U 03.3 – Resonanzerscheinungen einer Generatorständer-Abfederung

 

Für eine Generatorständer-Abfederung ist zu untersuchen, ob Resonanzerscheinungen in einem Frequenzbereich {f_B} = 8,33\;Hz \pm 3\;\% zu befürchten sind.

generator-abfederung

Gegeben:

m = 162 \cdot {10^3}kg,\quad {J_S} = 572 \cdot {10^3}kg\;{m^2},\quad {c_y} = 7800\frac{{kN}}{{cm}}

{c_z} = 1600\frac{{kN}}{{cm}},\quad a = 3200\;mm,\quad b = 100\;mm

Lösung 3.3

Als erstes schneiden wir die Masse frei und stellen das Kräftegleichgewicht für die zwei Raumrichtungen sowie das Momentengleichgewicht auf:

generator-abfederung-freigeschnitten

\left( I \right):\quad m\ddot z-{F_2}-{F_3} = 0

\left( {II} \right):\quad {F_1}+{F_4}-m\ddot y = 0

\left( {III} \right):\quad {F_1}b-{F_2}a+{F_3}a+{F_4}b-{J_S}\ddot \varphi {\text{ = 0}}

{{\text{F}}_1} = -\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\sin \varphi = -\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\varphi

{F_2} = -\frac{{{c_z}}}{2}z-\frac{{{c_z}}}{2}a\sin \varphi = -\frac{{{c_z}}}{2}z-\frac{{{c_z}}}{2}a\varphi

{F_3} = -\frac{{{c_z}}}{2}z+\frac{{{c_z}}}{2}a\sin \varphi = -\frac{{{c_z}}}{2}z+\frac{{{c_z}}}{2}a\varphi

{F_4} = -\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\sin \varphi = -\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\varphi

Einsetzen:

\left( I \right):\quad m\ddot z+\frac{{{c_z}}}{2}z+\frac{{{c_z}}}{2}a\varphi +\frac{{{c_z}}}{2}z-\frac{{{c_z}}}{2}a\varphi = 0\quad \Rightarrow \quad m\ddot z+{c_z}z = 0

\left( {II} \right):\quad -\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\varphi -\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\varphi -m\ddot y = 0\quad \Rightarrow \quad m\ddot y+{c_y}y-{c_y}b\varphi = 0

\left( {III} \right):\quad

\left( {-\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\varphi } \right)b+\left( {\frac{{{c_z}}}{2}z+\frac{{{c_z}}}{2}a\varphi } \right)a+\left( {-\frac{{{c_z}}}{2}z+\frac{{{c_z}}}{2}a\varphi } \right)a+

+ \left( {-\frac{{{c_y}}}{2}y+\frac{{{c_y}}}{2}b\varphi } \right)b-{J_S}\ddot \varphi {\text{ = 0}}

\qquad \Rightarrow \quad -{c_y}yb+{c_y}{b^2}\varphi +{c_z}{a^2}\varphi -{J_S}\ddot \varphi {\text{ = 0}}

In Matrizenschreibweise:

\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} m&0&0 \\ 0&m&0 \\ 0&0&{{J_S}} \end{array}} \right]}_{\left[ M \right]}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ddot y} \\ {\ddot z} \\ {\ddot \varphi } \end{array}} \right\}+\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_y}}&0&{-{c_y}b} \\ 0&{{c_z}}&0 \\ {-{c_y}b}&0&{{c_y}{b^2}+{c_z}{a^2}} \end{array}} \right]}_{\left[ C \right]}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ z \\ \varphi \end{array}} \right\} = \left\{ 0 \right\}

Ansatz:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ z \\ \varphi \end{array}} \right\} = \left\{ q \right\} = \left\{ {\hat q} \right\}\sin \left( {\omega t} \right)

Damit folgt die charakteristische Gleichung für die Eigenwertbestimmung:

\det \left( {\left[ C \right]-{\omega ^2}\left[ M \right]} \right)\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad \left| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_y}-m{\omega ^2}}&0&{-{c_y}b} \\ 0&{{c_z}-m{\omega ^2}}&0 \\ {-{c_y}b}&0&{{c_y}{b^2}+{c_z}{a^2}-{J_S}{\omega ^2}} \end{array}} \right]} \right| = 0

\left( {{c_y}-m{\omega ^2}} \right) \cdot \left( {{c_z}-m{\omega ^2}} \right) \cdot \left( {{c_y}{b^2}+{c_z}{a^2}-{J_S}{\omega ^2}} \right)-{\left( {-{c_y}b} \right)^2} \cdot \left( {{c_z}-m{\omega ^2}} \right) = 0

Mittels Solver erhalten wir daraus:

{\omega _1} = 31,42696805\frac{1}{s}\quad \Rightarrow \quad {f_1} = 5,0017573\;Hz \approx \underline{\underline {5\;Hz}}

{\omega _2} = 53,33522913\frac{1}{s}\quad \Rightarrow \quad {f_2} = 8,488565\;Hz \approx \underline{\underline {8,49\;Hz}}

{\omega _3} = 69,62858735\frac{1}{s}\quad \Rightarrow \quad {f_3} = 11,08173\;Hz \approx \underline{\underline {11,08\;Hz}}

Nun müssen wir nur noch überprüfen ob eine der berechneten Eigenfrequenzen des Systems im Frequenzbereich {f_B} liegen:

{f_B} = 8,33\;Hz \pm 3\;\% = 8,33\;Hz \pm 0,2499\;Hz = \left[ {8,0801\; \ldots \;8,5799} \right]Hz

Wir erkennen, dass die zweite Eigenfrequenz tatsächlich innerhalb dieses Bereichs liegt.

\mathcal{J}\mathcal{K}