03.1 – r-Schritt-Verfahren

 

Wir betrachten das r-Schritt-Verfahren

{u_{k+1}}+\sum\limits_{i = 0}^{r-1} {{\alpha _{r-1-i}}{u_{k-i}}} = \tau \sum\limits_{i = -1}^{r-1} {{\beta _{r-1-i}}f\left( {{t_{k-i}},{u_{k-i}}} \right)}

a )

Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten {\alpha _{r-1-i}},\:i = 0, \ldots ,r-1, und die Koeffizienten {\beta _{r-1-i}},\:i = -1, \ldots ,r-1, erfüllen, damit das Verfahren die Konsistenzordnung p hat?

b )

Zeigen Sie, dass das 2-Schritt Adams-Bashforth-Verfahren Konvergenzordnung 2 hat.

Lösung

a )

Das Mehrschrittverfahren dient zur Lösung des Anfangswertproblems

\dot y = f\left( {t,y} \right)

y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}

Konsistenzfehler:

{l_5}\left( {{t_k}} \right) = \frac{1}{\tau }\left[ {y\left( {{t_{k+1}}} \right)+\sum\limits_{i = 0}^{r-1} {{\alpha _{r-1-i}}y\left( {{t_{k-i}}} \right)} } \right]-\sum\limits_{i = -1}^{r-1} {{\beta _{r-1-i}}f\left( {{t_{k-i}},\:y\left( {{f_{k-i}}} \right)} \right)}

Wie beim Einschrittverfahren: Wenn für \tau \leq {\tau _0} und \forall t \in \left[ {{t_0},T} \right]

\left| {{l_\tau }\left( t \right)} \right| \leq M{\tau ^p},\quad p \geq 1

gilt, dann ist das Diskretisierungsverfahren von der Konsistenzordnung p.

Um die Notation übersichtlicher zu gestalten, schreiben wir:

\sum\limits_{l = 0}^r {{\alpha _l}{u_{k+l}}} = \tau \sum\limits_{}^{} {{\beta _l}{f_{k+l}}}

Wobei {\alpha _r} = 1, d.h.

{l_\tau } = \frac{1}{\tau }\sum\limits_{l = 0}^r {{\alpha _l}y\left( {{t_{k+l}}} \right)} -\sum\limits_{l = 0}^r {{\beta _l}\underbrace {{f_{k+l}}}_{ = \dot y\left( {{t_{k+l}}} \right)}}

Nun bringen wir das \tau ins Spiel, indem wir eine Taylorentwicklung durchführen. Dabei müssen wir nur nach einer Variablen entwickeln, wodurch sich eine viel einfachere Rechnung als bei den Einschrittverfahren ergibt:

y\left( {{t_{k+l}}} \right) = y\left( {{t_k}+{l_\tau }} \right) = y\left( {{t_k}} \right)+\dot y\left( {{t_k}} \right){l_\tau }+\frac{1}{2}\ddot y\left( {{t_k}} \right){\left( {{l_\tau }} \right)^2}+ \ldots

\dot y\left( {{t_{k+l}}} \right) = \dot y\left( {{t_k}+{l_\tau }} \right) = \dot y\left( {{t_k}} \right)+\ddot y\left( {{t_k}} \right){l_\tau }+\frac{1}{2}\dddot y\left( {{t_k}} \right){\left( {{l_\tau }} \right)^2}+ \ldots

Dies setzen wir nun in {l_\tau } = \frac{1}{\tau }\sum\limits_{l = 0}^r {{\alpha _l}y\left( {{t_{k+l}}} \right)} -\sum\limits_{l = 0}^r {{\beta _l}\dot y\left( {{t_{k+l}}} \right)} ein:

{l_\tau }\left( {{t_k}} \right) = \frac{1}{\tau }y\left( {{t_k}} \right)\sum\limits_{l = 0}^r {{\alpha _l}} +\dot y\left( {{t_k}} \right)\sum\limits_{l = 0}^r {\left( {{\alpha _l}{l_\tau }-{\beta _l}} \right)} +\frac{\tau }{2}\ddot y\left( {{t_k}} \right)\sum\limits_{l = 0}^r {\left[ {{\alpha _l}{l^2}-2{\beta _l}l} \right]} + \ldots

\quad \quad \quad +\frac{{{\tau ^{p-1}}}}{{p!}}{y^{\left( p \right)}}\left( {{t_k}} \right)\sum\limits_{l = 0}^r {\left[ {{\alpha _l}{l^p}-p{\beta _l}{l^{p-1}}} \right]} +O\left( {{\tau ^p}} \right)

Das Verfahren ist also konsistent für \sum\limits_{l = 0}^r {{\alpha _l}} = 0,\quad \sum\limits_{l = 0}^r {\left( {{\alpha _l}l-{\beta _l}} \right)} = 0.

Konsistenzordnung p hat das Verfahren, wenn gilt: \sum\limits_{l = 0}^r {{\alpha _l}{l^q}} = q\sum\limits_{l = 0}^r {{\beta _l}{l^{q-1}}} ,\quad q = 1, \ldots ,p

Zusammenfassung in ursprünglicher Notation (Indizierung):

Das Verfahren ist konsistent, wenn

\sum\limits_{i = 0}^{r-1} {{\alpha _{r-1-i}}} +1 = 0

\sum\limits_{i = -1}^{r-1} {\left( {{\alpha _{r-1-i}}\left( {r-1-i} \right)-{\beta _{r-1-i}}} \right)} = 0

Es hat die Konsistenzordnung p, wenn

\sum\limits_{i = -1}^{r-1} {{\alpha _{r-1-i}}{{\left( {r-1-i} \right)}^q}} = q\sum\limits_{i = -1}^{r-1} {{\beta _{r-1-i}}{{\left( {r-1-i} \right)}^{q-1}}} ,\quad \quad q = 1, \ldots ,p

b )

Wir betrachten nun das 2-Schritt Adams-Bashforth-Verfahren:

{u_{k+1}}-{u_k} = \frac{3}{2}\tau f\left( {{t_k},{u_k}} \right)-\frac{1}{2}\tau f\left( {{t_{k-1}},\:{u_{k-1}}} \right)

{\alpha _1} = -1,\quad {\alpha _0} = 0,\quad {\beta _2} = 0,\quad {\beta _1} = \frac{3}{2},\quad {\beta _0} = -\frac{1}{2}

Konsistenzordnung 1:

{\alpha _0}+{\alpha _1}+1 = 0-1+1 = 0

2{\alpha _2}-{\beta _2}+{\alpha _1}-{\beta _1}-{\beta _0} = 2-0-1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2} = 0

Konsistenzordnung 2:

{\alpha _2} \cdot {2^2}+{\alpha _1} \cdot {1^2}+{\alpha _0} \cdot {0^2}-2\left( {{\beta _2} \cdot {2^1}+{\beta _1} \cdot {1^1}+{\beta _0} \cdot {0^1}} \right) = 4-1-2 \cdot \frac{3}{2} = 0

Für Konvergenz brauchen wir außer der Konsistenz noch die Nullstabilität (gibt es nur bei Mehrschrittverfahren!). Dafür stellen wir das charakteristische Polynom auf und suchen die Nullstellen:

\Psi \left( \mu \right) = {\mu ^r}+{\alpha _{r-1}}{\mu ^{r-1}}+ \ldots +{\alpha _0}

Die Nullstellen von diesem Polynom müssen betragsmäßig kleiner oder gleich 1 sein. Hier:

\Psi \left( \mu \right) = {\mu ^2}-\mu \quad \Rightarrow \quad {\mu _1} = 0,\quad {\mu _2} = 1

Das Verfahren ist also nullstabil.

Insgesamt ergibt sich daraus, dass das Adams-Bashforth-Verfahren Konvergenzordnung 2 hat.

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