3.3 – Querelastischer Balken (Euler-Bernoulli)

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Getroffene Annahmen: Es handelt sich um einen schlanken Balken, d.h. die Länge des Balkens ist wesentlich größer, als seine Querschnittsabmessungen. Querschnitte bleiben senkrecht auf der Balkenachse.

3.3.1 – Ableitung der Kinematik

euler-bernoulli-balken-querelastisch-ableitung-kinematik

u\left( {x,t} \right),\;v\left( {x,t} \right): Verschiebungskomponenten der neutralen Lage

{u_p}\left( {x,y,t} \right),\;{v_p}\left( {x,y,t} \right): Verschiebungskomponenten eines beliebigen Punktes

Annahme: keine Dehnung in y-Richtung, d.h. {y^0} = y

Zusammenhang zwischen den Verschiebungskomponenten:

{u_p}\left( {x,y,t} \right) = u\left( {x,t} \right)-y\sin \beta \left( {x,t} \right)

{v_p}\left( {x,y,t} \right) = v\left( {x,t} \right)+y\cos \beta \left( {x,t} \right)-y

Lineare Theorie (Theorie erster Ordnung):

Kleine Drehungen, d.h. \left| \beta \right| \ll 1

\Rightarrow \quad \sin \beta \approx \beta \approx \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = {v^\prime }\quad ,\quad \cos \beta \approx 1

Daraus folgt für die Verschiebungen:

\boxed{{u_p} = u\left( {x,t} \right)-y{v^\prime }\left( {x,t} \right)\;\quad und\quad {v_p} = v\left( {x,t} \right)}

Mit dem Zusammenhang

{\varepsilon _{jk}} = \frac{1}{2}\left( {{\partial _j}{u_k}+{\partial _k}{u_j}} \right)

folgt für die Verzerrungen der linearen Theorie:

{\varepsilon _{xx}} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial x}} = {u^\prime }-y{v^{\prime \prime }}\quad ,\quad {\gamma _{xy}} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {u_p}}}{{\partial x}} = 0

3.3.2 – Prinzip von d’Alembert in der Lagrange’schen Fassung

\int\limits_V {{\sigma _{jk}}\delta {\varepsilon _{jk}}dV} = \int\limits_A {{s_j}\delta {u_j}dA} +\int\limits_V {\rho {k_j}\delta {u_j}dV} -\int\limits_V {\rho {{\ddot u}_j}\delta {u_j}dV}

Einsetzen der zuvor aufgestellten Zusammenhänge (ohne Volumenkräfte) liefert:

\underbrace {\int\limits_V {{\sigma _{xx}}\delta {\varepsilon _{xx}}dV} }_{ = \delta {W_\sigma }} = \underbrace {\int\limits_A {\left( {{s_x}\delta {u_x}+{s_y}\delta {u_y}} \right)dA} }_{ = \delta {W_a}}-\underbrace {\int\limits_V {\rho \left( {{{\ddot u}_x}\delta {u_x}+{{\ddot u}_y}\delta {u_y}} \right)dV} }_{ = -\delta {W_T}}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {\int\limits_A {{\sigma _{xx}}\left( {\delta {u^\prime }-y\delta {v^{\prime \prime }}} \right)dA} dx}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {\delta {u^\prime }\underbrace {\int\limits_A {{\sigma _{xx}}dA} }_{ = N}dx} +\int\limits_0^L {\delta {v^{\prime \prime }}\underbrace {\int\limits_A {\left( {-{\sigma _{xx}}y} \right)dA} }_{ = {M_Z}}dx}

Schnittlasten: N = \int\limits_A {{\sigma _{xx}}dA} \quad ,\quad {M_Z} = \int\limits_A {\left( {-{\sigma _{xx}}y} \right)dA}

Daraus ergibt sich die virtuelle Arbeit der Spannungen:

\boxed{\delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {\left( {N\delta {u^\prime }+{M_Z}\delta {v^{\prime \prime }}} \right)dx} }

Mit

{\ddot u_x} = {\ddot u_p} = \ddot u-y{\ddot v^\prime }

und

{\ddot u_y} = {\ddot v_p} = \ddot v

ergibt sich für die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte

\delta {W_T} = -\int\limits_V {\rho \left( {{{\ddot u}_x}\delta {u_x}+{{\ddot u}_y}\delta {u_y}} \right)dV}

\Rightarrow \quad \delta {W_T} = -\int\limits_0^L {\int\limits_A {\rho \left( {\left( {\ddot u-y{{\ddot v}^\prime }} \right)\left( {\delta u-y\delta {v^\prime }} \right)+\ddot v\delta v} \right)dA} dx}

\Rightarrow \quad \delta {W_T} = -\int\limits_0^L {\rho \left( {\ddot u\delta u+\ddot v\delta v} \right)\underbrace {\int\limits_A {dA} }_Adx}

+\int\limits_0^L {\left( {\ddot u\delta {v^\prime }+{{\ddot v}^\prime }\delta u} \right)\underbrace {\int\limits_A {ydA} }_0dx} -\int\limits_0^L {\rho {{\ddot v}^\prime }\delta {v^\prime }\underbrace {\int\limits_A {{y^2}dA} }_{ = {F_Z}}dx}

\Rightarrow \quad \boxed{\delta {W_T} = -\int\limits_0^L {\rho \left( {\ddot u\delta u+\ddot v\delta v} \right)Adx} -\int\limits_0^L {\rho {F_Z}{{\ddot v}^\prime }\delta {v^\prime }dx} }

Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte \delta {W_a}:

Aufteilung der Oberfläche in

{A_1},\;{A_2}: linker und rechter Rand

{A_v}: verbleibende Oberflächen

\left( {A = {A_1}+{A_2}+{A_v}} \right)

\delta W = \int\limits_A {\left( {{s_x}\delta {u_x}+{s_y}\delta {u_y}} \right)dA}

\Rightarrow \quad \delta W = \int\limits_A {\left( {{s_x}\left( {\delta u-y\delta {v^\prime }} \right)+{s_y}\delta v} \right)dA}

\Rightarrow \quad \delta W = \underbrace {\int\limits_{{A_1}} {{s_x}dA} }_{ = F_1^x}\delta {u_1}+\underbrace {\int\limits_{{A_2}} {{s_x}dA} }_{ = F_2^x}\delta {u_2}+\underbrace {\int\limits_{{A_1}} {{s_y}dA} }_{ = F_1^y}\delta {v_1}+\underbrace {\int\limits_{{A_2}} {{s_y}dA} }_{ = F_2^y}\delta {v_2}+

+\underbrace {\int\limits_{{A_1}} {\left( {-{s_x}y} \right)dA} }_{ = {M_1}}\underbrace {\delta v_1^\prime }_{ = \delta {\Theta _1}}+\underbrace {\int\limits_{{A_2}} {\left( {-{s_x}y} \right)dA} }_{ = {M_2}}\underbrace {\delta v_2^\prime }_{ = \delta {\Theta _2}}+\int\limits_{{A_v}} {\left( {{s_x}\delta u+{s_y}\delta v} \right)dA+\int\limits_{{A_v}} {\left( {-{s_x}y} \right)\delta {v^\prime }dA} }

Mit den Streckenlasten (Kräfte und Momente)

{q_x} = \int\limits_U {{s_x}du} \quad ,\quad {q_y} = \int\limits_U {{s_y}du} \quad ,\quad {m_z} = \int\limits_U {-{s_x}ydu}

(U: Umfang (x = konst.))

ergibt sich für die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte:

\delta {W_a} = F_1^x\delta {u_1}+F_1^y\delta {v_1}+{M_1}\delta \;{\Theta _1}\qquad \leftarrow linker Rand

+F_2^x\delta {u_2}+F_2^y\delta {v_2}+{M_2}\delta \;{\Theta _2}\qquad \leftarrow rechter Rand

+\int\limits_0^L {\left( {{q_x}\delta u+{q_y}\delta v+{m_z}\delta \;\Theta } \right)dx} \qquad \leftarrow Streckenlast

Die horizontale (x)-Richtung ist bereits durch die Stabtheorie abgedeckt. Für die weitere Betrachtung wird angenommen, dass keine Momentenstreckenlast \left( {{m_z}} \right) wirkt. Die rotatorische Trägheit wird vernachlässigt.

Somit ergibt sich

\boxed{\int\limits_0^L {{M_z}\delta {v^{\prime \prime }}dx} = F_1^y\delta {v_1}+{M_1}\delta \;{\Theta _1}+F_2^y\delta {v_2}+{M_2}\delta \;{\Theta _2}+\int\limits_0^L {{q_y}\delta vdx} -\int\limits_0^L {\rho A\ddot v\delta vdx} }

3.3.3-Finite Elemente – Formulierung

Interpolation des Verschiebungsfeldes über

v\left( {x,t} \right) = \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u} \right\}

mit

\left[ {H\left( x \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}}&{{H_2}}&{{H_3}}&{{H_4}} \end{array}} \right]

und

{\left\{{\hat u} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}&{{\Theta _1}}&{{v_2}}&{{\Theta _2}} \end{array}} \right\}.

Die Formfunktionen {H_j} ergeben sich aus der Wahl einer geeigneten Approximation für die Verschiebungen:

v\left( {x,t} \right) = {\alpha _0}+{\alpha _1}x+{\alpha _2}{x^2}+{\alpha _3}{{\text{x}}^3} = \left[ {\phi \left( x \right)} \right]\left\{ \alpha \right\}

mit

\left[ {\phi \left( x \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{{x^2}}&{{x^3}} \end{array}} \right]

und

{\left\{ \alpha \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _0}}&{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{{\alpha _3}} \end{array}} \right\}.

Anmerkung

  • Starrkörperbewegung ist enthalten \left( {{\alpha _0}} \right)
  • Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten entspricht Zahl der Knotenfreiheitsgrade (= 4).

Bestimmung der verallgemeinerten Koordinaten über die Knotenfreiheitsgrade

\left\{{\hat u} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}} \\ {{\Theta _1}} \\ {{v_2}} \\ {{\Theta _2}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{v\left( {x = 0} \right)} \\ {{v^\prime }\left( {x = 0} \right)} \\ {v\left( {x = L} \right)} \\ {{v^\prime }\left( {x = L} \right)} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 1&L&{{L^2}}&{{L^3}} \\ 0&1&{2L}&{3{L^2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _0}} \\ {{\alpha _1}} \\ {{\alpha _2}} \\ {{\alpha _3}} \end{array}} \right\}

bzw. \left\{{\hat u} \right\} = \left[ A \right]\left\{ \alpha \right\}\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \alpha \right\} = \left[ {{A^{-1}}} \right]\left\{{\hat u} \right\}

Es ergibt sich daraus

v\left( {x,t} \right) = \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left[ {\phi \left( x \right)} \right]\left[ {{A^{-1}}} \right]\left\{{\hat u} \right\}

bzw. für die Formfunktionen (Verschiebungsinterpolationsmatrix)

\left[ {H\left( x \right)} \right] = \left[ {\phi \left( x \right)} \right]\left[ {{A^{-1}}} \right]

{H_1} = 1-3{\left( {\frac{x}{L}} \right)^2}+2{\left( {\frac{x}{L}} \right)^3}\quad ,\quad {H_2} = L\left( {\frac{x}{L}-2{{\left( {\frac{x}{L}} \right)}^2}+{{\left( {\frac{x}{L}} \right)}^3}} \right)

{H_3} = 3{\left( {\frac{x}{L}} \right)^2}-2{\left( {\frac{x}{L}} \right)^3}\quad ,\quad {H_4} = L\left( {-{{\left( {\frac{x}{L}} \right)}^2}+{{\left( {\frac{x}{L}} \right)}^3}} \right)

finite-elemente-formfunktionen-nichtlinear

Berechnung der Elementmatrizen

Materialgleichung für das Biegemoment:

{M_z} = E{I_z}{v^{\prime \prime }}

Es folgt für die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte \delta {W_b} (Arbeit der Biegemomente an den virtuellen Verschiebungen)

\delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {{M_z}\delta {v^{\prime \prime }}dx} = \int\limits_0^L {\delta {v^{\prime \prime }}E{I_z}{v^{\prime \prime }}dx}

Mit Approximationsansatz:

{v^{\prime \prime }} = \left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]\left\{{\hat u} \right\}\:

\delta {v^{\prime \prime }} = \left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]\left\{{\delta \hat u} \right\} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}{\left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]^T}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\underbrace {\int\limits_0^L {{{\left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]}^T}E{I_z}\left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]\:dx} }_{ = \left[ k \right]}\left\{{\hat u} \right\} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left[ k \right]\left\{{\hat u} \right\}

Elementsteifigkeitsmatrix: \left[ k \right] = \int\limits_0^L {{{\left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]}^T}E{I_z}\left[ {{H^{\prime \prime }}} \right]\:dx}

Für die Arbeit der Trägheitskräfte an den virtuellen Verschiebungen gilt:

\delta {W_T} = -\int\limits_0^L {\rho A\ddot v\delta vdx}

Mit Approximationsansatz:

\ddot v = \left[ H \right]{\left\{{\hat u} \right\}^{ \cdot \cdot }}

\delta v = \left[ H \right]\left\{{\delta \hat u} \right\} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}{\left[ H \right]^T}

\Rightarrow \quad \delta {W_T} = -{\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\underbrace {\int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\rho A\left[ H \right]dx} }_{ = \left[ m \right]}{\left\{{\hat u} \right\}^{ \cdot \cdot }} = -{\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left[ m \right]{\left\{{\hat u} \right\}^{ \cdot \cdot }}

Elementmassenmatrix:

\left[ m \right] = \int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\rho A\left[ H \right]dx}

Arbeit der äußeren Kräfte an den virtuellen Verschiebungen

\delta {W_a} = F_1^y\delta {v_1}+{M_1}\delta \;{\Theta _1}+F_2^y\delta {v_2}+{M_2}\delta \;{\Theta _2}+\int\limits_0^L {{q_y}\delta vdx}

Zusammenfassen der Knotenlasten: {\left\{{{r_c}} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_1^x}&{{M_1}}&{F_2^y}&{{M_2}} \end{array}} \right\}

\Rightarrow \quad \delta {W_a} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left\{{{r_c}} \right\}+\int\limits_0^L {{q_y}\delta vdx}

Die Streckenlast wird linear approximiert:

{q_y}\left( x \right) = \left( {1-\frac{x}{L}} \right){q_1}+\frac{x}{L}{q_2} = \left[ {{H_q}\left( x \right)} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{q_1}} \\ {{q_2}} \end{array}} \right\} = \left[ {{H_q}} \right]\left\{{\hat q} \right\}

mit

\left[ {{H_q}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\frac{x}{L}}&{\frac{x}{L}} \end{array}} \right]

Damit ergibt sich

\delta {W_a} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left\{{{r_c}} \right\}+{\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\left[ {{H_q}} \right]dx} \left\{{\hat q} \right\}

\Rightarrow \quad \delta {W_a} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left( {\left\{{{r_c}} \right\}+\left\{{{r_s}} \right\}} \right) = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left\{ r \right\}

mit

\left\{{{r_s}} \right\} = \int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\left[ {{H_q}} \right]dx} \left\{{\hat q} \right\} = \left[ L \right]\left\{{\hat q} \right\}

Damit ergibt sich insgesamt:

\delta {W_\sigma }-\delta {W_a}-\delta {W_T} = 0

\Rightarrow \quad {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left( {\left[ k \right]\left\{{\hat u} \right\}+\left[ m \right]{{\left\{{\hat u} \right\}}^{ \cdot \cdot }}-\left\{ r \right\}} \right) = 0

Da die virtuellen Verschiebungen beliebig und {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T} \ne {\left\{ 0 \right\}^T} sind, gilt

\boxed{\left[ m \right]{{\left\{{\hat u} \right\}}^{ \cdot \cdot }}+\left[ k \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left\{ r \right\}}

Elementsteifigkeitsmatrix \left( {E{I_z} = konst.} \right):

\left[ k \right] = E{I_z}\int\limits_0^L {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{H_1^{\prime \prime }H_1^{\prime \prime }}&{H_1^{\prime \prime }H_2^{\prime \prime }}&{H_1^{\prime \prime }H_3^{\prime \prime }}&{H_1^{\prime \prime }H_4^{\prime \prime }} \\ {H_2^{\prime \prime }H_1^{\prime \prime }}&{H_2^{\prime \prime }H_2^{\prime \prime }}&{H_2^{\prime \prime }H_3^{\prime \prime }}&{H_2^{\prime \prime }H_4^{\prime \prime }} \\ {H_3^{\prime \prime }H_1^{\prime \prime }}&{H_3^{\prime \prime }H_2^{\prime \prime }}&{H_3^{\prime \prime }H_3^{\prime \prime }}&{H_3^{\prime \prime }H_4^{\prime \prime }} \\ {H_4^{\prime \prime }H_1^{\prime \prime }}&{H_4^{\prime \prime }H_2^{\prime \prime }}&{H_4^{\prime \prime }H_3^{\prime \prime }}&{H_4^{\prime \prime }H_4^{\prime \prime }} \end{array}} \right]dx}

\Rightarrow \quad \left[ k \right] = \frac{{E{I_z}}}{{{L^3}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{12}&{6L}&{-12}&{6L} \\ {6L}&{4{L^2}}&{-6L}&{2{L^2}} \\ {-12}&{-6L}&{12}&{-6L} \\ {6L}&{2{L^2}}&{-6L}&{4{L^2}} \end{array}} \right]

Elementmassenmatrix:

\left[ m \right] = \rho A\int\limits_0^L {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}{H_1}}&{{H_1}{H_2}}&{{H_1}{H_3}}&{{H_1}{H_4}} \\ {{H_2}{H_1}}&{{H_2}{H_2}}&{{H_2}{H_3}}&{{H_2}{H_4}} \\ {{H_3}{H_1}}&{{H_3}{H_2}}&{{H_3}{H_3}}&{{H_3}{H_4}} \\ {{H_4}{H_1}}&{{H_4}{H_2}}&{{H_4}{H_3}}&{{H_4}{H_4}} \end{array}} \right]dx}

\Rightarrow \quad \left[ m \right] = \frac{{\rho AL}}{{420}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{156}&{22L}&{54}&{-13L} \\ {22L}&{4{L^2}}&{13L}&{-3{L^2}} \\ {54}&{13L}&{156}&{-22L} \\ {-13L}&{-3{L^2}}&{-22L}&{4{L^2}} \end{array}} \right]

Streckenlast:

\left[ L \right] = \int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\left[ {{H_q}} \right]dx} = \int\limits_0^L {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}{H_{q1}}}&{{H_1}{H_{q2}}} \\ {{H_2}{H_{q1}}}&{{H_2}{H_{q2}}} \\ {{H_3}{H_{q1}}}&{{H_3}{H_{q2}}} \\ {{H_4}{H_{q1}}}&{{H_4}{H_{q2}}} \end{array}} \right]dx} = \frac{L}{{60}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{21}&9 \\ {3L}&{2L} \\ 9&{21} \\ {-2L}&{-3L} \end{array}} \right]

\Rightarrow \quad \left\{{{r_s}} \right\} = \left[ L \right]\left\{{\hat q} \right\} = \frac{L}{{60}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{21{q_1}+9{q_2}} \\ {3L{q_1}+2L{q_2}} \\ {9{q_1}+21{q_2}} \\ {-2L{q_1}-3L{q_2}} \end{array}} \right]