Relativbewegung (Bewegte Bezugssysteme)

 

Zunächst sei ein Punkt P gegeben, der im Raum eine beliebige Bahnkurve beschreibt:

Relativbewegung

Um diese Bahnkurve mathematisch darstellen zu können, benötigen wir ein Bezugssystem:

Relativbewegung

Nun sei ein weiteres Bezugssystem gegeben, welches sich allerdings nicht wir das erste starr im Raum befindet (dies bezeichnet man auch als Inertialsystem), sondern sich auch beliebig im Raum bewegt. dieses neue Bezugssystem nennt man Relativsystem.
(Beispiel: Wir sitzen in einem Flugzeug und wollen die Bewegung eines anderen Flugzeuges aus diesem heraus beschreiben)

Relativbewegung

Übrigens gilt für die Reihenfolge der Basisvektoren \vec e_x ,\:\vec e_y \:,\vec e_z \quad \overset{\wedge}{=}\quad \vec e_\xi ,\:\vec e_\eta ,\:\vec e_\zeta

Darstellung der Bewegung aus dem Relativsystem heraus:

\vec r = \vec r_0 +\vec \rho

\vec \rho = \xi \:\vec e_\xi +\eta \:\vec e_\eta +\zeta \:\vec e_\zeta

\dot {\vec \rho} = \dot \xi \:\vec e_\xi +\xi \:\dot {\vec e}_\xi +\dot \eta \:\vec e_\eta +\eta \:\dot {\vec e}_\eta +\dot \zeta \:\vec e_\zeta +\zeta \:\dot {\vec e}_\zeta = \underbrace {\dot \xi \:\vec e_\xi +\dot \eta \:\vec e_\eta +\dot \zeta \:\vec e_\zeta }_{\frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}}+\xi \:\dot {\vec e}_\xi +\eta \:\dot {\vec e}_\eta +\zeta \:\dot {\vec e}_\zeta

Die Ableitung \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}} beschreibt die Bewegung / Geschwindigkeit im Bezug auf die neuen Basisvektoren, denn wie wir sehen wurden hier die Basisvektoren (wie bisher beim Inertialsystem auch) nicht abgeleitet. Man spricht von einer Relativbewegung (relativ zum neuen Bezugssystem eben).
Das kleine r in der Ableitung steht übrigens für „relativ“.

Aus der Physik ist folgender Zusammenhang vielleicht schon bekannt:

\vec v \bot \vec r

\vec v = \vec \omega \times \vec r

\Leftrightarrow

\dot {\vec r} \bot \vec r

\dot {\vec r} = \vec \omega \times \vec r

\Rightarrow \dot {\vec e}_\xi = \vec \omega \times \vec e_\xi ,\quad \dot {\vec e}_\eta = \vec \omega \times \vec e_\eta ,\quad \dot {\vec e}_\zeta = \vec \omega \times \vec e_\zeta

(Diese Beziehung gilt allerdings nur, wenn \dot {\vec r} körperfest und konstant ist!)

Damit erhalten wir:

\dot {\vec \rho} = \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\eta \:\dot {\vec e}_\eta +\dot \zeta \:\vec e_\zeta +\zeta \:\dot {\vec e}_\zeta = \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\vec \omega \times \xi \:\vec e_\xi +\vec \omega \times \eta \:\vec e_\eta +\vec \omega \times \zeta \:\vec e_\zeta =

= \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\vec \omega \times \underbrace {\left( {\xi \:\vec e_\xi +\eta \:\vec e_\eta +\zeta \:\vec e_\zeta } \right)}_{\vec \rho } = \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\vec \omega \times \vec \rho

Da \vec \omega \times \vec \rho = \vec v ist bezeichnet man diesen Term übrigens auch als Drehgeschwindigkeit.

Für die Beschreibung aus dem Inertialsystem heraus gilt somit:

\vec r = \vec r_0 +\vec \rho

\dot {\vec v} = \dot {\vec r} = \dot {\vec r}_0 +\dot {\vec \rho} = \dot {\vec r}_0 +\frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\vec \omega \times \vec \rho = \vec v_f +\vec v_r

\vec v_f = \dot {\vec r}_0 +\vec \omega \times \vec \rho \quad :F\ddot uhrungsgeschwindigkeit

\vec v_r = \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}\quad :Relativgeschwindigkeit

\vec a = \dot {\vec v} = \dot {\vec r}_0 +\left( {\frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}} \right)^ \bullet +\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \dot {\vec \rho}

\left( {\frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}} \right)^ \bullet = \left( {\dot \xi \:\vec e_\xi +\dot \eta \:\vec e_\eta +\dot \zeta \:\vec e_\zeta } \right)^ \bullet = \ddot \xi \:\vec e_\xi +\dot \xi \:\dot {\vec e}_\xi +\ddot \eta \:\vec e_\eta +\dot \eta \:\dot {\vec e}_\eta +\ddot \zeta \:\vec e_\zeta +\dot \zeta \:\dot {\vec e}_\zeta =

= \ddot \xi \:\vec e_\xi +\ddot \eta \:\vec e_\eta +\ddot \zeta \:\vec e_\zeta +\dot \xi \:\dot {\vec e}_\xi +\dot \eta \:\dot {\vec e}_\eta +\dot \zeta \:\dot {\vec e}_\zeta = \frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}+\vec \omega \times \dot \xi \:\vec e_\xi +\vec \omega \times \dot \eta \:\vec e_\eta +\vec \omega \times \dot \zeta \:\vec e_\zeta =

= \frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}+\vec \omega \times \left( {\dot \xi \:\vec e_\xi +\dot \eta \:\vec e_\eta +\dot \zeta \:\vec e_\zeta } \right) = \frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}+\vec \omega \times \frac{{d_r }} {{dt}}\vec \rho

\vec a = \dot {\vec v} = \dot {\vec r}_0 +\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}+\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \dot {\vec \rho}

= \dot {\vec r}_0 +\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}+\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \left( {\frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\vec \omega \times \vec \rho } \right)

= \dot {\vec r}_0 +\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}+\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\vec \omega \times \left( {\vec \omega \times \vec \rho } \right)

= \dot {\vec r}_0 +\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \left( {\vec \omega \times \vec \rho } \right)+2\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}

Wir erhalten also:

\vec a = \underbrace {\dot {\vec r}_0 +\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \left( {\vec \omega \times \vec \rho } \right)}_{\vec a_f }+\underbrace {2\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}}_{\vec a_c }+\underbrace {\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}}_{\vec a_r }

\vec a_f : F\ddot uhrungsbeschleunigung

\vec a_c :Coriolisbeschleunigung

\vec a_r :Relativbeschleunigung

\vec a_f = \dot {\vec r}_0 +\dot {\vec \omega} \times \vec \rho +\vec \omega \times \left( {\vec \omega \times \vec \rho } \right)

\vec a_c = 2\vec \omega \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}

\vec a_r = \frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }} = \ddot \xi \:\vec e_\xi +\ddot \eta \:\vec e_\eta +\ddot \zeta \:\vec e_\zeta

\vec a_r ist hier die doppelte Relativableitung. Heißt also, es wird so getan als seien sie Basisvektoren Raumfest. Man leitet also nur die von der Zeit abhängigen Variablen ab.

\mathcal{JK}

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1 Kommentar zu “Relativbewegung (Bewegte Bezugssysteme)”

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18. 02. 11 at 8:10 pm

[...] zu rechnen. Ich hoffe mal, du kennst die, ansonsten war das hier der erste Google-Treffer dazu: http://me-lrt.de/relativbewegung-bew…igung-coriolis Diese Formeln stellst du also auf und beachtest dann, dass sich C und D jeweils nur senkrecht [...]

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