10 – Quecksilberthermometer als Messglied

 

Zur Bestimmung der Temperatur {T_S}\left( t \right) einer strömenden Flüssigkeit soll eine Messanordnung mit einem konventionellen Quecksilberthermometer als Messglied eingesetzt werden. Bei dieser Messmethode wird die auf dem Thermometer angezeigte Temperatur T stets dem wahren Wert {T_S} der Flüssigkeit nacheilen. Die Temperaturdifferenz T-{T_S} ist ein Maß für die Beurteilung der Genauigkeit der Temperaturmessung.
Zur Abschätzung der Temperaturdifferenz soll eine adiabate Rohrströmung betrachtet werden, in der das Thermometer, ein zylinderförmiger Körper mit der Mantelfläche A und der Länge l , eingetaucht ist. Die mittlere Dichte der Thermometerkörpers sei \rho und seine mittlere spezifische Wärmekapazität c . Der Wärmeübergangskoeffizient zwischen der Flüssigkeit und der Mantelfläche der Thermometers wurde zu h bestimmt.

  1. Ermitteln Sie aus einer Energiebilanz die Differentialgleichung für die instationäre Änderung der Temperatur T des Thermometers.
  2. Bestimmen Sie die Lösungen der Differentialgleichung für den Fall, dass sie die Temperaturen der Flüssigkeit zur Zeit t = 0 sprunghaft von {T_0} auf {T_f} ändert; die Anfangstemperatur des Thermometers sei gleich {T_0}.
  3. Wie groß ist die Halbwertszeit {t_H} für diesen Vorgang?
  4. Welche geometrische Bedingung muss das Thermometer erfüllen, damit die Halbwertszeit {t_H} und damit der Fehler in der Temperaturmessung möglichst klein wird?

Lösung

a )

Skizze des Problems:

quecksilberthermometer-messglied-warmeubertragung

Um die Differentialgleichung aufzustellen, brauchen wir zuerst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik für das System „Thermometer“. Dieses Mal ist das System nicht stationär, daher können wir die Änderung der Energie nicht weglassen. Diese Energie teilt sich auf in kinetische, potentielle und innere Energie. Da sich das Thermometer nicht bewegt, gibt es keine kinetische Energie. Auch die potentielle Energie ändert sich nicht, da das Thermometer nicht hochgehoben wird.

\frac{{dE}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\underbrace {\sum {\dot mh} }_{ = 0}

\underbrace {\frac{{d{E_{kin}}}}{{dt}}}_{ = 0}+\underbrace {\frac{{d{E_{pot}}}}{{dt}}}_{ = 0}+\frac{{dU}}{{dt}} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}}

Der einzige Wärmestrom ist der konvektive aus der Strömung um das Thermometer:

{\dot Q_K} = hA\left( {{T_S}-T} \right)

Dieser Strom ist positiv, wenn die Temperatur der Strömung größer als die des Thermometers ist. Ansonsten ist er negativ. Die Änderung der inneren Energie des Thermometers können wir schreiben als

dU = m \cdot c \cdot dT = \rho \cdot v \cdot c \cdot dT

Eingesetzt:

\frac{{dU}}{{dt}} = {{\dot Q}_K} = h \cdot A\left( {{T_S}-T} \right)

\rho \cdot v \cdot c \cdot \frac{{dT}}{{dt}} = h \cdot A\left( {{T_S}-T} \right)

Damit erhalten wir die DGL:

\frac{{dT}}{{dt}} = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}\left( {{T_S}-T} \right)

Entdimensionieren der Temperatur:

\theta = \frac{{T-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}}

Nach oben rechts kommt die Größe, die rausfliegen soll (hier die unbekannte Temperatur der Strömung). Unten rechts muss das gleiche stehen. Nach unten links kommt eine beliebige Referenztemperatur. Die Konstante vereinfacht sich später, wenn wir eine gegebene Temperatur benutzen.

Umstellen und ableiten:

T = \theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)+{T_S}

dT = d\theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)

Dies setzen wir oben ein:

\frac{{dT}}{{dt}} = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}\left( {{T_S}-T} \right)\quad \Rightarrow \quad \left( {{T_0}-{T_S}} \right)\frac{{d\theta }}{{dt}} = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}\left( {{T_S}-T} \right)

\theta = \frac{{T-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}}\quad \Rightarrow \quad T-{T_S} = \theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)\quad \Rightarrow \quad {T_S}-T = -\theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \left( {{T_0}-{T_S}} \right)\frac{{d\theta }}{{dt}} = -\frac{{hA}}{{\rho Vc}}\theta \left( {{T_0}-{T_S}} \right)

Kürzen:

\frac{{d\theta }}{{dt}}+\frac{{hA}}{{\rho Vc}}\theta = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{dt}}+B \cdot \theta = 0,\quad B = \frac{{hA}}{{\rho Vc}},\quad B = \left[ {\frac{1}{s}} \right]

Entdimensionieren der Zeit:

\tau = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}t = B \cdot t\quad \Rightarrow \quad d\tau = B \cdot dt\quad \Rightarrow \quad dt = \frac{{d\tau }}{B}

Wir setzen wieder oben ein:

\frac{{d\theta }}{{dt}}+B \cdot \theta = 0,\quad B = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tau }} \cdot B+\theta \cdot B = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\theta }}{{d\tau }}+\theta = 0

Diese Dimensionslose DGL ist fast immer gleich. Sie kann bei Z3 nachgeschlagen werden!

b )

Das Fluid ändert seine Temperatur sprunghaft von {T_0} auf {T_f} und behält dann diese Temperatur bei. Die Temperatur des Thermometers liegt zu Beginn bei {T_0}. Man erhält daraus die dimensionslose Anfangsbedingung:

\theta \left( {t = \tau = 0} \right) = {\theta _0} = \frac{{{T_0}-{T_f}}}{{{T_0}-{T_f}}} = 1

Die Lösung lautet:

\theta = {C_1}{e^{-\tau }}

Bzw. mit der Anfangsbedingung:

\theta = {e^{-Bt}}

c )

Die Halbwertszeit ist verstrichen, wenn die Thermometertemperatur den Wert

T = \frac{{{T_0}+{T_f}}}{2}

Angenommen hat, d.h. wenn {\theta _H} = \frac{1}{2} ist. Daraus ergibt sich:

{t_H} = -\frac{1}{B}\ln \left( {{\theta _H}} \right) = \frac{{\ln 2}}{B}

d )

Aus der Gleichung

{t_H} = -\frac{1}{B}\ln \left( {{\theta _H}} \right) = \frac{{\ln 2}}{B}

Ergibt sich, dass B maximiert werden muss, um die Halbwertszeit zu minimieren. Die Variable

B = \frac{{hA}}{{\rho Vc}}

Kann man mit geometrischen Veränderungen erhöhen, wenn man das Verhältnis aus Mantelfläche zu Volumen erhöht. Man erhält:

\frac{A}{V} = \frac{{\pi dl}}{{\frac{\pi }{4}{d^2}l}} = \frac{4}{d}

Die Schlussfolgerung lautet also, dass der Durchmesser des Thermometers möglichst klein bezogen auf die Länge sein sollte. Dies verringert auch den Fehler, der durch Nichtberücksichtigung des Wärmeübergangs an den beiden Enden des Thermometers gemacht wird.

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