04.1 – Randwertaufgabe und finite Differenzen Methode

 

Gegeben sei die Randwertaufgabe

Lu: = -{u^{\prime \prime }}+b{u^\prime }+cu = f\quad \quad in\:\:\Omega = \left( {0,1} \right)

u\left( 0 \right) = {g_0},\quad u\left( 1 \right) = {g_1}

wobei

b\left( x \right) \geq 0,\quad c\left( x \right) \geq {c_0} > 0\quad in\:\:\Omega

Es sollen zwei Diskretisierungen untersucht werden.

Diskretisierung 1:

-{D^+}{D^-}{u_h}+{b_h}{D^0}{u_h}+{c_h}{u_h} = {f_h}

Diskretisierung 2:

-{D^+}{D^-}{u_h}+{b_h}{D^-}{u_h}+{c_h}{u_h} = {f_h}

a )

Zeigen Sie das diskrete Vergleichsprinzip für beide Diskretisierungen. Für (1) muss man h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}} voraussetzen. Für (2) ist diese Voraussetzung nicht nötig.

b )

Untersuchen Sie die Stabilität der beiden Verfahren

c )

Bestimmen Sie die Konsistenzordnung der beiden Verfahren

d )

Untersuchen Sie die Konvergenz der beiden Verfahren

Lösung

a )

Diskretes Maximumprinzip:

Wenn {f_i} \leq 0,\quad i = 1, \ldots ,N-1,\quad {g_0} \leq 0,\quad {g_1} \leq 0, dann ist {u_i} \leq 0\quad \forall i = 0, \ldots ,N.

Diskretes Vergleichsprinzip:

Gilt für zwei Funktionen {v_h} und {w_h}, dass {L_h}{v_h} \leq {L_h}{w_h}\:\:in\:\:{\Omega _h},\quad {v_0} \leq {w_0},\quad {v_N} \leq {w_N}, dann ist {v_h} \leq {w_h}\:\:in\:\:{\Omega _h}.

Wir betrachten nun die beiden gegebenen Diskretisierungen.

Diskretisierung 1:

-\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}} \right)+{b_j}\frac{{{u_{j+1}}-{u_{j-1}}}}{{2h}}+{c_j}{u_j} = {f_j}

Es sei j der Index, für den {u_j} = \max \limits_{i = 0, \ldots ,N} {u_i} gilt.

{c_j}{u_j} = {f_j}+\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}} \right)-\frac{{{b_j}}}{{2h}}\left( {{u_{j+1}}-{u_{j-1}}} \right)

= \underbrace {{f_j}}_{ \leq 0}+\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}-\frac{{{b_j}}}{2}} \right)\underbrace {\left( {{u_{j+1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}+\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}+\frac{{{b_j}}}{2}} \right)\underbrace {\left( {{u_{j-1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}

Wegen der Voraussetzung h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}} ergibt sich \frac{1}{h}-\frac{{{b_j}}}{2} \geq 0 und damit insgesamt

{c_j}{u_j} = \underbrace {{f_j}}_{ \leq 0}+\underbrace {\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}-\frac{{{b_j}}}{2}} \right)}_{ \geq 0}\underbrace {\left( {{u_{j+1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}+\underbrace {\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}+\frac{{{b_j}}}{2}} \right)}_{ > 0}\underbrace {\left( {{u_{j-1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}\quad

\Rightarrow \quad {u_j} \leq 0

Das diskrete Maximumprinzip ist also erfüllt. Das diskrete Vergleichsprinzip folgt aus dem diskreten Maximumprinzip mit {u_h} = {v_h}-{w_h}.#

Diskretisierung 2:

-\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}} \right)+\frac{{{b_j}}}{h}\left( {{u_j}-{u_{j-1}}} \right)+{c_j}{u_j} = {f_j}

Wir führen die gleichen Rechenschritte durch wie oben. Es ergibt sich:

{c_j}{u_j} = \underbrace {{f_j}}_{ \leq 0}+\underbrace {\frac{1}{{{h^2}}}}_{ \geq 0}\left( {\underbrace {{u_{j+1}}-{u_j}}_{ \leq 0}\underbrace {-{u_j}+{u_{j-1}}}_{ \leq 0}} \right)+\underbrace {\frac{{{b_j}}}{h}}_{ \geq 0}\underbrace {\left( {{u_{j-1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}\quad \Rightarrow {u_j} \leq 0

Es gilt also das diskrete Maximumprinzip und daher auch das diskrete Vergleichsprinzip.

b )

Für beliebiges {v_h} mit {v_h} = 0\quad auf\:\:{\Gamma _h} gilt:

{\left\| {{v_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} \leq {C_S}{\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|_{{\Omega _h}}}

Sei nun {v_h} eine beliebige Gitterfunktion mit {v_h} = 0\quad auf\:\:{\Gamma _h}. Ist {L_h}{v_h} \equiv 0, dann ist auch {v_h} = 0 und wir sind fertig.

Sei nun {L_h}{v_h} \ne 0. Betrachte die Hilfsfunktion {w_h} = \frac{{{{\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|}_{{\Omega _h}}}}}{{{C_0}}} > 0. Da {w_h} konstant ist, gilt für alle {x_i} \in {\Omega _h}:

\left( {{L_h}{w_h}} \right)\left( {{x_i}} \right) = c\left( {{x_i}} \right){w_i} \geq {c_0}{w_i} = {\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|_{{\Omega _h}}} \geq \pm \left( {{L_h}{v_h}} \right)\left( {{x_i}} \right)

Daraus ergibt sich:

\left( {-{L_h}{w_h}} \right)\left( {{x_i}} \right) \leq \left( {{L_h}{v_h}} \right)\left( {{x_i}} \right) \leq \left( {{L_h}{w_h}} \right)\left( {{x_i}} \right)

Da -{w_h} < 0 = {v_h} < {w_h}\quad auf\:\:{\Gamma _h} ist, folgt mit dem Vergleichsprinzip:

-{w_h} \leq {v_h} \leq {w_h}\quad in\:\:\overline {{\Omega _h}} \quad \Rightarrow \quad {\left\| {{v_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} \leq {\left\| {{w_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = \frac{{{{\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|}_{\overline {{\Omega _h}} }}}}{{{C_0}}}

Aus dem Vergleichsprinzip folgt also die Stabilität des Verfahrens.

\quad \Rightarrow \quadVerfahren 1 stabil für h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}}
\quad \Rightarrow \quadVerfahren 2 stabil für alle h

c )

Konsistenz für Diskretisierung 1:

\left( {{L_h}{R_h}u-{R_h}Lu} \right)\left( {{x_i}} \right) = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-2u\left( {{x_i}} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)

+\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{{2h}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)

+c\left( {{x_i}} \right)u\left( {{x_i}} \right)-\left( {-{u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)+b\left( {{x_i}} \right){u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+c\left( {{x_i}} \right)u\left( {{x_i}} \right)} \right)

= {u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)-\frac{1}{{{h^2}}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-2u\left( {{x_i}} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)

+\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{{2h}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)-b\left( {{x_i}} \right){u^\prime }\left( {{x_i}} \right)

Taylorentwicklung für mindestens 4 Mal differenzierbares u:

u\left( {{x_i} \pm h} \right) = u\left( {{x_i}} \right) \pm h{u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+\frac{{{h^2}}}{2}{u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right) \pm \frac{{{h^3}}}{6}{u^{\prime \prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^4}} \right)\quad \quad \quad \quad \quad \left( * \right)

\quad \Rightarrow \quad u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right) = 2h{u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^3}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {u^\prime }\left( {{x_i}} \right)-\frac{{u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)}}{{2h}} = O\left( {{h^2}} \right)

Es folgt auch:

u\left( {{x_i}+h} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right) = 2u\left( {{x_i}} \right)+{h^2}{u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^4}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)-\frac{{u\left( {{x_i}+h} \right)-2u\left( {{x_i}} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right)}}{{{h^2}}} = O\left( {{h^2}} \right)

Damit erhalten wir insgesamt:

\left( {{L_h}{R_h}u-{R_h}Lu} \right)\left( {{x_i}} \right) = O\left( {{h^2}} \right)\quad \Rightarrow \quad Konsistenzordnung 2.

Konsistenz für Diskretisierung 2:

Wir verfahren genau wie bei Diskretisierung 1, wählen aber statt der zentralen Differenz

\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{{2h}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)

die Rückwärtsdifferenz

\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{h}\left( {u\left( {{x_i}} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right).

Aus \left( * \right) erhalten wir:

u\left( {{x_i}} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right) = h{u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^2}} \right)\quad \Rightarrow \quad {u^\prime }\left( {{x_i}} \right) = \frac{{u\left( {{x_i}} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)}}{h}+O\left( h \right)

Dies entspricht der Konsistenzordnung 1.

d )

Satz: Wenn ein stabiles Verfahren die Konsistenzordnung p hat, hat sie auch die Konvergenzordnung p.

\quad \Rightarrow \quad Diskretisierung 1 hat die Konvergenzordnung 2, falls h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}}.
\quad \Rightarrow \quad Diskretisierung 2 hat die Konvergenzordnung 1.

Für Konvergenz mit Ordnung p muss gelten: {\left\| {{R_h}u-{u_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = O\left( {{h^p}} \right).

Wir können die Konvergenzrate schätzen:

{e_{h1}} = {\left\| {{R_{h1}}u-{u_{h1}}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = Ch_1^p,\quad {e_{h2}} = {\left\| {{R_{h1}}u-{u_{h1}}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = Ch_2^p

\quad \Rightarrow \quad \frac{{{e_{h1}}}}{{{e_{h2}}}} = \frac{{h_1^p}}{{h_2^p}}\quad \Rightarrow \quad \log \left( {\frac{{{e_{h1}}}}{{{e_{h2}}}}} \right) = \log {\left( {\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}} \right)^p}\quad \Rightarrow \quad p = \frac{{\log \left( {\frac{{{e_{h1}}}}{{{e_{h2}}}}} \right)}}{{\log \left( {\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}} \right)}}

Hinweis für die Anwendung:

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & {} & {} & {} & {} & {} \\{-\frac{1}{{{h^2}}}-\frac{{{b_1}}}{{2h}}} & {{c_1}+\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}+\frac{{{b_1}}}{{2h}}} & {} & {} & {} \\{} & {-\frac{1}{{{h^2}}}-\frac{{{b_2}}}{{2h}}} & {{c_2}+\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}+\frac{{{b_2}}}{{2h}}} & {} & {} \\{} & {} & {} & {} & {} & {} \\{} & {} & {} & {-\frac{1}{{{h^2}}}-\frac{{{b_{N-1}}}}{{2h}}} & {{c_{N-1}}+\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}+\frac{{{b_{N-1}}}}{{2h}}} \\{} & {} & {} & {} & {} & 1 \\   \end{array} } \right)

f = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  0 & 0 & \ldots & 1 \\   \end{array} } \right)^T}

u = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0}} & {{u_1}} & \ldots & {{u_N}} \\   \end{array} } \right)^T}

Es muss gelöst werden: Au = f