1.7 – Rauschen

Ein Rauschen ist ein nicht vorhersagbares Fluktuieren der Spannung. Es begründet sich im quantenhaften Stromtransport und begrenzt die prinzipielle Genauigkeit einer Messung. Thermisches Rauschen und Schrotrauschen sind unvermeidbar, was an Naturgesetzen liegt, und nicht an den Geräten, die von diesen beeinflusst werden. Andere Arten von Rauschen sind vor allem von der Herstellungsqualität der Geräte abhängig.

rauschen-weiss-white-noise-diagramm

Es gibt verschiedene Arten von Rauschen. Zum Einen kann man unterscheiden, wo das Rauschen auftritt:

Signalrauschen
Verstärkerrauschen

Außerdem kann man nach unterschiedlichen physikalischen Effekten unterscheiden, aus denen Rauschen resultiert:

Thermisches Rauschen (thermal noise)
Schrotrauschen (shot noise)
Funkelrauschen (flicker noise)
Rauschimpulse (burst noise)

1.7.1 Thermisches Rauschen

Wir wollen eine Spannung messen, die an den beiden Enden eines Widerstandes anliegt:

thermisches-rauschen-widerstand-verstarker

Die Ladung verteilt sich in der Leitung, das Signal wird daher schwächer. Das Signal kann nicht mehr verstärkt werden, wenn es ein parasitäres Signal gibt, das stärker als das zu messende Signal ist. Zum Beispiel durch Lichteinfall entstehen diskrete Ladungsträger (Elektronen). Diese haben thermische Energie. Jedes Elektron hat die Chance, von der einen Seite des Widerstandes auf die andere zu kommen. Dadurch kommt es zu einer Ladungstrennung, die eine Spannung erzeugt. Diese Spannung fluktuiert, da die Elektronen mal von der oberen Seite des Widerstandes auf die untere wandern und mal von unten nach oben.

Das zeitliche Mittel der Rauschspannung ist 0:

$\left\langle {{U_R}} \right\rangle = 0$

Wir mitteln das Quadrat der Rauschspannung über eine bestimmte Zeit:

$\left\langle {U_R^2} \right\rangle = \frac{{\int_0^T {U_R^2\left( t \right)dt} }} {T}$

Diese quadrierte Spannung kann wie folgt berechnet werden (Zusammenhang mit Schwarzkörperstrahlung):

$\left\langle {U_R^2} \right\rangle = 4 \cdot R \cdot \Delta f \cdot \frac{{h \cdot f}} {{{e^{\frac{{h \cdot f}} {{k \cdot T}}}}-1}}$

Je länger der Zeitraum ist, über den man mittelt, desto geringer wird die Bandbreite des Rauschens. Wenn wir ein Signal messen, müssen wir entscheiden, welche Frequenz wir betrachten wollen und wie groß der zulässige Frequenzbereich sein soll. Wie in der Formel oben ersichtlich hängt das Rauschen von der Frequenz $f$ ab. Wenn $hf$ viel größer als $kT$ ist, folgt:

$\frac{{hf}} {{kT}} \gg 1\quad \Rightarrow \quad \left\langle {U_R^2} \right\rangle = 4 \cdot R \cdot \Delta f \cdot h \cdot f \cdot {e^{-\frac{{h \cdot f}} {{k \cdot T}}}}$

Ist die Frequenz klein, ergibt sich:

$\frac{{hf}} {{kT}} \ll 1\quad \Rightarrow \quad {e^{\frac{{h \cdot f}} {{k \cdot T}}}} \approx 1+\frac{{h \cdot f}} {{k \cdot T}}+ \ldots$

Daraus folgt die Nyquist-Formel:

$\Rightarrow \quad \left\langle {U_R^2} \right\rangle = 4 \cdot R \cdot \Delta f \cdot k \cdot T$

Das Rauschen erstreckt sich auf einen bestimmten Frequenzbereich. Beim sogenannten weißen Rauschen erstreckt sich der auf alle Frequenzen bis zu einer bestimmten Grenzfrequenz:

rauschen-grenzfrequenz-bandbreite

Das weiße Rauschen ist für alle Frequenzen etwa konstant. Wir bestimmen nun die Grenzfrequenz:

${f_g} = \frac{{k \cdot T}} {h} = \frac{{k \cdot T \cdot c}} {{h \cdot c}}$

Der Faktor $kT$ ist bei Zimmertemperatur:

$kT = 25meV = \frac{1} {{40}}eV$

Ein Kubikzentimeter Eisen hat pro Kubikzentimeter nur eine Anzahl von Ladungsträgern von etwa $N = {10^{23}}$ . Normale Leiter (z.B. Kabelverbindungen) sind relativ dünn. Fluktuationen im Voltbereich sind daher nicht möglich. Sie beschränken sich auf den Mikrovolt-Bereich.

Der Faktor $hc$ ist $2\pi \cdot \hbar c = 2\pi \cdot 197eVnm$ . Es ergibt sich:

${f_g} = \frac{{k \cdot T}}{h} = \frac{{k \cdot T \cdot c}} {{h \cdot c}} = \frac{{25 \cdot {{10}^{-3}}eV \cdot e \cdot {{10}^8}m}} {{197eVnm \cdot 2\pi m}} = 6 \cdot {10^{12}}Hz$

Die Frequenz des Rauschens muss irgendwo zu Ende sein, da sonst $\Delta f$ beliebig groß werden könnte. Da $\left\langle {U_R^2} \right\rangle$ einer Energie entspricht, hätte das Rauschen dann unendlich große Energie.

Die Frequenz von Licht ist etwa ${10^{15}}$ , was weit oberhalb vom Limit liegt. Bei Zimmertemperatur leuchtet daher ein Gegenstand nicht. Wenn aber die Temperatur so groß ist wie auf der Sonnenoberfläche (6000K) entsteht thermisches Rauschen, das wir als Licht wahrnehmen.

Optische Übertragungstechnik arbeitet mit einzelnen Photonen. Sie ist daher nicht nur schneller, sondern auch rauschfreier als elektrische Übertragung. Um mit einzelnen Elektronen zu arbeiten, müsste man den Leiter auf 4K kühlen, damit das Rauschen nicht zu groß wird.

Rauschleistung:

$P = \frac{{\left\langle {U_R^2} \right\rangle }} {R} = {U_R}{I_R} = 4 \cdot \Delta f \cdot kT$

${I_R} = \frac{{{U_R}}} {R} = \frac{{\sqrt {\left\langle {U_R^2} \right\rangle } }} {R} = \sqrt {\frac{{4 \cdot \Delta f \cdot kT}} {R}}$

1.7.2 Schrotrauschen – Stromrauschen

Schrotrauschen tritt immer auf, wenn ein Strom fließt, während das thermische Rauschen auch schon vorhanden ist, wenn der mittlere Strom 0 ist.

schrotrauschen-stromfluss-widerstand

Der Unterschied zu vorher ist, dass nun ein mittlerer Strom ${I_0}$ durch den Widerstand fließt. Wir betrachten als Widerstand zum Beispiel einen Glühfaden:

schrotrauschen-gluhfaden-emission-elektron

Strom heißt hier, dass ein Elektron emittiert und transportiert wird, wodurch eine Spannung entsteht. Dies passiert zu nicht vorhersagbaren Zeitpunkten. Wir können aber wieder über die Zeit mitteln. Der mittlere Strom ist der Quotient aus transportierter Ladung und dem Zeitintervall:

$\left\langle I \right\rangle = \frac{q}{T}$

Die Ladung ist ein Vielfaches der Elementarladung:

$q = N \cdot e$

Dabei ist $N$ die Anzahl der transportierten Ladungen. Bei diesem Emittieren und Transportieren von Elektronen kommt es zu einer Fluktuation, da mal viele Elektronen emittiert werden und mal wenige. Wenn wir annehmen, dass die Elektronen nach dem Emittieren sofort ankommen, besteht der Strom aus Deltafunktionen:

schrotrauschen-signal-deltafunktion-stromfluss

Da der Weg aber Zeit in Anspruch nimmt, erzeugt jedes Elektron einen Rechteckpuls. Diese können sich gegenseitig überlagern:

schrotrauschen-stromfluss-rechteckpuls-durchschnitt

Wir betrachten nun die Anzahl $k$ von Ladungsträgern, die in der Zeit t durch den Widerstand treten. Es gilt folgender Satz:

Die Wahrscheinlichkeit $P\left( {k,t} \right)$ , dass $k$ Ladungsträger bei einer Transportrate $\lambda = \frac{N}{t}$ in der Zeit $t$ durch den Widerstand treten, ist gegeben durch die Poisson-Verteilung:

$P\left( {k,t} \right) = \frac{{{{\left( {\lambda \cdot t} \right)}^k}}}{{k!}} \cdot {e^{-\lambda \cdot t}} = \frac{{{N^k}}}{{k!}} \cdot {e^{-N}}$

Für den mittleren Strom gilt: ${I_0} = q\lambda = \frac{q}{\tau }$ , es werden $N = \lambda t$ Ladungen transportiert.

Beweis:

$\sum\limits_{k = 0}^\infty {P\left( {k,t} \right)} = {e^{-\lambda t}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}} = {e^{-\lambda t}}{e^{\lambda t}} = 1$
$t = 0:\quad P\left( {0,0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^0}}}{{0!}}{e^{-\lambda t}} = \frac{1}{1} \cdot 1 = 1$
(Für kurze Zeiten geht die Wahrscheinlichkeit, dass keine Ladung transportiert wird, gegen 1)

$P\left( {k,0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}{e^{-\lambda t}} = \frac{0}{{k!}} \cdot 1 = 0$

(Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem unendlich kurzen Zeitintervall Ladungen transportiert werden, geht gegen 0)

Beweis für $t > 0$ mit Induktion in $k$ .
$k = 0:\quad P\left( {0,t+dt} \right) = P\left( {0,t} \right)-\lambda \cdot dt \cdot P\left( {0,t} \right)$
$\frac{{P\left( {0,t+dt} \right)-P\left( {0,t} \right)}}{{dt}} = -\lambda P\left( {0,t} \right) = \frac{d}{{dt}}P\left( {0,t} \right)$

Die Funktion ist also proportional zu ihrer eigenen Ableitung. Dies ist bei der Exponentialfunktion der Fall:

$P\left( {0,t} \right) = A{e^{-\lambda t}},\quad \quad P\left( {0,0} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad A = 1\quad \Rightarrow \quad P\left( {0,t} \right) = {e^{-\lambda t}}$
Induktionsschritt:
$k-1 \to k:\quad P\left( {k,t+dt} \right) = P\left( {k,t} \right)-\lambda \cdot dt \cdot P\left( {k,t} \right)+\lambda \cdot dt \cdot P\left( {k-1,t} \right)$

$\frac{{P\left( {k,t+dt} \right)-P\left( {k,t} \right)}}{{dt}} = -\lambda \left( {P\left( {k,t} \right)-P\left( {k-1,t} \right)} \right)$

$\frac{d}{{dt}}P\left( {k,t} \right)+\lambda P\left( {k,t} \right) = \lambda P\left( {k-1,t} \right)$

Wir lösen nun die Differentialgleichung. Lösung der homogenen DGL: $P\left( {k,t} \right) = {A_k}{e^{-\lambda t}}$ . Für die inhomogene DGL benutzen wir die Methode der Variation der Konstanten:

$P\left( {k,t} \right) = {A_k}\left( t \right){e^{-\lambda t}}\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{{dt}}{A_k}\left( t \right){e^{-\lambda t}} = \lambda P\left( {k-1,t} \right)$

$P\left( {k-1,t} \right) = \frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^{k-1}}}}{{\left( {k-1} \right)!}}{e^{-\lambda t}}$

$\frac{d}{{dt}}{A_k}\left( t \right){e^{-\lambda t}} = \lambda \frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^{k-1}}}}{{\left( {k-1} \right)!}}{e^{-\lambda t}} = {\lambda ^k}\frac{{{t^{k-1}}}}{{\left( {k-1} \right)!}}$

${A_k}\left( t \right) = \frac{{{\lambda ^k}{t^k}}}{{k!}}+C$

$t \to 0\quad \Rightarrow \quad {A_k}\left( t \right) \to 0\quad \Rightarrow \quad C = 0$

$P\left( {k,t} \right) = \frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}{e^{-\lambda t}}\quad \quad q.e.d.$

Wir wollen die Standardabweichung der Strommessung in der Zeit $t$ bestimmen. Dazu betrachten wir einige Eigenschaften der Poissonverteilung.

Mittelwert für die Anzahl der transportierten Ladungen:

$\left\langle k \right\rangle = \sum\limits_{k = 0}^\infty {k\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}{e^{-\lambda t}}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\lambda t{{\left( {\lambda t} \right)}^{k-1}}}}{{\left( {k-1} \right)!}}{e^{-\lambda t}}} = \lambda t{e^{-\lambda t}}\sum\limits_{\hat k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^{\hat k}}}}{{\hat k!}}} = \lambda t = N$

Mittelwert für den Strom:

$\left\langle I \right\rangle = {I_0} = \frac{{qN}}{t} = q\lambda = \frac{q}{\tau }$

Varianz:

${\sigma ^2} = \left\langle {{{\left( {k-\left\langle k \right\rangle } \right)}^2}} \right\rangle = \left\langle {{k^2}-2k\left\langle k \right\rangle +{{\left\langle k \right\rangle }^2}} \right\rangle = \left\langle {{k^2}} \right\rangle -\left\langle {2k\left\langle k \right\rangle } \right\rangle +\left\langle {{{\left\langle k \right\rangle }^2}} \right\rangle$

$= \left\langle {{k^2}} \right\rangle -2{\left\langle k \right\rangle ^2}+{\left\langle k \right\rangle ^2} = \left\langle {{k^2}} \right\rangle -{\left\langle k \right\rangle ^2}$

Wir können $\left\langle {{k^2}} \right\rangle -{\left\langle k \right\rangle ^2}$ hier benutzen, da wir theoretisch arbeiten. Im Experiment sollte man lieber mit der ursprünglichen Formel rechnen, da bei der umgestellten Version zwei große Zahlen voneinander abgezogen werden, es kommt zu numerischer Auslöschung.

$\left\langle {{k^2}} \right\rangle = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{k^2}\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}} {e^{-\lambda t}} = \lambda t{e^{-\lambda t}}\sum\limits_{k = 1}^\infty {k\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^{k-1}}}}{{\left( {k-1} \right)!}}} = \lambda t{e^{-\lambda t}}\sum\limits_{\hat k = 0}^\infty {\frac{{\left( {\hat k+1} \right){{\left( {\lambda t} \right)}^{\hat k}}}}{{\hat k!}}}$

$= \lambda t{e^{-\lambda t}}\left( {\sum\limits_{\hat k = 0}^\infty {\frac{{\hat k{{\left( {\lambda t} \right)}^{\hat k}}}}{{\hat k!}}} +\sum\limits_{\hat k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^{\hat k}}}}{{\hat k!}}} } \right) = \lambda t{e^{-\lambda t}}\left( {\lambda t{e^{\lambda t}}+{e^{\lambda t}}} \right) = {\left( {\lambda t} \right)^2}+\lambda t$

Einsetzen:

${\sigma ^2} = \left\langle {{k^2}} \right\rangle -{\left\langle k \right\rangle ^2} = {\left( {\lambda t} \right)^2}+\lambda t-{\left( {\lambda t} \right)^2} = \lambda t$

Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt {\lambda t} = \sqrt N$

Verhältnis von Standardabweichung zu gemessener Anzahl an übertragener Elektronen:

$\frac{\sigma }{N} = \frac{1}{{\sqrt N }}$

Es müssen also möglichst viele Ladungen transportiert werden, um die Fluktuation zu minimieren.

Wir betrachten nun den Rauschstrom $\left\langle {{I_R}} \right\rangle$ .

Es gilt:

$\left\langle {I_R^2} \right\rangle = \left\langle {{I^2}} \right\rangle -I_0^2 = \left\langle {{{\left( {q\frac{k}{t}} \right)}^2}} \right\rangle -{\left( {q\lambda } \right)^2}$

$= \frac{{{q^2}}}{t}\left\langle {{k^2}} \right\rangle -{\left( {q\lambda } \right)^2} = \frac{{{q^2}}}{{{t^2}}}{\lambda ^2}{t^2}+\frac{{{q^2}}}{{{t^2}}}\lambda t-{q^2}{\lambda ^2}$

$= \frac{{{q^2}}}{{{t^2}}}\lambda t = \frac{q}{t}q\lambda = \frac{q}{t}{I_0}$

$\left\langle {I_R^2} \right\rangle = \frac{q}{t}{I_0} = 2q{I_0}\Delta f = 2e{I_0}\Delta f$

1.7.3 Funkelrauschen und weitere Rauschquellen

Funkelrauschen (engl. “Flicker noise”) ist ein Typ von elektronischem Rauschen mit einem Spektrum von 1/f (auch pinkes Spektrum genannt). Es tritt in fast allen elektronischen Geräten auf und resultiert aus mehreren Effekten wie Unreinheiten in Leitern, Erzeugung und Rekombination von Rauschen in Transistoren. Weiterhin induziert das elektrische Feld von Kabeln in deren Nähe Strom. Die Kabel haben auch eine geringe Induktivität, nicht geerdete Geräte haben Kapazität, es entsteht ein Schwingkreis.

Die Frequenz des Funkelrauschens ist wie gesagt gering, bei höheren Frequenzen wird es von weißem Rauschen wie Stromrauschen und thermischem Rauschen überlagert.

rauschen-messung-funkel-thermisch-schrot

Weitere Rauschquellen:

Stromnetz (50Hz)
Radiosender (100MHz)
Handy, Mikrowelle (1GHz)

Die genauesten Messungen sind zwischen 1kHz und 100kHz möglich.

1.7.4 Rauschen eines Operationsverstärkers

rauschen-operationsverstarker-spannung-strom

Es gilt:

${U_{a,R}} = k \cdot {U_{R,ges}}$

Die Rauschanteile sind alle statistisch und voneinander unabhängig, wir können sie daher quadratisch addieren:

$U_{R,ges}^2 = U_{R,U}^2+U_{R,I}^2+U_Q^2$

Dabei stehen die Anteile für die Rauschspannungen durch Spannungsrauschen, Stromrauschen und Quellrauschen. Da die Widerstände im Schaltkreis als Spannungsteiler agieren, müssen wir noch Vorfaktoren einfügen:

$U_{R,ges}^2 = {l_1}U_{R,U}^2+{l_2}U_{R,I}^2+{l_3}U_Q^2$

Diese Faktoren können wir explizit angeben. Dabei schreiben wir nun die Spannung des Stromrauschens als Strom auf:

$U_{R,ges}^2 = \underbrace {U_{R,U}^2{{\left( {\frac{{{R_e}}}{{{R_e}+{R_Q}}}} \right)}^2}+I_R^2{{\left( {\frac{{{R_e}{R_Q}}}{{{R_e}+{R_Q}}}} \right)}^2}}_{Verst\ddot arkerrauschen}+\underbrace {4kT{R_Q}\Delta f{{\left( {\frac{{{R_e}}}{{{R_e}+{R_Q}}}} \right)}^2}}_{Signalrauschen}$

An jedem der beiden Widerstände liegt nur ein Teil der Gesamtspannung an. Bei vielen Verstärkern ist der eine Eingang des OPs auf Masse gelegt (in dem Schaltbild oben müsste dann der orangene Punkt an Masse angeschlossen werden). In solch einem Fall würde sich der Strom immer noch teilen, die Spannung aber komplett im Verstärker abfallen.

1.7.5 Rauschzahl eines Verstärkers

Es ist nicht leicht, die Standardabweichung der Rauschspannung zu messen. Man integriert daher die quadrierte Abweichung zwischen mittlerer Spannung und aktueller Spannung. So entsteht eine Rauschleistung.

Wir definieren nun die Rauschzahl eines Verstärkers:

$F: = \frac{{\frac{{{P_{Signal,Eingang}}}}{{{P_{Rausch,Eingang}}}}}}{{\frac{{{P_{Signal,Ausgang}}}}{{{P_{Rausch,Ausgang}}}}}} = \frac{{{P_{SE}}}}{{{P_{SA}}}} \cdot \frac{{{P_{RA}}}}{{{P_{RE}}}} = \frac{1}{{{k^2}}} \cdot \frac{{{P_{RA}}}}{{{P_{RE}}}}$

Für die Leistung des Rauschens am Ausgang gilt:

${P_{RA}} = {k^2}\underbrace {\left( {{P_{RE}}+{P_{RV}}} \right)}_{{P_{RE,ges}}}$ ,

also die Verstärkung zum Quadrat, multipliziert mit der Summe aus Signalrauschen und Verstärkerrauschen. Wir setzen ein:

$F = \frac{1}{{{k^2}}} \cdot \frac{{{P_{RA}}}}{{{P_{RE}}}} = \frac{{{P_{RE}}+{P_{RV}}}}{{{P_{RE}}}} = 1+\frac{{{P_{RV}}}}{{{P_{RE}}}}$

Je näher diese Zahl an 1 ist, desto besser ist der Verstärker. Je größer die Zahl, desto stärker ist das Verstärkerrauschen im Vergleich zum Signalrauschen.

Wir betrachten nun eine Hintereinanderschaltung von Verstärkern:

rauschzahl-verstarker-reihenschaltung

Der Verstärkungsfaktor des Gesamtverstärkers ergibt sich zu:

$k = {k_1} \cdot {k_2} \cdot \ldots \cdot {k_n}$

Für die Rauschleistung gilt:

${P_{RA}} = \ldots k_2^2\left[ {k_1^2\left( {{P_{RE}}+{P_{RV1}}} \right)+{P_{RV2}}} \right]+ \ldots$

Wir können nun die Rauschzahl des Gesamtverstärkers berechnen:

$F = \frac{1}{{k_1^2 \cdot k_2^2 \cdot \ldots }} \cdot \frac{{ \ldots k_2^2\left[ {k_1^2\left( {{P_{RE}}+{P_{RV1}}} \right)+{P_{RV2}}} \right]+ \ldots }}{{{P_{RE}}}}$

$= {F_1}+\frac{1}{{k_1^2}}\left( {{F_2}-1} \right)+\frac{1}{{k_1^2k_2^2}}\left( {{F_3}-1} \right)+ \ldots \approx {F_1}$

1.7.6 Lock-in Verstärker

Für langsam veränderliche Signale ${U_0}\left( t \right) \approx {U_0}$ gibt es oft hohe Rauschspannungen:

rauschen-langsam-veranderliches-signal

Der Lock-in Verstärker schaltet in festen Zeitintervallen (mit der Frequenz $\omega$ ) den Eingang an und aus, es ergibt sich folgendes Signal:

rauschen-zerhacker-schalter-frequenz

Das Signal ohne Rauschen lässt sich beschreiben durch:

${U_S} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_0}\quad \quad 0 \leq t \leq \frac{T}{2}} \\{0\quad \quad \:\:\frac{T}{2} < t < T} \\ \end{array} } \right.$

Fourierreihenentwicklung (wie im Artikel über die Analyse von Schwingungen beschrieben):

${U_S}\left( t \right) = \frac{{{U_0}}}{2}+\underbrace {\frac{{2{U_0}}}{\pi }}_{ = :A}\left( {\sin \left( {\omega t} \right)+\frac{{\sin \left( {3\omega t} \right)}}{3}+ \ldots } \right)$

Analyse:

Wir multiplizieren nun ${U_S}\left( t \right)$ mit ${U_B}\left( t \right) = B\sin \left( {{\omega _B}t+\varphi } \right)$ :

${U_S}\left( t \right){U_B}\left( t \right) = \frac{{{U_0}}}{2}B\sin \left( {{\omega _B}t+\varphi } \right)+AB\sin \left( {\omega t} \right)\sin \left( {{\omega _B}t+\varphi } \right)$

$+\frac{{AB}}{3}\sin \left( {3\omega t} \right)\sin \left( {{\omega _B}t+\varphi } \right)$

Nun verwenden wir folgendes Additionstheorem:

$\sin x\sin y = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {x-y} \right)-\cos \left( {x+y} \right)} \right)$

Es ergibt sich:

${U_S}\left( t \right){U_B}\left( t \right) = \frac{{{U_0}}}{2}B\sin \left( {{\omega _B}t+\varphi } \right)+\frac{{AB}}{2}\cos \left[ {\left( {\omega -{\omega _B}} \right)t-\varphi } \right]$

$-\frac{{AB}}{2}\cos \left[ {\left( {\omega +{\omega _B}} \right)t+\varphi } \right]+ \ldots$

Wir setzen ${\omega _B} \approx \omega$ und legen einen Tiefpass an mit ${\omega _g} \ll \omega ,{\omega _B}$ :

uberlagerung-harmonisches-signal-tiefpass

Es ergibt sich:

${U_a}\left( t \right) = \frac{{AB}}{2}\sqrt {\frac{1}{{1+{{\left( {\frac{{\omega -{\omega _g}}}{{{\omega _g}}}} \right)}^2}}}} \cdot \cos \left( {\left( {\omega -{\omega _B}} \right)t-\varphi } \right)+O\left( {{{\sin }^n}\left( {\omega t} \right)} \right) \to \frac{{AB}}{2}\cos \varphi$

Das Rauschen addiert sich auf das Signal:

${U_T}\left( t \right) = \int_{-\infty }^\infty {{{\hat U}_R}\left( \omega \right){e^{i\omega t}}d\omega } ,\quad {U_R}\left( t \right)$

$= \int_{-\infty }^\infty {\left( {{{\hat U}_{R1}}\sin \left( {{\omega _R}t} \right)+{{\hat U}_{R2}}\cos \left( {{\omega _R}t} \right)} \right)d\omega }$

${U_{aR}}\left( t \right) = \frac{{{U_R}\left( {{\omega _R}} \right)B}}{2}\sqrt {\frac{1}{{1+{{\left( {\frac{{{\omega _R}-{\omega _B}}}{{{\omega _g}}}} \right)}^2}}}} \cdot \cos \left( {\left( {{\omega _R}-{\omega _B}} \right)t} \right)$

Wir messen daher nur in einem kleinen Frequenzbereich, wodurch das Rauschen minimiert wird. Wir könnten dies auch bei einer geringeren Frequenz tun, dort gibt es aber ein hohes Funkelrauschen.

1 Kommentar zu “1.7 – Rauschen”

05. 05. 11 at 2:09 pm

Hi, wie kommt man denn bei der Formel für das Schrotrauschen auf

$\frac{1}{t} = 2 \Delta f$

Mathematical Engineering