22 – Saitenschwingungen 1 – Herleitung der Differentialgleichung

 

In diesem Artikel wird die Vorgehensweise bei der Berechnung der Bewegung einer schwingenden Saite erklärt.
Eine Saite ist ein langes, üblicherweise zylindrisches Gebilde, dessen Querschnitt so klein ist, dass es so gut wie keinen Widerstand gegen Biegung gibt.
Damit eine ausgelenkte Saite wieder in den (geraden) Ursprungszustand zurückkehren kann, muss sie an beiden Seiten eingespannt sein.

Lenkt man die vorgespannte Saite aus und lässt sie wieder zurückschnellen, tritt eine transversale Schwingung um die Ruhelage auf, deren Form von verschiedenen Parametern abhängt. Die Schwingung mit der tiefsten möglichen Frequenz bezeichnet man als “Grundschwingung”. Weiterhin kann die Saite auch “Oberschwingungen” ausführen, die außer den eingespannten Enden noch weitere Schwingungsknoten enthalten:

Eigenschwingungen, Grundschwingung und Oberschwingungen

Herleitung der Differentialgleichung

Wie bekommt man aus einer vorgespannten und ausgelenkten Saite eine Differentialgleichung?

Um diese Frage zu beantworten, bestimmen wir zunächst die Kraft, die die Saite senkrecht zu ihrer Ruhelage zurückzieht. Diese hängt mit der Spannung τ = F / A zusammen, nämlich der Kraft pro Querschnittsfläche der Saite. Normalerweise kann die Saite (wie z.B. auch ein Seil) nur Kräfte entlang ihrer Längsrichtung übertragen. Bei einer gekrümmten Saite ergibt sich allerdings einer resultierende Kraft, da die Spannkraft an verschiedenen Stellen der Saite zwar vom Betrag her gleich groß ist, aber in verschiedene Richtungen zeigt (tangential zur Saite):

Ausgelenkte Saite-Herleitung der Differentialgleichung

Wir betrachten nun ein kleines Stück der Saite.

Länge: dx
Masse: dm2
Vorspannung: in x-Richtung
Auslenkung: in w-Richtung
Rückstellende Kraft: Fy
Winkel: α
Winkeländerung: dα
Dichte: ρ
Querschnittsfläche: A

Da für τ gilt:

\tau  = \frac{F} {A}

ergibt sich für die Komponente der Kraft in w-Richtung (rückstellende Kraft) am linken Ende des Saitenstückes:

F_w \left( x \right) = -A\tau \sin \alpha

und für die rückstellende Kraft am rechten Ende des Stückes:

F_w \left( {x+dx} \right) = +A\tau \sin \left( {\alpha +d\alpha } \right)

Die resultierende rücktreibende Kraft für das Stück ist die Summe der Kräfte an den beiden Enden:

F_R  = F_w \left( x \right)+F_w \left( {x+dx} \right) = -A\tau \sin \alpha +A\tau \sin \left( {\alpha +d\alpha } \right)

F_R  = A\tau \left( {\sin \left( {\alpha +d\alpha } \right)-\sin \left( \alpha  \right)} \right)

Wir wenden nun das passende Additionstheorem an:

\sin \left( {\alpha +d\alpha } \right) = \sin \left( \alpha  \right)\cos \left( {d\alpha } \right)+\cos \left( \alpha  \right)\sin \left( {d\alpha } \right)

\Rightarrow F_R  = A\tau \left( {\sin \left( \alpha  \right)\cos \left( {d\alpha } \right)+\cos \left( \alpha  \right)\sin \left( {d\alpha } \right)-\sin \left( \alpha  \right)} \right)

Da die Saite sehr lang im Vergleich zur Auslenkung ist, ist auch der Winkel α klein und der Winkelunterschied dα noch kleiner. Wir können daher linearisieren und setzen:

\sin \left( \alpha  \right) = \alpha ,\quad \sin \left( {d\alpha } \right) = d\alpha

und

\cos \left( \alpha  \right) = 1,\quad \cos \left( {d\alpha } \right) = 1

eingesetzt:

F_R  = A\tau \left( {\alpha  \cdot 1+d\alpha  \cdot 1-\alpha  \cdot 1} \right)

F_R  = A\tau da

Nun müssen wir noch eine Gleichung finden, die die Größe der Winkeländerung dα beschreibt. Der Winkel selber ist sehr klein, es kann also vorausgesetzt werden, dass er gleich der Steigung der “Saitenfunktion” ist:

\alpha  \approx \tan \alpha  = \frac{{\partial w}} {{\partial x}}

Die Änderung des Winkels zwischen den Stellen x und x+dx ist dann die Änderung der Steigung, was der zweiten Ableitung nach dem Ort entspricht:

d\alpha  \approx \frac{{\partial \left( {\frac{{\partial w}} {{\partial x}}} \right)}} {{\partial x}} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}dx

Achtung! Das dx hat hier nichts mit einer Ableitung zu tun, sondern steht nur für die Länge des Saitenstückes. Die Änderung des Winkels ist also ungefähr gleich der Ableitung des Winkels mal die Entfernung auf der x-Achse. Dies entspricht dem Ergebnis einer Taylorentwicklung, die nach dem ersten Schritt abgebrochen wurde.

Für die rücktreibende Kraft erhält man unter beachtung dieser Zusammenhänge:

F_R  = A\tau da = A\tau \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}dx

Diese Kraft beschleunigt das Saitenstück in Richtung Ruhelage. Das Saitenstück besitzt die Masse dm = ρ A dx. Für die Beschleunigung ist eine Kraft nötig, die sich nach Newton (Schwerpunktsatz) als

F_B  = \ddot wdm = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}\rho Adx

schreiben lässt. Wir setzen die beiden Kräfte gleich:

F_R  = F_B \quad  \Rightarrow \quad A\tau \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}dx = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}\rho Adx

Da sowohl die Querschnittsfläche als auch die Länge des Saitenstückes ungleich 0 sind, können wir kürzen und erhalten:

\tau \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}\rho

Zuletzt bringen wir noch die beiden Konstanten auf eine Seite und fassen sie zu der neuen Konstante c2 zusammen:

\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}c^2 ,\quad \quad c^2  = \frac{\tau } {\rho }

Dies ist die Wellengleichung nach D’Alembert. Sie zeigt den Zusammenhang zwischen zeitlicher und räumlicher Änderung der Auslenkung der Saite. Man kann zeigen, dass sich die Transversalwellen auf der Saite mit der Geschwindigkeit c ausbreiten.

Ähnliche Artikel

2 Kommentare zu “22 – Saitenschwingungen 1 – Herleitung der Differentialgleichung”

Glückwunsch – super erklärt! Habs bisher mit 10 Büchern und gefühlten 500 Webseiten nicht verstanden. Stefan

Danke! Über Lob und konstruktive Kritik freuen wir uns immer :)

Kommentar verfassen