3.7 – Randintegraloperatoren für Sobolev-Räume

 

Satz: Sei \Gamma \in {C^\infty }. Dann sind die Integraloperatoren

V:{H^\sigma }\left( \Gamma \right) \to {H^{\sigma +1}}\left( \Gamma \right)

D:{H^\sigma }\left( \Gamma \right) \to {H^{\sigma -1}}\left( \Gamma \right)

für jedes \sigma \in \mathbb{R} stetig.

Wir wissen bereits, dass K und {K^\prime } adjunkte Operatoren in {L^2}\left( \Gamma \right) sind. Dies gilt auch für beliebige duale Paare {\left( {{H^s}\left( \Gamma \right),{H^{-s}}\left( \Gamma \right)} \right)_{{L^2}\left( \Gamma \right)}} für s \in \mathbb{R}. Speziell für s = 1/2 gilt:

{\left\langle {K\varphi ,\psi } \right\rangle _{{L^2}\left( \Gamma \right)}} = {\left\langle {\varphi ,{K^\prime }\psi } \right\rangle _{{L^2}\left( \Gamma \right)}},\quad \forall \varphi \in {H^{\frac{1}{2}}}\left( \Gamma \right),\psi \in {H^{-\frac{1}{2}}}\left( \Gamma \right).