Aufgabe 4.3 – Riemann und Lebesgue

 

Berechne

\int_{\left[ {0,1} \right]}^{} {x^4 d\lambda \left( x \right)}

Lösung

x \mapsto x^4 ist messbar und Riemann-integrierbar, es existiert also ein Lebesgue-Integral.

\int_{\left[ {0,1} \right]}^{} {x^4 d\lambda \left( x \right)}  = \int_0^1 {x^4 dx}  = \frac{1} {5}

Beispiel, bei dem das Integral nicht Riemann-integrierbar ist:

Treppenfunktion

\frac{{j-1}} {{2^k }} \cdot I_{\left[ {\left( {\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right)^{\frac{1} {4}} ,\left( {\frac{j} {{2^k }}} \right)^{\frac{1} {4}} } \right[}

Wir schreiben statt dessen

\left( {\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right)^4  \cdot I_{\left[ {\left( {\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right)^{{\frac{1} {4}} ^4} ,\left( {\frac{j} {{2^k }}} \right)^{{\frac{1} {4}} ^4 }} \right[}  = \left( {\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right)^4  \cdot I_{\left[ {\left( {\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right),\left( {\frac{j} {{2^k }}} \right)} \right[}

Integral über die Treppenfunktion (Berechnung mit Lebesgue):

\sum\limits_{j = 1}^{2^k } {\left( {\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right)^4 \left( {\frac{j} {{2^k }}-\frac{{j-1}} {{2^k }}} \right)}  = \frac{1} {{2^{5k} }}\sum\limits_{j = 0}^{2^k -1} {\left( {j-1} \right)^4 }  = \frac{1} {{2^{5k} }}\sum\limits_{j = 1}^{2^k } {j^4 }

= \frac{1} {{2^{5k} }} \cdot \frac{1} {{30}} \cdot 2^k \left( {2^k -1} \right)\left( {2^{k+1} -1} \right)\left( {3 \cdot 2^{k2} -3 \cdot 2^k -1} \right)

= \frac{1} {{30}} \cdot \frac{{2^k }} {{2^k }} \cdot \frac{{2^k -1}} {{2^k }} \cdot \frac{{2^{k+1} -1}} {{2^k }} \cdot \frac{{3 \cdot 2^{k2} -3 \cdot 2^k -1}} {{2^{2k} }}

Grenzübergang:

k \to \infty \quad \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \frac{1} {{30}} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{1} {5} = \int_{\left[ {0,1} \right]}^{} {x^4 d\lambda \left( x \right)}

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