38 – Näherungsweise Berechnung von ω – Ritz-Verfahren

 

Im letzten Artikel wurde das Rayleight-Quotient-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der ersten Eigenkreisfrequenz eines Kontinuumschwingers vorgestellt. Nach einer kurzen Wiederholung bzw. Zusammenfassung dieses Verfahrens soll hier nun das etwas kompliziertere Ritz-Verfahren erklärt werden, mit dem sich auch höhere Eigenkreisfrequenzen mit einer höheren Genauigkeit berechnen lassen.

Zusammenfassung des Energiequotientenverfahrens nach Rayleigh

Beispiel: Saite mit Zusatzmassen

Saite mit Zusatzlast

Gesamte kinetische Energie: K
Gesamte Formänderungsenergie: W

Energiesatz: K+W = const

im Umkehrpunkt gilt: K+W = Wmax

im Nulldurchgang gilt: K+W = Kmax = ω2 K

\omega  = \sqrt {\frac{{W_{\max } }} {{\bar K}}}

Ersatz der (in K und W vorkommenden) unbekannten Ortsfunktion durch die zulässige Funktion (erfüllt die geometrischen Bedingungen):

\hat w = \rho _1 \varphi _1 \left( x \right)

Näherungswert für die erste Eigenkreisfrequenz:

\omega _1  = \sqrt {\frac{{S\int_0^l {\varphi _1^{\prime} \varphi _1^{\prime} dx} }} {{\rho A\int_0^l {\varphi _1 \varphi _1 dx+\sum\limits_{j = 1}^\infty  {m_j \varphi _1 ^2 \left( {x_j } \right)} } }}}

Zusatzmassen verkleinern also die Eigenkreisfrequenz, da sie unter dem Bruchstrich in dem kinetischen Term stehen. Zusatzfedern stünden über dem Bruchstrich, daher vergrößern sie die Eigenkreisfrequenz.

Das Ritz-Verfahren

Aufgrund des Verlangens nach einer genaueren Näherungsfunktion, die zudem auch Werte für die höheren Eigenkreisfrequenzen liefert, wurde nach einem neuen Verfahren gesucht.
Wenn man die Saite in kleine Stücke unterteilt, kann das Problem mit finiten Elementen modelliert und berechnet werden. Das Ergebnis wird genauer, je mehr Unterteilungen man einführt.
Eine andere Methode ist die Einführung von mehreren zulässigen Funktionen. Daraus resultiert das vom deutschen Mathematiker Ritz 1910 erfundene Verfahren, das hier am Beispiel eines schwingenden Balkens erläutert werden soll.
Die benötigten mechanischen Grundlagen sind aus der technischen Mechanik I und II noch nich bekannt. Die zugrundeliegende Prinzipien sind:

  • Prinzip von d^{\prime}Alembert in der Fassung von Lagrange
  • Prinzip vom stationären Wert des Gesamtpotentials

Die daraus folgende, hier benötigte Gleichung, die nicht explizit hergeleitet werden soll, ist:

\int_0^l {\left( {EI_y w^{\prime} \delta w^{\prime\prime} -Fw^{\prime} \delta w^{\prime} +q_z \delta w+\rho A\ddot w\delta w} \right)dx}  = 0

Wir betrachten freie Schwingungen (qz = 0) ohne Vorlast (F = 0) mit der harmonischen Zeitfunktion

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)e^{i\omega t}

Die zweite Ableitung nach der Zeit bzw nach dem Ort ist:

\ddot w = -\omega ^2 \hat w\left( x \right)e^{i\omega t}

w^{\prime}  = \hat w^{\prime} \left( x \right)e^{i\omega t}

w^{\prime\prime}  = \hat w^{\prime\prime} \left( x \right)e^{i\omega t}

In die Differentialgleichung eingesetzt ergibt sich:

\int_0^l {\left( {EI_y \hat w^{\prime\prime} \left( x \right)e^{i\omega t} \delta \hat w^{\prime\prime} \left( x \right)e^{i\omega t} -F\hat w^{\prime} \left( x \right)e^{i\omega t} \delta \hat w^{\prime} \left( x \right)e^{i\omega t} +q_z \delta w-\rho A\omega ^2 \hat w\left( x \right)e^{i\omega t} \delta w} \right)dx}

= 0

Der zweite und dritte Summand fallen auf Grund der Annahmen (freie Schwingungen (qz = 0) ohne Vorlast (F = 0)) weg. Wir klammern aus und erhalten

\int_0^l {EI_y \hat w^{\prime} \delta \hat w^{\prime\prime} dx} -\omega ^2 \int_0^l {\rho A\hat w\delta wdx}  = 0

Die unbekannte Ortsfunktion kann nach Ritz approximiert werden durch

\hat w\left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^p  {\rho _j \varphi _j \left( x \right)}

dabei sind ρj Freiwerte (Koeffizienten) und φj(x) Koordinatenfunktionen, die mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen (zulässige Funktion). Werden auch die dynamischen Randbedingungen erfüllt, handelt es sich um eine Vergleichsfunktion.
Als Koordinatenfunktionen wählt man vorzugsweise Polynome, da diese leicht zu integrieren und zu differenzieren sind. Behandelt man zum Beispiel einen Balken, der an einer Seite fest eingespannt ist, kann man ein Polynom zweiten Grades nutzen, das durch die feste Einspannung verläuft.

Mit der Approximation der Ortsfunktion folgt

\delta \hat w = \sum\limits_{k = 1}^p {\frac{{\partial \hat w}} {{\partial \rho _k }}\delta \rho _k }  = \sum\limits_{k = 1}^p {\varphi _k \delta \rho _k }

Zweite Ableitung nach dem Ort:

\delta \hat w^{\prime\prime}  = \sum\limits_{k = 1}^p {\varphi _k^{\prime\prime} \delta \rho _k }

Wir setzen nun in die Differentialgleichung ein und vertauschen das Integral mit einer Summe:

\sum\limits_{k = 1}^p {\left[ {\sum\limits_{j = 1}^p {\rho _j \left( {k_{jk} -\omega ^2 m_{jk} } \right)} } \right]\delta \rho _k }  = 0

mit

k_{jk}  = \int_0^l {EI_y \varphi _j^{\prime\prime} \varphi _k^{\prime\prime} dx}  = k_{kj}

m_{jk}  = \int_0^l {\rho A\varphi _j \varphi _k dx}  = m_{kj}

Da der Term δρk immer ungleich 0 ist, folgt aus der doppelten Summe:

\sum\limits_{j = 1}^p {\rho _i \left( {k_{jk} -\omega ^2 m_{jk} } \right)}  = 0

Bedingung für eine nicht-triviale Lösung (ρj≠0) ist:

\left| {k_{jk} -\omega ^2 m_{jk} } \right| = 0

Die Berechnung ist relativ aufwändig, da man für die zu berechnende Determinante sämtliche Integrale kjk und mjk bestimmen muss.

Eigenschaften des Ritz-Verfahrens

Rechnet man mit nur einer Ansatzfunktion

\hat w = \rho _1 \varphi _1  \to p = 1

erhält man automatisch den Energiequotienten und den Schätzwert für ω1.
Mehrgliedrige Ansätze (p > 1) liefern Schätzwerte für p Eigenkreisfrequenzen. Einzelmassen und Einzelfedern können ebenfalls berücksichtigt werden.