Vorwissen Abitur (5): Radioaktiver Zerfall

 

Was hat Seifenschaum mit radioaktivem Zerfall zu tun?
Seifenschaum zerfällt nach einer gewissen Zeit nach und nach, da die einzelnen Bläschen platzen. Radioaktive Stoffe zerfallen, da die Atomkerne nach und nach Strahlung abgeben. Dabei erfolgt der Prozess nicht als Ganzes auf einmal, sondern nach und nach. Die durchschnittliche Zeit, die ein Bläschen / ein Kern stabil bleibt, kann bestimmt werden, nicht aber der genaue Zeitpunkt für den Zerfall eines bestimmten Bläschens / Kerns.

Das Zerfallsgesetz

Die Zahl N(t) zur Zeit t noch vorhandener Kerne nimmt mit der Zeit exponentiell ab. Die Funktion lautet daher:

N(t) = N_0 e^{-kt}

Die Konstante k beschreibt die Stoffabhängige Geschwindigkeit, mit der dieser Zerfallsprozess abläuft. Analog zur Halbwertsdicke kann sie mit Hilfe der Halbwertszeit bestimmt werden:

N(t_H ) = \frac{{N_0 }} {2} \Leftrightarrow N_0 \cdot e^{-kt_H } = \frac{{N_0 }} {2} \quad \quad|\ln

\Leftrightarrow -kt_H = -\ln 2 \quad \quad |:(-t_H )

\Leftrightarrow k = \frac{{\ln 2}} {{t_H }}

Die Halbwertszeit tH eines Stoffes lässt sich in Tabellen nachschlagen. Sie beschreibt die Zeit, nach der die Hälfte der am Anfang vorhandenen Kerne zerfallen sind, also zu der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Kerne übrig sind. In die Ursprungsgleichung ergibt sich:

N(t) = N_0 e^{\frac{{-\ln 2}} {{t_H }}t}

Die Anzahl der in einem festen Zeitraum zerfallenen Kerne nennt man die (Radio-)Aktivität. Auch sie nimmt mit der Zeit exponentiell ab.
Die Aktivität ist die Ableitung der Funktion N(t), da sie deren Steigung angibt.

A(t) = -\frac{{dN}} {{dt}} = -N ^{\prime}(t) = N_0 \frac{{\ln 2}} {{t_H }}e^{\frac{{-\ln 2}} {{t_H }}t} = A_0 e^{\frac{{-\ln 2}} {{t_H }}t}

Die Einheit der Aktivität ist \frac{1}{s}, sie wird Bequerel (Bq) genannt.

Spontaner Zerfall (natürliche Radioaktivität)

Ein Radiumkern sendet beim Alpha-Zerfall eine Alphateilchen aus und wird zu einem Rubidiumkern:

Radiumkern beim Alpha-Zerfall

_{88}^{226} {\text{Ra}} \to \quad _{86}^{222} {\text{Ru}}+_2^4 {\text{He}}

Kernumwandlung zur Gewinnung instabiler Kerne

Ein stabiler Co-Kern wird durch Neutronenbeschuss in einen instabilen umgewandelt:

Co-Kern unter Neutronenbeschuss

_0^1 n+_{27}^{59} {\text{Co}} \to \quad _{27}^{60} {\text{Co}}

Kernspaltung

Der instabile Co-Kern zerfällt zu einem Nickelatom und einem Elektron:

instabiler Co-Kern

_{27}^{60} {\text{Co}} \to \quad _{28}^{60} {\text{Ni}}+_{-1}^0 e

Kernfusion

Vier Wasserstoffkerne verschmelzen unter Aussendung zweier Positronen zu einem Heliumkern:

Wasserstoffkerne verschmelzen

4_1^1 {\text{H}} \to \quad _2^4 {\text{He}}+2_{+1}^0 e

Natürliche Zerfallsreihen

α-Zerfall: Die Massenzahl A wird um 4 kleiner, die Kernladungszahl Z wird um 2 kleiner. Es wird ein Heliumkern emittiert. Beispiel: _{88}^{224} {\text{Ra}} \to \quad _{86}^{220} {\text{Ru}}+_2^4 {\text{He}}

β-Zerfall:

  1. β-: A bleibt gleich, Z wird um 1 größer. Ein Neutron im Kern wird in ein Proton und ein Elektron umgewandelt, das Elektron wird emittiert, außerdem wird ein Antineutrino frei. Beispiel: _{88}^{224} {\text{Ra}} \to \quad _{89}^{224} {\text{Ac}}+_{-1}^0 e+\overline \nu _e
  2. β+: A bleibt gleich, Z wird um 1 kleiner. Ein Proton wird in ein Neutron und ein Positron umgewandelt, das Positron wird emittiert, außerdem wird ein Neutrino frei. Beispiel: _{92}^{234} {\text{Np}} \to _{91}^{234} {\text{U}}+_{+1}^0 e+\nu _e

Auf der Nuklidkarte kann man die Zerfallsreihen leicht verfolgen. Alpha-Zerfall: 2 nach links und 2 nach unten, Beta-Minus-Zerfall: 1 nach links und 1 nach oben, Beta-Plus-Zerfall: 1 nach rechts und 1 nach unten.

Altersbestimmung mit der C-14-Methode

Das radioaktive Kohlenstoffisotop _6^{14} {\text{C}} entsteht in der Luft durch Kernumwandlung von Stickstoff, die durch Weltraumstrahlung angeregt wird. Man kann davon ausgehen, dass dieser Prozess schon seit sehr langer Zeit vor sich geht und der C-14 Anteil in der Luft gleich bleibt.
Alle Pflanzen nehmen durch Assimilation das radioaktive C-14 und das nicht radioaktive C-12 auf. Daher gibt es in allen Lebewesen ein festes Verhältnis von C-14 und C-12. Mit dem Tod stoppt die Aufnahme von C-14 und C-12, doch während das C-12 stabil bleibt, zerfällt das C-14. Dadurch verändert sich das Verhältnis der beiden Isotope mit der Zeit, der C-14-Anteil nimmt exponentiell ab (die Halbwertszeit von C-14 ist 5730 Jahre).
Wenn nun das Alter eines Fundes bestimmt werden soll, kann dieses durch das Verhältnis von C-14 und C-12 zum Fundzeitpunkt berechnet werden.

Kernspaltung

Beispiel: Uran

Der Urankern wird durch das eindringende Neutron in Schwingungen versetzt, ähnlich wie ein Flüssigkeitstropfen.
Er nimmt dabei kurzzeitig eine Hantelform an. An der Einschnürungsstelle können ihn die Kernkräfte gegen die Abstoßung der Coulomb-Kräfte nicht zusammenhalten. Der Kern zerfällt, die elektrische Abstoßung der Protonen treibt die Bruchstücke auseinander, sie gewinnen an kinetischer Energie.

Kettenreaktion

Eine Kettenreaktion ist ein physikalischer Vorgang, bei dem die Bedingungen für den fortdauernden Ablauf immer wieder neu entstehen. Der Prozess läuft solange von selbst, bis der reagierende Stoff vollständig abgebaut ist. Man unterscheidet zwischen einer unkontrollierten und einer kontrollierten Kettenreaktion.

Unkontrollierte Kettenreaktion: Bei dem Kernspaltungsprozess steigt die Anzahl der Spaltungen pro Zeit lawinenartig an. Voraussetzung: Vorhandensein einer bestimmten Masse (kritische Masse), damit die bei der Kernspaltung frei werdenen Neutronen häufig genug auf neue spaltbare Kerne treffen können.

Kontrollierte Kettenreaktion: Die Zahl der aufeinanderfolgenden Reaktionen muss konstant bleiben. Voraussetzungen:

  1. Geeigneter Kernbrennstoff in kritischer Masse (mit Reflektoren lässt sich die Anuahl wirkungslos aus dem Material austretender Neutronen verringern, daher wird die kritische Masse geringer)
  2. Moderator zum Abbremsen der schnellen Neutronen auf die für eine Kernspaltung gewünschte Geschwindigkeit
  3. Regelstäbe, die überschüssige Neutronen bei Bedarf absorbieren können
  4. Kühlflüssigkeit, da sich das Brennmaterial stark erhitzt
  5. Es müssen mehr Neutronen entstehen, als zur Spaltung geführt haben

Energiegewinnung

Beispiel: Ein Urankern wird durch Neutronenbeschuss angeregt und zerfällt zu Barium und Krypton, sowie drei neuen Neutronen: _{92}^{235} {\text{U}}+_0^1 n \to \quad_{56}^{143} {\text{Ba*}}+_{36}^{90} {\text{Kr*}}+3_0^1 n
Die Masse auf der linken Seite der Gleichung beträgt mUran+mn = 235,0493231u +1,008665u = 236,057988u
Die Masse auf der rechten Seite beträgt mBarium+mKrypton+3mn = 143,9229405u+88,9176325u+3·1,008665u = 235,866568u
Normalerweise sollte die Differenz der Massen bei einer Reaktion 0 ergeben, hier ist Δm aber 0,19142u.
Diese scheinbare Verletzung des Massenerhaltungssatzes lässt sich durch die von Albert Einstein erkannte Äquivalenz von Masse und Energie E = mc2 erklären. Die Massendifferenz entspricht demnach der Kernbindungsenergie der Nukleonen, man spricht von einem Massendefekt.
Je höher in einem Kern der Massendefekt ist, desto stabiler ist der Atomkern, da umso mehr Energie zu seiner Zerlegung aufgewendet werden muss. Wenn ein Atomkern zerfällt, wird diese Energie frei.
Bei dem Beispiel oben beträgt sie E = mc2 = 0,19142u · 2,997925 · 108 = 2,856786 · 10-11 J = 178,3MeV.

Kernfusion

Was passiert beim Zusammenfügen von Nukleonen?
Beispiel: Ein Heliumkern besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen: 2_1^1 p+2_0^1 n \to _2^4 {\text{He}}
Die Masse auf der linken Seite der Reaktionsgleichung beträgt hier 2mp+2mn = 2 · 1,007276u+2 · 1,008665u = 4,031883u
Die experimentell bestimmbare Masse eines Heliumkerns beträgt aber 4,002602u
Der Massendefekt beträgt daher 0,029281u.

Satz:
Der Massendefekt eines Nuklids ergibt sich aus der Differenz der Masse seiner Z Protonen, seiner N Neutronen und seiner Kernmasse. Die Bindungsenergie eines Kerns ist diejenige Energie, die dem Massendefekt äquivalent ist, der beim Zusammenfügen eines Kerns aus seinen Bestandteilen entsteht.
Bei dem Beispiel oben kann die Bindungsenergie des Heliumkerns wie schon bei der Kernspaltung berechnet werden mit E = mc2 = 4,369913 · 10-12 J = 27,275MeV.