U03.6 – Quantile

 

Sei X eine reelle ZV mit der W-Dichte f(x) = 1/2 sin(x) für0 \leq x \leq \pi, bzw. = 0 sonst.
Eine X-Stichprobe vom Umfang n = 5 (z.B. erzeugt mit dem R-Befehl “acos(1-2*runif(5))”)
lieferte die Realisierungen 1.51, 1.98, 1.56, 2.65, 0.97.
Bestimmen und vergleichen Sie die α-Quantile dieser Stichprobe und die α -Quantile der
Verteilung von X für α = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9.

Lösung

Zur Erinnerung:

Quantile sind Kennzahlen für Messreihen und Verteilungen
Ein α-Quantil ist ein Wert, der die Messwerte so aufteilt, dass der Anteil α der Daten kleiner ist und der Anteil 1-α der Daten größer. Bei einem 95%-Quantil sind also 95% der Messwerte kleiner als das Quantil und 5% der Messwerte größer.

\begin{array}{*{20}c}    i &\vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5  \\ \hline    {x_i } &\vline &  {1.51} &\vline &  {1.98} &\vline &  {1.56} &\vline &  {2.65} &\vline &  {0.97}  \\ \hline    {x_{i:5} } &\vline &  {0.97} &\vline &  {1.51} &\vline &  {1.56} &\vline &  {1.98} &\vline &  {2.65}  \\   \end{array}

\begin{array}{*{20}c}    \alpha  &\vline &  {0.1} &\vline &  {0.3} &\vline &  {0.5} &\vline &  {0.7} &\vline &  {0.9}  \\ \hline    {X_{\left\lfloor {5\alpha } \right\rfloor +1:5} } &\vline &  {0.97} &\vline &  {1.51} &\vline &  {1.56} &\vline &  {1.98} &\vline &  {2.65}  \\   \end{array}

Um nun die tatsächlichen α -Quantile der Verteilung von X zu berechnen, benötigen wir zunächste die Verteilungsfunktion, welche wir durch Integration der Dichtefunktion bekommen:

Dichte von X: f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{1} {2}\sin \left( x \right)} & {0 \leq x \leq \pi }  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right.

Verteilungsfunktion zu f: F\left( x \right) = \int\limits_{-\infty }^x {f\left( t \right)dt}

Da das Integral für alle Werte unterhalb von 0 = 0 ist, setzen wir als untere Grenze auch 0 und nicht minus unendlich:

\int\limits_0^x {\frac{1} {2}} \sin t = \left[ {-\frac{1} {2}\cos t} \right]_0^x  = -\frac{1} {2}\cos x+\frac{1} {2} = \frac{1} {2}\left( {1-\cos x} \right)

\Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    0 & {x < 0}  \\    {\frac{1} {2}\left( {1-\cos x} \right)} & {0 \leq x \leq \pi }  \\    1 & {x > \pi }  \\   \end{array} } \right.

Um nun für ein bestimmtes α-Quantil den entsprechenden Wert für x zu bekommen, müssen wir die Umkehrfunktion bilden:

y = \frac{1} {2}\left( {1-\cos x} \right)\quad  \Rightarrow \quad x = \arccos \left( {1-2y} \right)\quad  \Rightarrow \quad x_\alpha   = \arccos \left( {1-2\alpha } \right)

\begin{array}{*{20}c}    \alpha  &\vline &  {0.1} &\vline &  {0.3} &\vline &  {0.5} &\vline &  {0.7} &\vline &  {0.9}  \\ \hline    {X_{\left\lfloor {5\alpha } \right\rfloor +1:5} } &\vline &  {0.97} &\vline &  {1.51} &\vline &  {1.56} &\vline &  {1.98} &\vline &  {2.65}  \\ \hline    {x_\alpha  } &\vline &  {0.64} &\vline &  {1.16} &\vline &  {1.57} &\vline &  {1.98} &\vline &  {2.5}  \\   \end{array}

An dieser Stelle sei noch einmal an die Bedeutung eines α-Quantils erinnert.
Z.B. ist das 0.3-Quantil der x-Wert, unterhalb dessen sich 30% der Verteilung befinden:

Grafik

\mathcal{J}\mathcal{K}