06.1 – Reichweite einer Interkontinentalrakete

 

Eine Interkontinentalrakete habe die Brennschlussgeschwindigkeit {v_B} = 6,5\frac{{km}}{s}. Bestimmen Sie Reichweite s, Flughöhe {H_G} und Flugzeit T der Rakete, wenn der Abschusswinkel \beta

a )

30°

b )

45° beträgt

c )

Bei welchem Abschusswinkel {\beta _{\max} } würde die Reichweite dieser Rakete maximal? Wie groß wäre diese maximale Reichweite?

d )

Welche Reichweite müsste eine Interkontinentalrakete haben, um von einem Ort mit 48° nördlicher Breite und 11° östlicher Länge zu einem Ort mit 21° südlicher Breite und 60° östlicher Länge zu gelangen?

Lösung

{v_B} = 6,5\frac{{km}}{s}

a )

\beta = 30^\circ

\lambda = \frac{{{R_0}v_0^2}}{{{\mu _E}}} = 0,676

s = 2{R_0}\arccos \left( {\frac{{1-\lambda {{\cos }^2}\left( \beta \right)}}{{\sqrt {1-\lambda \left( {2-\lambda } \right){{\cos }^2}\left( \beta \right)} }}} \right) = 6835km

{H_G} = \frac{{{R_0}}}{{2-\lambda }}\left( {1+\sqrt {1-\lambda \left( {2-\lambda } \right){{\cos }^2}\left( \beta \right)} } \right)-{R_0} = 1201km

\chi = \arccos \left( {\frac{{1-\lambda }}{{\sqrt {1-\lambda \left( {2-\lambda } \right){{\cos }^2}\left( \beta \right)} }}} \right) = 0,970

Den Wert für \chi haben wir dabei im Bogenmaß angegeben, da wir damit weiterrechnen müssen.

T = \frac{{2{\mu _E}}}{{v_0^3}}{\left( {\frac{\lambda }{{2-\lambda }}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( {\chi +\sqrt {1-\lambda \left( {2-\lambda } \right){{\cos }^2}\left( \beta \right)} \sin \left( \chi \right)} \right)

= 1529s = 25\min \:\:29s

b )

Mit den Formeln aus der ersten Teilaufgabe erhalten wir hier:

\beta = 45^\circ

s = 6022km

{H_G} = 2020km

\chi = 1120

T = 31,6\min

c )

{s_{\max} } = 2{R_0}\arccos \left( {\frac{{2\sqrt {1-\lambda } }}{{2-\lambda }}} \right) = 2{R_0}\arccos \left( {\frac{{1-\lambda {{\cos }^2}\left( {{\beta _{\max} }} \right)}}{{\sqrt {1-\lambda \left( {2-\lambda } \right){{\cos }^2}\left( {{\beta _{\max} }} \right)} }}} \right)

\frac{{2\sqrt {1-\lambda } }}{{2-\lambda }} = \frac{{1-\lambda {{\cos }^2}\left( {{\beta _{\max} }} \right)}}{{\sqrt {1-\lambda \left( {2-\lambda } \right){{\cos }^2}\left( {{\beta _{\max}}} \right)} }}

{\cos ^4}\left( {{\beta _{\max}}} \right)+\underbrace {\left( {\frac{{4\left( {1-\lambda } \right)}}{{\lambda \left( {2-\lambda } \right)}}-\frac{2}{\lambda }} \right)}_{ = -\frac{2}{{2-\lambda }}}{\cos ^2}\left( {{\beta _{\max} }} \right)+\underbrace {\frac{1}{{{\lambda ^2}}}-\frac{{4\left( {1-\lambda } \right)}}{{{\lambda ^2}{{\left( {2-\lambda } \right)}^2}}}}_{ = \frac{1}{{{{\left( {2-\lambda } \right)}^2}}}} = 0

{\cos ^2}\left( {{\beta _{\max} }} \right) = \frac{1}{{2-\lambda }} \pm \frac{1}{2}\sqrt {\underbrace {\frac{4}{{{{\left( {2-\lambda } \right)}^2}}}-\frac{4}{{{{\left( {2-\lambda } \right)}^2}}}}_{ = 0}} = \frac{1}{{2-\lambda }}

\quad \Rightarrow \quad {\beta _{\max}} = \arccos \left( {\sqrt {\frac{1}{{2-\lambda }}} } \right) = 29,65^\circ

Für die maximale Reichweite benutzen wir wieder die Formel aus der Formelsammlung:

{s_{\max} } = 2{R_0}\arccos \left( {\frac{{2\sqrt {1-\lambda } }}{{2-\lambda }}} \right) = 6836km

d )

Ort 1:

48° Nord, 11° Ost (München)

Ort 2:

21° Süd, 60° Ost (irgendwo im indischen Ozean)

rs-orte-auf-erde-winkel-entfernung

Die beiden Orte lassen sich mit Hilfe von Kugelkoordinaten angeben:

Breite \varphi, Länge \theta:

{\vec r_{1,2}} = {R_0}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \left( {{\varphi _{1,2}}} \right)\cos \left( {{\theta _{1,2}}} \right)} \\{\cos \left( {{\varphi _{1,2}}} \right)\sin \left( {{\theta _{1,2}}} \right)} \\{\sin \left( {{\varphi _{1,2}}} \right)} \\  \end{array} } \right)

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der direkte Winkel zwischen den Orten bestimmen:

\cos \left( \varphi \right) = \frac{{{{\vec r}_1} \cdot {{\vec r}_2}}}{{\left| {{{\vec r}_1}} \right|\left| {{{\vec r}_2}} \right|}}

\quad \Rightarrow \quad \phi = \arccos \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \left( {48^\circ } \right)\cos \left( {11^\circ } \right)} \\{\cos \left( {48^\circ } \right)\sin \left( {11^\circ } \right)} \\{\sin \left( {48^\circ } \right)} \\  \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \left( {-21^\circ } \right)\cos \left( {60^\circ } \right)} \\{\cos \left( {-21^\circ } \right)\sin \left( {60^\circ } \right)} \\{\sin \left( {-21^\circ } \right)} \\  \end{array} } \right)} \right]

= 81,7^\circ \overset{\wedge}{=}1,427

s = \phi \cdot {R_0} = 9100km

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