02.1 – relative und absolute Kondition

 

Es sei x = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{x_2}} \\ \end{array} } \right)^T} und \varphi \left( x \right) = {x_1}+{x_2}. Bestimmen Sie die absolute und die relative Kondition von \varphi \left( \cdot \right).

Lösung

Die Funktion \varphi \left( x \right) = {x_1}+{x_2} ist stetig differenzierbar. Daher gilt für die absolute Konditionszahl:

{k_{abs}} = \left\| {{\varphi ^\prime }\left( x \right)} \right\|,\quad {k_{rel}} = \left\| {{\varphi ^\prime }\left( x \right)} \right\|\frac{{\left\| x \right\|}}{{\left\| {\varphi \left( x \right)} \right\|}}

{\varphi ^\prime }\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 \\ \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad {\left\| {{\varphi ^\prime }\left( x \right)} \right\|_1} = \sup \limits_{x \ne 0} \frac{{\left\| {{\varphi ^\prime }\left( x \right)x} \right\|}}{{\left\| x \right\|}} = \sup \limits_{x \ne 0} \frac{{\left| {{x_1}+{x_2}} \right|}}{{\left| {{x_1}} \right|+\left| {{x_2}} \right|}} \leq \sup \limits_{x \ne 0} \frac{{\left| {{x_1}} \right|+\left| {{x_2}} \right|}}{{\left| {{x_1}} \right|+\left| {{x_2}} \right|}} = 1

mit Gleichheit z.B. für x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 \\ \end{array} } \right). Die absolute Konditionszahl ist daher {k_{abs}} = 1

Für die relative Konditionszahl gilt:

{k_{rel}} = \underbrace {{k_{abs}}}_1\frac{{{{\left\| x \right\|}_1}}}{{{{\left\| {\varphi \left( x \right)} \right\|}_1}}} = \frac{{\left| {{x_1}} \right|+\left| {{x_2}} \right|}}{{\left| {{x_1}+{x_2}} \right|}}

Wenn die Summanden {x_1} und {x_2} gleiche Vorzeichen haben, ist die relative Konditionszahl gleich der absoluten Konditionszahl {k_{rel}} = {k_{abs}} = 1. Es können Probleme auftreten, wenn {x_1} und {x_2} verschiedene Vorzeichen haben und fast gleich groß sind. In diesem Fall tritt im Nenner Auslöschung auf, die relative Konditionszahl wird sehr groß. Daher ist die Addition in diesem Fall schlecht konditioniert.