04.1 – Randwertaufgabe und finite Differenzen Methode

Gegeben sei die Randwertaufgabe

$Lu: = -{u^{\prime \prime }}+b{u^\prime }+cu = f\quad \quad in\:\:\Omega = \left( {0,1} \right)$

$u\left( 0 \right) = {g_0},\quad u\left( 1 \right) = {g_1}$

wobei

$b\left( x \right) \geq 0,\quad c\left( x \right) \geq {c_0} > 0\quad in\:\:\Omega$

Es sollen zwei Diskretisierungen untersucht werden.

Diskretisierung 1:

$-{D^+}{D^-}{u_h}+{b_h}{D^0}{u_h}+{c_h}{u_h} = {f_h}$

Diskretisierung 2:

$-{D^+}{D^-}{u_h}+{b_h}{D^-}{u_h}+{c_h}{u_h} = {f_h}$

a )

Zeigen Sie das diskrete Vergleichsprinzip für beide Diskretisierungen. Für (1) muss man $h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}}$ voraussetzen. Für (2) ist diese Voraussetzung nicht nötig.

b )

Untersuchen Sie die Stabilität der beiden Verfahren

c )

Bestimmen Sie die Konsistenzordnung der beiden Verfahren

d )

Untersuchen Sie die Konvergenz der beiden Verfahren

Lösung

a )

Diskretes Maximumprinzip:

Wenn ${f_i} \leq 0,\quad i = 1, \ldots ,N-1,\quad {g_0} \leq 0,\quad {g_1} \leq 0$ , dann ist ${u_i} \leq 0\quad \forall i = 0, \ldots ,N$ .

Diskretes Vergleichsprinzip:

Gilt für zwei Funktionen ${v_h}$ und ${w_h}$ , dass ${L_h}{v_h} \leq {L_h}{w_h}\:\:in\:\:{\Omega _h},\quad {v_0} \leq {w_0},\quad {v_N} \leq {w_N}$ , dann ist ${v_h} \leq {w_h}\:\:in\:\:{\Omega _h}$ .

Wir betrachten nun die beiden gegebenen Diskretisierungen.

Diskretisierung 1:

$-\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}} \right)+{b_j}\frac{{{u_{j+1}}-{u_{j-1}}}}{{2h}}+{c_j}{u_j} = {f_j}$

Es sei $j$ der Index, für den ${u_j} = \max \limits_{i = 0, \ldots ,N} {u_i}$ gilt.

${c_j}{u_j} = {f_j}+\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}} \right)-\frac{{{b_j}}}{{2h}}\left( {{u_{j+1}}-{u_{j-1}}} \right)$

$= \underbrace {{f_j}}_{ \leq 0}+\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}-\frac{{{b_j}}}{2}} \right)\underbrace {\left( {{u_{j+1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}+\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}+\frac{{{b_j}}}{2}} \right)\underbrace {\left( {{u_{j-1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}$

Wegen der Voraussetzung $h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}}$ ergibt sich $\frac{1}{h}-\frac{{{b_j}}}{2} \geq 0$ und damit insgesamt

${c_j}{u_j} = \underbrace {{f_j}}_{ \leq 0}+\underbrace {\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}-\frac{{{b_j}}}{2}} \right)}_{ \geq 0}\underbrace {\left( {{u_{j+1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}+\underbrace {\frac{1}{h}\left( {\frac{1}{h}+\frac{{{b_j}}}{2}} \right)}_{ > 0}\underbrace {\left( {{u_{j-1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}\quad$

$\Rightarrow \quad {u_j} \leq 0$

Das diskrete Maximumprinzip ist also erfüllt. Das diskrete Vergleichsprinzip folgt aus dem diskreten Maximumprinzip mit ${u_h} = {v_h}-{w_h}$ .#

Diskretisierung 2:

$-\frac{1}{{{h^2}}}\left( {{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}} \right)+\frac{{{b_j}}}{h}\left( {{u_j}-{u_{j-1}}} \right)+{c_j}{u_j} = {f_j}$

Wir führen die gleichen Rechenschritte durch wie oben. Es ergibt sich:

${c_j}{u_j} = \underbrace {{f_j}}_{ \leq 0}+\underbrace {\frac{1}{{{h^2}}}}_{ \geq 0}\left( {\underbrace {{u_{j+1}}-{u_j}}_{ \leq 0}\underbrace {-{u_j}+{u_{j-1}}}_{ \leq 0}} \right)+\underbrace {\frac{{{b_j}}}{h}}_{ \geq 0}\underbrace {\left( {{u_{j-1}}-{u_j}} \right)}_{ \leq 0}\quad \Rightarrow {u_j} \leq 0$

Es gilt also das diskrete Maximumprinzip und daher auch das diskrete Vergleichsprinzip.

b )

Für beliebiges ${v_h}$ mit ${v_h} = 0\quad auf\:\:{\Gamma _h}$ gilt:

${\left\| {{v_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} \leq {C_S}{\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|_{{\Omega _h}}}$

Sei nun ${v_h}$ eine beliebige Gitterfunktion mit ${v_h} = 0\quad auf\:\:{\Gamma _h}$ . Ist ${L_h}{v_h} \equiv 0$ , dann ist auch ${v_h} = 0$ und wir sind fertig.

Sei nun ${L_h}{v_h} \ne 0$ . Betrachte die Hilfsfunktion ${w_h} = \frac{{{{\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|}_{{\Omega _h}}}}}{{{C_0}}} > 0$ . Da ${w_h}$ konstant ist, gilt für alle ${x_i} \in {\Omega _h}$ :

$\left( {{L_h}{w_h}} \right)\left( {{x_i}} \right) = c\left( {{x_i}} \right){w_i} \geq {c_0}{w_i} = {\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|_{{\Omega _h}}} \geq \pm \left( {{L_h}{v_h}} \right)\left( {{x_i}} \right)$

Daraus ergibt sich:

$\left( {-{L_h}{w_h}} \right)\left( {{x_i}} \right) \leq \left( {{L_h}{v_h}} \right)\left( {{x_i}} \right) \leq \left( {{L_h}{w_h}} \right)\left( {{x_i}} \right)$

Da $-{w_h} < 0 = {v_h} < {w_h}\quad auf\:\:{\Gamma _h}$ ist, folgt mit dem Vergleichsprinzip:

$-{w_h} \leq {v_h} \leq {w_h}\quad in\:\:\overline {{\Omega _h}} \quad \Rightarrow \quad {\left\| {{v_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} \leq {\left\| {{w_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = \frac{{{{\left\| {{L_h}{v_h}} \right\|}_{\overline {{\Omega _h}} }}}}{{{C_0}}}$

Aus dem Vergleichsprinzip folgt also die Stabilität des Verfahrens.

$\quad \Rightarrow \quad$ Verfahren 1 stabil für $h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}}$
$\quad \Rightarrow \quad$ Verfahren 2 stabil für alle $h$

c )

Konsistenz für Diskretisierung 1:

$\left( {{L_h}{R_h}u-{R_h}Lu} \right)\left( {{x_i}} \right) = -\frac{1}{{{h^2}}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-2u\left( {{x_i}} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)$

$+\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{{2h}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)$

$+c\left( {{x_i}} \right)u\left( {{x_i}} \right)-\left( {-{u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)+b\left( {{x_i}} \right){u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+c\left( {{x_i}} \right)u\left( {{x_i}} \right)} \right)$

$= {u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)-\frac{1}{{{h^2}}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-2u\left( {{x_i}} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)$

$+\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{{2h}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)-b\left( {{x_i}} \right){u^\prime }\left( {{x_i}} \right)$

Taylorentwicklung für mindestens 4 Mal differenzierbares $u$ :

$u\left( {{x_i} \pm h} \right) = u\left( {{x_i}} \right) \pm h{u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+\frac{{{h^2}}}{2}{u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right) \pm \frac{{{h^3}}}{6}{u^{\prime \prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^4}} \right)\quad \quad \quad \quad \quad \left( * \right)$

$\quad \Rightarrow \quad u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right) = 2h{u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^3}} \right)$

$\quad \Rightarrow \quad {u^\prime }\left( {{x_i}} \right)-\frac{{u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)}}{{2h}} = O\left( {{h^2}} \right)$

Es folgt auch:

$u\left( {{x_i}+h} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right) = 2u\left( {{x_i}} \right)+{h^2}{u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^4}} \right)$

$\quad \Rightarrow \quad {u^{\prime \prime }}\left( {{x_i}} \right)-\frac{{u\left( {{x_i}+h} \right)-2u\left( {{x_i}} \right)+u\left( {{x_i}-h} \right)}}{{{h^2}}} = O\left( {{h^2}} \right)$

Damit erhalten wir insgesamt:

$\left( {{L_h}{R_h}u-{R_h}Lu} \right)\left( {{x_i}} \right) = O\left( {{h^2}} \right)\quad \Rightarrow \quad$ Konsistenzordnung 2.

Konsistenz für Diskretisierung 2:

Wir verfahren genau wie bei Diskretisierung 1, wählen aber statt der zentralen Differenz

$\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{{2h}}\left( {u\left( {{x_i}+h} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)$

die Rückwärtsdifferenz

$\frac{{b\left( {{x_i}} \right)}}{h}\left( {u\left( {{x_i}} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)} \right)$ .

Aus $\left( * \right)$ erhalten wir:

$u\left( {{x_i}} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right) = h{u^\prime }\left( {{x_i}} \right)+O\left( {{h^2}} \right)\quad \Rightarrow \quad {u^\prime }\left( {{x_i}} \right) = \frac{{u\left( {{x_i}} \right)-u\left( {{x_i}-h} \right)}}{h}+O\left( h \right)$

Dies entspricht der Konsistenzordnung 1.

d )

Satz: Wenn ein stabiles Verfahren die Konsistenzordnung $p$ hat, hat sie auch die Konvergenzordnung $p$ .

$\quad \Rightarrow \quad$ Diskretisierung 1 hat die Konvergenzordnung 2, falls $h \leq \frac{2}{{{{\left\| b \right\|}_{{\Omega _h}}}}}$ .
$\quad \Rightarrow \quad$ Diskretisierung 2 hat die Konvergenzordnung 1.

Für Konvergenz mit Ordnung $p$ muss gelten: ${\left\| {{R_h}u-{u_h}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = O\left( {{h^p}} \right)$ .

Wir können die Konvergenzrate schätzen:

${e_{h1}} = {\left\| {{R_{h1}}u-{u_{h1}}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = Ch_1^p,\quad {e_{h2}} = {\left\| {{R_{h1}}u-{u_{h1}}} \right\|_{\overline {{\Omega _h}} }} = Ch_2^p$

$\quad \Rightarrow \quad \frac{{{e_{h1}}}}{{{e_{h2}}}} = \frac{{h_1^p}}{{h_2^p}}\quad \Rightarrow \quad \log \left( {\frac{{{e_{h1}}}}{{{e_{h2}}}}} \right) = \log {\left( {\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}} \right)^p}\quad \Rightarrow \quad p = \frac{{\log \left( {\frac{{{e_{h1}}}}{{{e_{h2}}}}} \right)}}{{\log \left( {\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}} \right)}}$

Hinweis für die Anwendung:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {} & {} & {} & {} & {} \\{-\frac{1}{{{h^2}}}-\frac{{{b_1}}}{{2h}}} & {{c_1}+\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}+\frac{{{b_1}}}{{2h}}} & {} & {} & {} \\{} & {-\frac{1}{{{h^2}}}-\frac{{{b_2}}}{{2h}}} & {{c_2}+\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}+\frac{{{b_2}}}{{2h}}} & {} & {} \\{} & {} & {} & {} & {} & {} \\{} & {} & {} & {-\frac{1}{{{h^2}}}-\frac{{{b_{N-1}}}}{{2h}}} & {{c_{N-1}}+\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}+\frac{{{b_{N-1}}}}{{2h}}} \\{} & {} & {} & {} & {} & 1 \\ \end{array} } \right)$