39 – Ritz-Verfahren für verschiedene Kontinuumschwinger

 

Im letzten Artikel wurde das Verfahren nach Ritz zur Berechnung der Eigenkreisfrequenzen eines schwingenden Kontinuums hergeleitet. Hier sind die benötigten Formeln noch ein mal aufgelistet, auch unter Berücksichtigung der Unterschiede bei den verschiedenen Kontinuumschwingern UND Zusatzfedern.

Generell gilt

Die Eigenkreisfrequenzen werden mit der Gleichung

\left| {k_{jk} -\omega ^2 m_{jk} } \right| = 0

berechnet. Wird nur eine Ansatzfunktion \varphi _1 \left( x \right) verwendet (j = k = 1), dann ist die Formänderungsenergie

W = \frac{1} {2}k_{11}

und die kinetische Energie

K = \frac{1} {2}\omega ^2 m_{11}

Die Beziehung

\omega ^2  = \frac{{k_{11} }} {{m_{11} }}

heißt daher “Energiequotient”.

Längselastischer Stab

Ansätze für die Ortsfunktion:

\hat u = \sum\limits_j  {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

Randbedingungen für die Koordinatenfunktionen:

\varphi _j \left( 0 \right) = ?

\varphi _j \left( l \right) = ?

Elemente der Steifigkeitsmatrix:

k_{jk}  = \int_0^l {EA\varphi _j ^{\prime}\left( x \right)\varphi _k ^{\prime}\left( x \right)dx} +\sum\limits_n  {k_n \varphi _j \left( {x_n } \right)\varphi _k \left( {x_n } \right)}

Elemente der Massenmatrix:

m_{jk}  = \int_0^l {\rho A\varphi _j \left( x \right)\varphi _k \left( x \right)dx} +\sum\limits_i  {m_i \varphi _j \left( {x_i } \right)\varphi _k \left( {x_i } \right)}

Torsionsstab

Ansätze für die Ortsfunktion:

\hat \vartheta  = \sum\limits_j  {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

Randbedingungen für die Koordinatenfunktionen:

\varphi _j \left( 0 \right) = ?

\varphi _j \left( l \right) = ?

Elemente der Steifigkeitsmatrix:

k_{jk}  = \int_0^l {GI_t \varphi _j ^{\prime}\left( x \right)\varphi _k ^{\prime}\left( x \right)dx} +\sum\limits_n  {c_n \varphi _j \left( {x_n } \right)\varphi _k \left( {x_n } \right)}

Elemente der Massenmatrix:

m_{jk}  = \int_0^l {\rho I_p \varphi _j \left( x \right)\varphi _k \left( x \right)dx} +\sum\limits_i  {\theta _x ^i \varphi _j \left( {x_i } \right)\varphi _k \left( {x_i } \right)}

Balken

Der Balken ist die Kombination aus Stab und Torsionsstab, zusätzlich kann er auch noch verbogen werden. Dementsprechend sind die Gleichungen für die Elemente der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix hier auch am kompliziertesten.

Ansätze für die Ortsfunktion:

\hat w = \sum\limits_j {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

Randbedingungen für die Koordinatenfunktionen:

\varphi _j \left( 0 \right) = ?

\varphi _j \left( l \right) = ?

\varphi _j ^{\prime}\left( 0 \right) = ?

\varphi _j ^{\prime}\left( l \right) = ?

Elemente der Steifigkeitsmatrix:

k_{jk}  = \int_0^l {EI_y \varphi _j^{^{\prime\prime}} \left( x \right)\varphi _k^{^{\prime\prime}} \left( x \right)dx} +\sum\limits_n^\infty  {k_n \varphi _j \left( {x_n } \right)\varphi _k \left( {x_n } \right)} +\sum\limits_m  {c_m \varphi _j  ^{\prime}\left( {x_m } \right)\varphi _k  ^{\prime}\left( {x_m } \right)}

Elemente der Massenmatrix:

m_{jk}  = \int_0^l {\rho A\varphi _j \left( x \right)\varphi _k \left( x \right)dx} +\sum\limits_i^\infty  {m_i \varphi _j \left( {x_i } \right)\varphi _k \left( {x_i } \right)} +\sum\limits_i^\infty  {\theta _y ^i \varphi _j  ^{\prime}\left( {x_i } \right)\varphi _k  ^{\prime}\left( {x_i } \right)}