01.2 – Runge-Kutta und Butcher-Tableau

Im Folgenden betrachten wir explizite 3-stufige Runge-Kutta-Verfahren mit dem Butcher-Tableau

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\gamma _2}} &\vline & {{\beta _{2,1}}} & {} & {} \\{{\gamma _3}} &\vline & {{\beta _{3,1}}} & {{\beta _{3,2}}} & {} \\ \hline{} &\vline & {{\beta _1}} & {{\beta _2}} & {{\beta _3}} \\ \end{array}$

a)

Leiten Sie die Bedingungen her, die zur Verfahrensordnung $p = 3$ führen.

b)

Reduzieren Sie die Anzahl der Bedingungen aus a) unter der üblichen Annahme

$\sum\limits_{i = 1}^{k-1} {{\beta _{k,i}}} = {\gamma _k},\quad k = 2, \ldots ,s$

Lösung

a )

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$\dot y\left( t \right) = f\left( {t,y\left( t \right)} \right),\quad y\left( 0 \right) = {y_0}$

Explizites Einschrittverfahren:

${u_0} = {y_0}$

${u_{k+1}} = {u_k}+{\tau _k}\Phi \left( {{t_k},{u_k},{\tau _k},f} \right)$

Runge-Kutta-Verfahren:

$\Phi \left( {{t_k},{u_k},\tau ,f} \right) = \sum\limits_{i = 1}^r {{\beta _i}{f_{i,k}}}$

${f_{1,k}} = f\left( {{t_k},{u_k}} \right)$

${f_{i,k}} = f\left( {{t_k}+{\gamma _i}I,\:\:{u_k}+\tau \sum\limits_{s = 1}^{i-1} {{\beta _{i,s}}\:{f_{s,k}}} } \right)$

${l_\tau }\left( t \right) = \frac{{y\left( {t+\tau } \right)-y\left( t \right)}}{\tau }-\Phi \left( {t,y\left( t \right),\tau ,f} \right)$

Dabei ist ${l_\tau }$ der Konsistenzfehler. Für die Konsistenzordnung folgt:

$\left| {{l_\tau }} \right| \leq M{\tau ^p}\quad p \geq 1\quad \Rightarrow \quad$ Konsistenzordnung $p$

Wir überlegen uns nun, wie wir die Koeffizienten wählen müssen, damit wir eine gewisse Konsistenzordnung erreichen.

$\Phi \left( {{t_k},{u_k},\tau ,f} \right) = {\beta _1}{f_{1,k}}+{\beta _2}{f_{2,k}}+{\beta _3}{f_{3,k}}$

mit

${f_{1,k}} = f\left( {{t_k},{u_k}} \right)$

${f_{2,k}} = f\left( {{t_k}+{\gamma _2}\tau ,{u_k}+\tau {\beta _{2,1}}f\left( {{t_k},{u_k}} \right)} \right)$

${f_{3,k}} = f\left( {{t_2}+{\gamma _3}\tau ,{u_k}+\tau {\beta _{3,1}}f\left( {{t_k},{u_k}} \right)+\tau {\beta _{3,2}}{f_{2,k}}} \right)$

Wir wollen nun

${l_\tau }\left( t \right) = \frac{{y\left( {t+\tau } \right)-y\left( t \right)}}{\tau }-\Phi \left( {t,y\left( t \right),\tau ,f} \right)$

ausrechnen. Dieses ist nicht ohne weiteres möglich, da unser $\Phi \left( {{t_k},{u_k},\tau ,f} \right)$ gar nicht von $y$ abhängt. Wir entwickeln zunächst die Stufen ${f_{i,k}}$ um den Punkt $\left( {{t_k},{u_k}} \right)$ , dabei lassen wir der Übersichtlichkeit halber die Argumente im Folgenden weg.

${f_{1,k}} = f$

${f_{2,k}} = \underbrace f_{k = 0,l = 0}+\underbrace {\tau \:{\gamma _2}\:{f_t}}_{k = 1,l = 0}+\underbrace {\tau \:{\beta _{2,1}}\:{f_y}\:f}_{k = 0,l = 1}+\frac{1}{2}{\tau ^2}\left( {\underbrace {\gamma _2^2{f_{tt}}}_{k = 2,l = 0}+\underbrace {2{\gamma _2}{\beta _{2,1}}{f_{ty}}f}_{k = 1,l = 1}+\underbrace {\beta _{2,1}^2{f_{yy}}\left( {f,f} \right)}_{k = 0,l = 2}} \right)+O\left( {{\tau ^3}} \right)$

${f_{3,k}} = \underbrace f_{k = 0,l = 0}+\underbrace {\tau {\gamma _3}{f_t}}_{k = 1,l = 0}+\underbrace {\tau {\beta _{3,1}}{f_y}f+\tau {\beta _{3,2}}{f_y}{f_{2,k}}}_{k = 0,l = 1}$

$+\frac{1}{2}{\tau ^2}\left[ {\gamma _3^2{f_{tt}}+2{\gamma _3}{\beta _{3,1}}{f_{ty}}f+{\gamma _3}{\beta _{3,2}}{f_{ty}}{f_{2,k}}+{f_{yy}}\left( {{\beta _{3,1}}f,{\beta _{3,1}}f} \right)} \right.$

$\left. {+2{f_{yy}}\left( {{\beta _{3,1}}f,{\beta _{3,2}}f} \right)+{f_{yy}}\left( {{\beta _{3,2}}f,{\beta _{3,2}}f} \right)} \right]+O\left( {{\tau ^3}} \right)$

Wir müssen nun das ${f_{2,k}}$ in das ${f_{3,k}}$ einsetzen. Wir erhalten:

${f_{3,k}} = f+\tau {\gamma _3}{f_t}+\tau {\beta _{3,1}}{f_y}f+\tau {\beta _{3,2}}{f_y}\left( {f+\tau {\gamma _2}{f_t}+\tau {\beta _{2,1}}{f_y}f} \right)$

$+\frac{1}{2}{\tau ^2}\left[ {\gamma _3^2{f_{tt}}+2{\gamma _3}{\beta _{3,1}}{f_{ty}}f+2{\gamma _3}{\beta _{3,2}}{f_{ty}}f+{f_{yy}}\left( {{\beta _{3,1}}f,{\beta _{3,1}}f} \right)} \right.$

$\left. {+2{f_{yy}}\left( {{\beta _{3,1}}f,{\beta _{3,2}}f} \right)+{f_{yy}}\left( {{\beta _{3,2}}f,{\beta _{3,2}}f} \right)} \right]+O\left( {{\tau ^3}} \right)$

Die meisten Terme sind dabei weggefallen, da sie in das $O\left( {{\tau ^3}} \right)$ fallen. Nun fassen wir das Ergebnis noch in eine kompaktere Form zusammen:

${f_{3,k}} = f+\tau {\gamma _3}{f_t}+\tau \left( {{\beta _{3,1}}+{\beta _{3,2}}} \right){f_y}f+{\tau ^2}{\beta _{3,2}}{\beta _{2,1}}{f_y}{f_y}f+{\tau ^2}{\beta _{3,2}}{\gamma _2}{f_y}{f_t}$

$+\frac{1}{2}{\tau ^2}\left[ {\gamma _3^2{f_{tt}}+2{\gamma _3}\left( {{\beta _{3,1}}+{\beta _{3,2}}} \right){f_{ty}}f+{{\left( {{\beta _{3,1}}+{\beta _{3,2}}} \right)}^2}{f_{yy}}\left( {f,f} \right)} \right]+O\left( {{\tau ^3}} \right)$

Wir führen nun die Taylorentwicklung für $y\left( {t+\tau } \right)$ durch:

$y\left( {t+\tau } \right) = y\left( t \right)+\tau \dot y+\frac{1}{2}{\tau ^2}\ddot y+\frac{1}{6}{\tau ^3}\dddot y+O\left( {{\tau ^4}} \right)$

Aus der Differentialgleichung:

$\dot y = f$

$\ddot y = \dot f = {f_t}+{f_y} \cdot \dot y$

$\dddot y = {f_{tt}}+{f_{ty}} \cdot \dot y+\left( {{f_{yt}}+{f_{yy}} \cdot \dot y} \right) \cdot \dot y+{f_y}\left( {{f_t}+{f_y} \cdot \dot y} \right)$

$= {f_{tt}}+{f_{ty}}f+\left( {{f_{yt}}+{f_{yy}}t} \right)f+{f_y}\left( {{f_t}+{f_y}f} \right)$

Dabei haben wir die Kettenregel benutzt:

$\frac{d}{{dt}}g\left( {t,x\left( t \right)} \right) = {g_t}+{g_x} \cdot \dot x$

Einsetzen:

$\frac{{y\left( {t+\tau } \right)-y\left( t \right)}}{\tau } = f+\frac{1}{2}\tau \left( {{f_t}+{f_y}f} \right)+\frac{1}{6}{\tau ^2}\left( {{f_{tt}}+2{f_{ty}}f+{f_{yy}}\left( {f,f} \right)+{f_y}{f_y}f+{f_y}{f_t}} \right)+O\left( {{\tau ^3}} \right)$

$\begin{array}{*{20}{c}}{Ordnung} &\vline & {Differential} &\vline & {Gleichung} \\ \hline 1 &\vline & f &\vline & {{\beta _1}+{\beta _2}+{\beta _3} = 1} \\ \hline 2 &\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_t}} \\{{f_y}f} \\ \end{array} } &\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}{{\beta _2}{\gamma _2}+{\beta _3}{\gamma _3} = \frac{1}{2}} \\{{\beta _2}{\beta _{21}}+{\beta _3}\left( {{\beta _{31}}+{\beta _{32}}} \right) = \frac{1}{2}} \\ \end{array} } \\ \hline 3 &\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_{tt}}} \\{{f_{ty}}f} \\{{f_y}{f_t}} \\{{f_y}{f_y}f} \\{{f_{yy}}\left( {f,f} \right)} \\ \end{array} } &\vline & {\begin{array}{*{20}{c}}{{\beta _2}\gamma _2^2+{\beta _3}\gamma _3^2 = \frac{1}{3}} \\{{\beta _2}{\gamma _2}{\beta _{21}}+{\beta _2}{\gamma _3}\left( {{\beta _{31}}+{\beta _{32}}} \right) = \frac{1}{3}} \\{{\beta _3}{\beta _{32}}{\gamma _2} = \frac{1}{6}} \\{{\beta _3}{\beta _{32}}{\beta _{21}} = \frac{1}{6}} \\{{\beta _2}\beta _{21}^2+{\beta _3}{{\left( {{\beta _{31}}+{\beta _{32}}} \right)}^2} = \frac{1}{3}} \\ \end{array} } \\ \end{array}$

b )

Vereinfachungen

${\beta _1}+{\beta _2}+{\beta _3} = 1$

${\beta _2}{\gamma _2}+{\beta _3}{\gamma _3} = \frac{1}{2}\quad \quad Bed.\:\:{f_t},\:{f_y}f$

${\beta _2}\gamma _2^2+{\beta _3}\gamma _3^2 = \frac{1}{3}\quad \quad Bed.\:\:{f_{tt}},\:{f_{ty}}f,\:{f_{yy}}\left( {f,f} \right)$

${\beta _3}{\beta _{3,2}}{\gamma _2} = \frac{1}{6}\quad \quad Bed.\:\:{f_t}{f_t},\:{f_y}{f_y}f$

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