01.3 – Schallgeschwindigkeit

 

In den Ausdruck für die Schallgeschwindigkeit in Gasen gehen Druck und Dichte als physikalische Größen ein. Berechnen Sie den expliziten Ausdruck mit Hilfe der Dimensionsanalyse!

Lösung

Schallgeschwindigkeit:

c = f\left( {p,\rho } \right)

c \sim {p^x} \cdot {\rho ^y}

c = const \cdot {p^x} \cdot {\rho ^y}

\frac{m} {s} = {\left( {\frac{N} {{{m^2}}}} \right)^x} \cdot {\left( {\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right)^y} = {\left( {\frac{{kg\frac{m} {{{s^2}}}}} {{{m^2}}}} \right)^x} \cdot {\left( {\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right)^y}

m \cdot {s^{-1}} = k{g^x} \cdot {m^{-x}} \cdot {s^{-2x}} \cdot k{g^y} \cdot {m^{-3y}}

m \cdot {s^{-1}} = k{g^{x+y}} \cdot {m^{-x-3y}} \cdot {s^{-2x}}

Daraus erhalten wir die Gleichungen:

\left( I \right)\quad x+y = 0

\left( {II} \right)\quad -x-3y = 1

\left( {III} \right)\quad -1 = -2x\quad  \Rightarrow \quad x = \frac{1} {2}

\Rightarrow \quad y = -\frac{1} {2}

Und können für die Schallgeschwindigkeit schließen:

c = const \cdot {p^{\frac{1} {2}}} \cdot {\rho ^{-\frac{1} {2}}} = const \cdot \sqrt {\frac{p} {\rho }} \quad  \Rightarrow \quad c = \sqrt {x\frac{p} {\rho }}