01.2 – Reynolds-Zahl

 

Leiten Sie die Reynolds-Zahl her:

\operatorname{Re}  = \frac{{\rho \cdot v\cdot d}} {\eta } = \frac{{v\cdot d}} {\nu }

Lösung

Die Reynolds-Zahl (Formelzeichen: Re) ist eine dimensionslose Kennzahl. Sie stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar. Für eine ideale Flüssigkeit ohne Viskosität ist das Verhältnis unendlich.

Für die Herleitung betrachten wir die Navier-Stokes-Gleichungen. Diese sind die Grundgleichungen der Strömungsmechanik und verkörpern ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Kern der Gleichungen ist der Impulssatz als Anwendung der newtonschen Axiome für ein Kontinuum. Bei Nutzung des Nabla-Operators \nabla hat er die Form:

\rho \dot v =-\nabla p + \eta \Delta v + \left( \lambda + \eta \right) \nabla \left(\nabla \cdot v \right)+f

Ausgeschrieben ergibt sich daraus:

\rho \left( {\frac{{\partial u}} {{\partial t}} + u\frac{{\partial u}} {{\partial x}} + v\frac{{\partial u}} {{\partial y}} + w\frac{{\partial u}} {{\partial z}}} \right) =  - \frac{{\partial p}} {{\partial x}} + \eta \left( {\frac{{{\partial ^2}u}} {{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}} {{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}} {{\partial {z^2}}}} \right) + {k_x}

\rho \left( {\frac{{\partial v}} {{\partial t}} + u\frac{{\partial v}} {{\partial x}} + v\frac{{\partial v}} {{\partial y}} + w\frac{{\partial v}} {{\partial z}}} \right) =  - \frac{{\partial p}} {{\partial x}} + \eta \left( {\frac{{{\partial ^2}v}} {{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}v}} {{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}v}} {{\partial {z^2}}}} \right) + {k_y}

\rho \left( {\frac{{\partial w}} {{\partial t}} + u\frac{{\partial w}} {{\partial x}} + v\frac{{\partial w}} {{\partial y}} + w\frac{{\partial w}} {{\partial z}}} \right) =  - \frac{{\partial p}} {{\partial x}} + \eta \left( {\frac{{{\partial ^2}w}} {{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}} {{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}} {{\partial {z^2}}}} \right) + {k_z}

Entdimensionierte Größen:

\tilde u: = \frac{u} {{{u_{ref}}}}

\tilde v: = \frac{v} {{{u_{ref}}}}

\tilde w: = \frac{w} {{{u_{ref}}}}

\tilde x: = \frac{x} {{{L_{ref}}}}

\tilde y: = \frac{y} {{{L_{ref}}}}

\tilde z: = \frac{z} {{{L_{ref}}}}

\tilde t: = \frac{t} {{\frac{{{L_{ref}}}} {{{u_{ref}}}}}}

Entdimensionierung des Druckes:

\tilde p: = \frac{p} {{\rho u_{ref}^2}} = \left[ {\frac{{\frac{N} {{{m^2}}}}} {{\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot \frac{{{m^2}}} {{{s^2}}}}}} \right] = \left[ {\frac{{\frac{{kg\frac{m} {{{s^2}}}}} {{{m^2}}}}} {{\frac{{kg}} {{m{s^2}}}}}} \right] = \left[ 1 \right]

\rho \left[ {\frac{{\partial \left( {\tilde u \cdot {u_{ref}}} \right)}} {{\partial \left( {\tilde t \cdot \frac{{{L_{ref}}}} {{{r_{ref}}}}} \right)}} + \tilde u \cdot {u_{ref}} \cdot \frac{{\partial \left( {\tilde u \cdot {u_{ref}}} \right)}} {{\partial \left( {\tilde x \cdot {L_{ref}}} \right)}} + v \cdot {u_{ref}} \cdot \frac{{\partial \left( {\tilde u \cdot {u_{ref}}} \right)}} {{\partial \left( {\tilde y \cdot {L_{ref}}} \right)}}} \right]

=  - \frac{{\partial \left( {\tilde p \cdot \rho  \cdot u_{ref}^2} \right)}} {{\partial \left( {\tilde x \cdot {L_{ref}}} \right)}} + \eta \left[ {\frac{{{\partial ^2}\left( {\tilde u \cdot {u_{ref}}} \right)}} {{\partial {{\left( {\tilde x \cdot {L_{ref}}} \right)}^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\left( {\tilde u \cdot {u_{ref}}} \right)}} {{\partial {{\left( {\tilde y \cdot {L_{ref}}} \right)}^2}}}} \right]

\rho \frac{{u_{ref}^2}} {{{L_{ref}}}}\left( {\frac{{\partial \tilde u}} {{\partial \tilde t}} + \tilde u\frac{{\partial \tilde u}} {{\partial \tilde x}} + \tilde v\frac{{\partial \tilde u}} {{\partial \tilde y}}} \right) =  - \rho \frac{{u_{ref}^2}} {{{L_{ref}}}} \cdot \frac{{\partial \tilde p}} {{\partial \tilde x}} + \eta \frac{{{u_{ref}}}} {{L_{ref}^2}}\left( {\frac{{{\partial ^2}\tilde u}} {{\partial {{\tilde x}^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\tilde u}} {{\partial {{\tilde y}^2}}}} \right)

\frac{{\partial \tilde u}} {{\partial \tilde t}} + \tilde u\frac{{\partial \tilde u}} {{\partial \tilde x}} + \tilde v\frac{{\partial \tilde u}} {{\partial \tilde y}} =  - \frac{{\partial \tilde p}} {{\partial \tilde x}} + \underbrace {\eta \frac{{{u_{ref}}}} {{L_{ref}^2}} \cdot \frac{{{L_{ref}}}} {{u_{ref}^2\rho }}}_{\frac{\eta } {{\rho {L_{ref}}{u_{ref}}}} = \frac{\nu } {{{L_{ref}}{u_{ref}}}} = :\frac{1} {{\operatorname{Re} }}} \cdot \left( {\frac{{{\partial ^2}\tilde u}} {{\partial {{\tilde x}^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\tilde u}} {{\partial {{\tilde y}^2}}}} \right)

Daraus folgt:

\operatorname{Re}  = \frac{{{L_{ref}}{u_{ref}}}} {\nu }

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