37 – Näherungsweise Berechnung von ω – Rayleigh-Quotient

 

In diesem und dem nächsten Artikel sollen zwei Möglichkeiten der Näherungsweisen Berechnung von Eigenkreisfrequenzen vorgestellt werden. Wir beginnen dabei mit der Methode “Energiequotient” (auch Rayleigh-Quotient genannt) und fahren im nächsten Artikel fort mit dem Verfahren nach Ritz.

Der Energiequotient ist gut am Beispiel der Saite zu zeigen. Wir betrachten eine Saite konstanter Massenbelegung ρA mit r zusätzlichen Einzelmassen mj bei xj:

Ausgangspunkt ist der Energieerhaltungssatz:

K+W = const

Die in der gesamten Saite gespeicherte Formänderungsenergie (potentielle Energie in Form von elastischer Verformung) ist:

W = \frac{S} {2}\int_0^l {w^{\prime 2} dx}

Die durch die Bewegung in der Saite und den Einzelmassen gespeicherte kinetische Energie ist:

K = \frac{1} {2}\left[ {\rho A\int_0^l {\dot w^2 dx+\sum\limits_{j = 1}^r {m_j \dot w^2 \left( {x_j } \right)} } } \right]

Wir brauchen also die erste Ableitung von der Verschiebungsform w nach der Ort und nach der Zeit. Für harmonische Schwingungen gilt:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)\cos \left( {\omega t+\alpha } \right)

Ableitung nach dem Ort:

w^{\prime} \left( {x,t} \right) = \hat w^{\prime} \left( x \right)\cos \left( {\omega t+\alpha } \right)

Ableitung nach der Zeit:

\dot w\left( {x,t} \right) = -\omega \hat w\left( x \right)\sin \left( {\omega t+\alpha } \right)

Diese Ableitungen setzen wir in die Gleichungen für W und K ein:

K = \frac{1} {2}\left[ {\rho A\int_0^l {\left( {-\omega \hat w\left( x \right)\sin \left( {\omega t+\alpha } \right)} \right)^2 dx+\sum\limits_{j = 1}^r {m_j \left( {-\omega \hat w\left( x \right)\sin \left( {\omega t+\alpha } \right)} \right)^2 \left( {x_j } \right)} } } \right]

K = \frac{1} {2}\left[ {\rho A\int_0^l {\left( {-\omega \hat w\left( x \right)} \right)^2 dx+\sum\limits_{j = 1}^r {m_j \left( {-\omega \hat w\left( x \right)} \right)^2 \left( {x_j } \right)} } } \right]\sin ^2 \left( {\omega t+\alpha } \right)

K = \frac{{\omega ^2 }} {2}\left[ {\rho A\int_0^l {\hat w^2 dx+\sum\limits_{j = 1}^\infty  {m_j \hat w^2 \left( {x_j } \right)} } } \right]\sin ^2 \left( {\omega t+\alpha } \right)

K = K_{\max } \sin ^2 \left( {\omega t+\alpha } \right) = \omega ^2 \bar K\sin ^2 \left( {\omega t+\alpha } \right)

Dabei ist {\bar K} bie bezogene Energie.

W = \frac{S} {2}\int_0^l {\left( {\hat w^{\prime} \left( x \right)\cos \left( {\omega t+\alpha } \right)} \right)^2 dx}

W = \frac{S} {2}\int_0^l {\hat w^{\prime 2} \left( x \right)dx} \cos ^2 \left( {\omega t+\alpha } \right)

W = W_{\max } \cos ^2 \left( {\omega t+\alpha } \right)

Im Durchgang durch die Ruhelage gilt W = 0, d.h. die gesamte Energie liegt dann als kinetische Energie vor:

K+W = K_{\max }  = \omega ^2 \bar K

Im Umkehrpunkt ist dagegen K = 0, die gesamte Energie ist dann als Formänderungsenergie gespeichert:

K+W = W_{\max }

Aus diesen beiden Gleichungen folgt für die Kreisfrequenz:

\omega ^2  = \frac{{W_{\max } }} {{\bar K}}

mit

W_{\max }  = \frac{S} {2}\int_0^l {w^{\prime 2} dx}

und

\bar K = \frac{1} {2}\left[ {\rho A\int_0^l {\hat w^2 dx+\sum\limits_{j = 1}^\infty  {m_j \hat w^2 \left( {x_j } \right)} } } \right]

Da die Schwingungsform im Allgemeinen nicht bekannt ist, wählt man als Ersatz eine zulässige Funktion

\hat w\left( x \right) = \rho _1 \varphi _1 \left( x \right)

welche mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen muss. Die Funktion φ kann zum Beispiel ein Polynom sein, das auf Grund der festen Einspannung der Saite an beiden Enden durch 0 gehen muss. Aus diesen Gleichungen folgt zusammenfassend:

\omega _1  = \sqrt {\frac{{S\int_0^l {\varphi _1^{\prime} \varphi _1^{\prime} dx} }} {{\rho A\int_0^l {\varphi _1 \varphi _1 dx+\sum\limits_{j = 1}^\infty  {m_j \varphi _1 ^2 \left( {x_j } \right)} } }}}

Damit lässt sich näherungsweise die erste Eigenkreisfrequenz einer Saite berechnen, die mit Einzelmassen (z.B. Messaufnehmern) besetzt ist. Die Formel gilt auch für ortsabhängige Massenbelegung; ρA ist dann in die Ingegratsion einzubeziehen.

Analoge Überlegungen können für alle Kontinuumschwinger angestellt werden. Neben Einzelmassen lassen sich auch Einzelfedern berücksichtigen. Je besser die “zulässige” Koordinatenfunktion mit der tatsächlichen Schwingugnsform übereinstimmt, desto besser ist die Näherung.

zulässige Funktion: geometrische Randbedingungen erfüllt
Vergleichsfunktion: dynamische Randbedingungen erfüllt