Gegeben sei die Randwertaufgabe
wobei
Es sollen zwei Diskretisierungen untersucht werden.
Diskretisierung 1:
Diskretisierung 2:
a )
Zeigen Sie das diskrete Vergleichsprinzip für beide Diskretisierungen. Für (1) muss man voraussetzen. Für (2) ist diese Voraussetzung nicht nötig.
b )
Untersuchen Sie die Stabilität der beiden Verfahren
c )
Bestimmen Sie die Konsistenzordnung der beiden Verfahren
d )
Untersuchen Sie die Konvergenz der beiden Verfahren
Lösung
a )
Diskretes Maximumprinzip:
Wenn , dann ist
.
Diskretes Vergleichsprinzip:
Gilt für zwei Funktionen und
, dass
, dann ist
.
Wir betrachten nun die beiden gegebenen Diskretisierungen.
Diskretisierung 1:
Es sei der Index, für den
gilt.
Wegen der Voraussetzung ergibt sich
und damit insgesamt
Das diskrete Maximumprinzip ist also erfüllt. Das diskrete Vergleichsprinzip folgt aus dem diskreten Maximumprinzip mit .#
Diskretisierung 2:
Wir führen die gleichen Rechenschritte durch wie oben. Es ergibt sich:
Es gilt also das diskrete Maximumprinzip und daher auch das diskrete Vergleichsprinzip.
b )
Für beliebiges mit
gilt:
Sei nun eine beliebige Gitterfunktion mit
. Ist
, dann ist auch
und wir sind fertig.
Sei nun . Betrachte die Hilfsfunktion
. Da
konstant ist, gilt für alle
:
Daraus ergibt sich:
Da ist, folgt mit dem Vergleichsprinzip:
Aus dem Vergleichsprinzip folgt also die Stabilität des Verfahrens.
Verfahren 1 stabil für
Verfahren 2 stabil für alle
c )
Konsistenz für Diskretisierung 1:
Taylorentwicklung für mindestens 4 Mal differenzierbares :
Es folgt auch:
Damit erhalten wir insgesamt:
Konsistenzordnung 2.
Konsistenz für Diskretisierung 2:
Wir verfahren genau wie bei Diskretisierung 1, wählen aber statt der zentralen Differenz
die Rückwärtsdifferenz
.
Aus erhalten wir:
Dies entspricht der Konsistenzordnung 1.
d )
Satz: Wenn ein stabiles Verfahren die Konsistenzordnung hat, hat sie auch die Konvergenzordnung
.
Diskretisierung 1 hat die Konvergenzordnung 2, falls
.
Diskretisierung 2 hat die Konvergenzordnung 1.
Für Konvergenz mit Ordnung muss gelten:
.
Wir können die Konvergenzrate schätzen:
Hinweis für die Anwendung:
Es muss gelöst werden: