23 – Saitenschwingungen 2 – freie Schwingungen

Im letzten Artikel wurde die Wellengleichung nach D’Alembert hergeleitet. Sie zeigt den Zusammenhang zwischen zeitlicher und räumlicher Änderung der Auslenkung der Saite:

$ \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}c_s^2 ,\quad \quad c_s^2 = \frac{\tau } {\rho } $

Man kann zeigen, dass sich die Transversalwellen auf der Saite mit der Geschwindigkeit c ausbreiten.

Für eine freie Schwingung setzen wir nun die eingeprägte Streckenlast auf 0:

q_z = 0

Für die Vorspannkraft wollen wir nun die Bezeichnung S wählen, für die Masse pro Längeneinheit schreiben wir µ = ρ A. Aus der vorherigen Beziehung zwischen der Spannung τ und der Dichte ρ folgt damit:

$ \frac{\tau } {\rho } = \frac{S} {{\rho A}} = \frac{S} {\mu } $

$ \Rightarrow \quad c_s = \sqrt {\frac{\tau } {\rho }} = \sqrt {\frac{S} {\mu }} $

Wir müssen nun die Differentialgleichung lösen, in der sowohl Ableitungen nach der Zeit als auch nach dem Ort vorkommen. Für solche Problemstellungen verwendet man häufig den Produktansatz von Bernoulli. Es wird zunächst eine Hilfsfunktion für die Auslenkung aufgestellt, die das Produkt einer Ortsabhängigen und einer Zeitabhängigen Funktion ist:

$ w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right) $

Die benötigten Ableitungen sind:

$ \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }} = \hat w^{\prime\prime} T $

$ \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = \hat w\ddot T $

Diese setzen wir in die Differentialgleichung ein:

$ c_s^2 \hat w^{\prime\prime} T = \hat w\ddot T $

Wir teilen nun durch den Ansatz selber und separieren so die Variablen:

$ c_s^2 \frac{{\hat w^{\prime\prime} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} $

Die linke Seite kann für alle t und für x nur dann immer und überall gleich der rechten Seite sein, wenn beide konstant sind. Wir definieren eine neue Konstante:

$ c_s^2 \frac{{\hat w^{\prime\prime} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}: = -\omega _j^2 $