2}}}

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