23 – Saitenschwingungen 2 – freie Schwingungen

 

Im letzten Artikel wurde die Wellengleichung nach D’Alembert hergeleitet. Sie zeigt den Zusammenhang zwischen zeitlicher und räumlicher Änderung der Auslenkung der Saite:

\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}c_s^2 ,\quad \quad c_s^2  = \frac{\tau } {\rho }

Man kann zeigen, dass sich die Transversalwellen auf der Saite mit der Geschwindigkeit c ausbreiten.

Für eine freie Schwingung setzen wir nun die eingeprägte Streckenlast auf 0:

q_z = 0

Für die Vorspannkraft wollen wir nun die Bezeichnung S wählen, für die Masse pro Längeneinheit schreiben wir µ = ρ A. Aus der vorherigen Beziehung zwischen der Spannung τ und der Dichte ρ folgt damit:

\frac{\tau } {\rho } = \frac{S} {{\rho A}} = \frac{S} {\mu }

\Rightarrow \quad c_s  = \sqrt {\frac{\tau } {\rho }}  = \sqrt {\frac{S} {\mu }}

Wir müssen nun die Differentialgleichung lösen, in der sowohl Ableitungen nach der Zeit als auch nach dem Ort vorkommen. Für solche Problemstellungen verwendet man häufig den Produktansatz von Bernoulli. Es wird zunächst eine Hilfsfunktion für die Auslenkung aufgestellt, die das Produkt einer Ortsabhängigen und einer Zeitabhängigen Funktion ist:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

Die benötigten Ableitungen sind:

\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }} = \hat w^{\prime\prime} T

\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = \hat w\ddot T

Diese setzen wir in die Differentialgleichung ein:

c_s^2 \hat w^{\prime\prime} T = \hat w\ddot T

Wir teilen nun durch den Ansatz selber und separieren so die Variablen:

c_s^2 \frac{{\hat w^{\prime\prime} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}

Die linke Seite kann für alle t und für x nur dann immer und überall gleich der rechten Seite sein, wenn beide konstant sind. Wir definieren eine neue Konstante:

c_s^2 \frac{{\hat w^{\prime\prime} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}: = -\omega _j^2

ωj2 kann verschiedene Werte annehmen. Wir erhalten zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, nämlich eine zeitliche und eine örtliche:

\ddot T_j +\omega _j^2 T_j  = 0

\hat w_j ^{\prime\prime} +\left( {\frac{{\omega _j }} {{c_s }}} \right)^2 \hat w_j  = 0

bzw.

\hat w_j ^{\prime\prime} +k_j^2 \hat w_j  = 0

mit der Wellenzahl k_j  = \frac{{\omega _j }} {{c_s }}

Die zeitliche und örtliche Differentialgleichung sind vom selben Typ.

Die Lösung kann mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite gelöst werden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten:

T_j  = A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t

oder

T_j  = \tilde A_j \cos \left( {\omega _j t-\alpha _j } \right)

oder

T_j  = \tilde B_j \sin \left( {\omega _j t-\beta _j } \right)

oder

T_j  = \tilde Ce^{i\omega _j t}

Wir nutzen den ersten Ansatz auch für das wj:

\hat w_j  = C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x

Teillösung für ein bestimmtes j:

w_j \left( {x,t} \right) = \hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)

Für die Gesamtlösung werden die Teillösungen über j aufsummiert:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

= \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)} \left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)