.09.1 – Rayleigh Quotient für schlanken Kreiskegel

 

Ermitteln Sie mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten (Energiequotienten) näherungsweise die erste Eigenkreisfrequenz ω1 eines schlanken Kreiskegels, der Dehnschwingungen in Richtung seiner Längsachse ausführt.

Gegeben:

r0, L, ρ, E

Lösung

Der Rayleigh-Quotient geht auf eine Energiebetrachtung zurück: Die kinetische Energie und die Formänderungsenergie (potentielle Energie) sind in der Summe konstant:

K+W = const

Beim Durchgangspunkt durch die Ruhelage gilt:

K+W = K_{\max }

Wenn man für die Beziehung die bezogene Energie benutzt, folgt

K_{\max }  = \omega ^2 \bar K

Beim Umkehrpunkt bewegt sich nichts mehr, daher ist die kinetische Energie 0 und es gilt:

K+W = W_{\max }

Wir setzen gleich und erhalten

K_{\max } = W_{\max } \quad \quad \Rightarrow \quad \quad W_{\max }  = \omega ^2 \bar K

Umgestellt nach der Eigenkreisfrequenz:

\omega ^2  = \frac{{W_{\max } }} {{\bar K}}

Wir betrachten nun die Längsdehnung:

W_{\max }  = \int_V^{} {\frac{{E\hat u^{\prime 2} }} {2}dV}  = \int_0^L {\frac{{EA\left( x \right)}} {2}\hat u ^{\prime 2} dx}

Dabei ist {\hat u} eine Funktion von x, nämlich die Schwingform. Die bezogene Energie ist

\bar K = \int_0^L {\frac{{\rho A\left( x \right)}} {2}\hat u^2 dx}

und für die Eigenkreisfrequenz gilt

\omega  = \sqrt {\frac{{\int_0^L {\frac{{EA\left( x \right)}} {2}\hat u ^{\prime 2} dx} }} {{\int_0^L {\frac{{\rho A\left( x \right)}} {2}\hat u^2 dx} }}}  = \sqrt {\frac{{\int_0^L {EA\left( x \right)\hat u ^{\prime 2} dx} }} {{\int_0^L {\rho A\left( x \right)\hat u^2 dx} }}}

Mit

\hat u_1 \left( x \right) = \rho _1 \phi _1 \left( x \right)

wird daraus:

\omega  = \sqrt {\frac{{\int_0^L {EA\left( x \right)\phi _1^{ ^{\prime}2} dx} }} {{\int_0^L {\rho A\left( x \right)\phi _1^2 dx} }}}

Als Ansatzfunktion suchen wir eine zulässige Funktion, die die geometrischen Randbedingungen erfüllt:

\hat u\left( 0 \right) = 0

\hat u\left( x \right) = \rho _1 \phi _1 \left( x \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad f_1 \left( x \right) = \frac{x} {L}

Für den Verlauf des kreisförmigen, kleiner werdenden Querschnittes schreiben wir:

A\left( x \right) = \pi r^2 \left( x \right)-r_0^2 \left( {1-\frac{x} {L}} \right)^2

Die Elemente der Steifigkeitsmatrix können wie folgt berechnet werden:

k_{11}  = \int_0^L {E\pi \left( {1-2\frac{x} {L}+\frac{{x^2 }} {{L^2 }}} \right)\frac{1} {{L^2 }}dx = \frac{{E\pi r_0^2 }} {{3L}}}

Und die Elemente der Massenmatrix:

m_{11}  = \int_0^L {\rho \frac{{\pi r_0^2 }} {{L^2 }}\left( {x^2 -2\frac{{x^2 }} {L}+\frac{{x^4 }} {{L^2 }}} \right)dx}  = \rho \pi r_0^2 L\left( {\frac{1} {3}-\frac{1} {2}+\frac{1} {5}} \right) = \frac{{\rho \pi r_0^2 L}} {{30}}

Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz:

\omega _1  = \sqrt {\frac{E} {\rho }\frac{{10}} {{L^2 }}}  = \frac{1} {L}\sqrt {10\frac{E} {\rho }}