26 – Schaltkupplung bei Anfahren unter Last

 

Ein Maschinentisch soll über einen Kugelgewindetrieb translatorisch bewegt werden. Es sind folgende Daten gegeben:

Spindel:

Drehzahl: {n_S} = 6000{\min ^{-1}}
Lastmoment: {M_L} = 15Nm
Massenträgheitsmoment: {J_S} = 0,016kg{m^2}

Tisch:

Maximale Geschwindigkeit: u = 1,5\frac{m}{s}
Masse des Schlittens: m = 500kg
Beschleunigungszeit: {t_A} = 0,2s

Motor:

Drehzahl: {n_{M,direkt}} = 6000{\min ^{-1}}, {n_{M,Getriebe}} = 1440{\min ^{-1}}

Massenträgheitsmomente:

Kupplung: {J_K} = 0,004kg{m^2}
Getriebeabtriebswelle: {J_{G,ab}} = 0,007kg{m^2}
Getriebeantriebswelle: {J_{g,an}} = 0,014kg{m^2}
Motor: {J_M} vernachlässigbar

Aufgaben

  1. Ermitteln Sie das Kupplungsdrehmoment für einen Direktantrieb
  2. Ermitteln Sie das Kupplungsdrehmoment bei Verwendung eines einstufigen Getriebes
  3. Neben der Auslegung nach dem Drehmoment werden Schaltkupplungen nach der Schaltarbeit ausgelegt. Bestimmen Sie für obigen Fall die Schaltarbeit eines einzelnen Schaltvorgangs. Hierbei ist davon auszugehen, dass der Motor mit konstanter Geschwindigkeit dreht und der Maschinentisch anfangs ruht.

Lösung

26.1 – Direktantrieb

In diesem Aufgabenteil ist der Motor direkt ohne Getriebe an die Welle angeschlossen. Hier zunächst eine Skizze des Problems:

motor-kupplung-spindel-tisch

Berechnet werden soll das Moment, das an der Kupplung wirkt. Dieses Kupplungsmoment setzt sich zusammen aus dem Lastmoment (in der Skizze rechts) und dem Beschleunigungsmoment. Das Beschleunigungsmoment folgt dabei daraus, dass sich der Motor anfängt zu drehen, und die verschiedenen Bauteile im System dieser Bewegung ein Trägheitsmoment entgegenbringen, es wird berechnet als Produkt aus Trägheitsmoment des Systems und Winkelbeschleunigung der Welle:

{M_K} = {M_B}+{M_L}

{M_B} = J \cdot \dot \omega

Wenn in einem dynamischen System verschiedene Trägheitsmomente (rotatorische oder translatorische) wirken, müssen wir zur Berechnung alles auf eine gemeinsame Drehzahl reduzieren. Dabei nutzen wir den Energieerhaltungssatz.

Für rotatorische Bewegungen:

{E_{kin,0}} = {E_{kin,1}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{J_0}\omega _0^2}}{2} = \frac{{{J_1}\omega _1^2}}{2}\quad \Rightarrow \quad {J_0} = {J_1}{\left( {\frac{{{\omega _1}}}{{{\omega _0}}}} \right)^2}

Dabei stehen die Indizes für:
0: vor dem Getriebe
1: nach dem Getriebe

Auch bei der Überführung eines translatorischen Trägheitsmoments in ein rotatorisches können wir den Energieerhaltungssatz benutzen:

Für translatorische Bewegungen:

{E_{kin,0}} = {E_{kin,1}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{J_0}\omega _0^2}}{2} = \frac{{{m_1}v_1^2}}{2}\quad \Rightarrow \quad {J_0} = {m_1}{\left( {\frac{{{v_1}}}{{{\omega _0}}}} \right)^2}

Das gesamte reduzierte Moment setzt sich dann zusammen aus dem Trägheitsmoment der Kupplung, dem der Spindel und dem des Tisches:

{J_{red}} = {J_K}+{J_S}+{J_T}

Die Kupplung ist das Maschinenelement, was wir letztendlich berechnen wollen, d.h. wir müssen alles auf die Winkelgeschwindigkeit der Kupplung reduzieren.

Bei der Kupplung haben wir die Winkelgeschwindigkeit {\omega _M} des Motors, die wegen des Direktantriebes der Winkelgeschwindigkeit der Welle entspricht. Auch die Spindel dreht sich mit dieser Geschwindigkeit. Der Tisch hingegen dreht sich gar nicht, sondern führt nur eine translatorische Bewegung durch. Wir müssen das dadurch entstehende Moment auf die Wellengeschwindigkeit umrechnen.

{\omega _M} = 2\pi {n_M} = 2\pi \frac{{6000}}{{60s}} = 628,3\frac{1}{s}

{J_T} = {m_T}{\left( {\frac{u}{{{\omega _M}}}} \right)^2} = 500kg{\left( {\frac{{1,5\frac{m}{s}}}{{628,3\frac{1}{s}}}} \right)^2} = 0,00284kg{m^2}

Damit können wir das gesamte reduzierte Moment berechnen:

{J_{red}} = {J_K}+{J_S}+{J_T} = 0,004kg{m^2}+0,016kg{m^2}+0,00284kg{m^2} = 0,02284kg{m^2}

Das kombinierte Beschleunigungsmoment können wir nun mit der Formel

{M_B} = {J_{red}}\dot \omega

berechnen, wobei \dot \omega die Winkelbeschleunigung der Welle ist. Diese berechnen wir wie folgt:

\dot \omega  = \frac{{{\omega _{\max }}-{\omega _{\min }}}}{{{t_A}}} = \frac{{628,3\frac{1}{s}-0\frac{1}{s}}}{{0,2s}} = 3141,5\frac{1}{{{s^2}}}

Für das Beschleunigungsmoment folgt damit:

{M_B} = 3141,5\frac{1}{{{s^2}}} \cdot 0,0228kg{m^2} = 71,63Nm

Das Kupplungsmoment setzt sich aus dem Beschleunigungsmoment und dem Lastmoment zusammen:

{M_K} = {M_B}+{M_L} = 71,63Nm+15Nm = 86,63Nm

Das Beschleunigungsmoment ist im Normalfall viel größer als das Lastmoment. Das muss bei der Auslegung unbedingt beachtet werden!

26.2 – Antrieb mit Getriebe

Der Motor dreht nun nur noch mit n = 1440{\min ^{-1}}. Durch das Getriebe wird die Drehzahl auf n = 6000{\min ^{-1}} erhöht.

Hier zunächst eine Skizze des Problems:

motor-kupplung-getriebe-rad

Das Kupplungsmoment setzt sich wieder zusammen aus Beschleunigungsmoment und Lastmoment:

M_K^\prime = M_B^\prime +M_L^\prime

M_B^\prime = J_{red}^\prime {{\dot \omega }^\prime }

Wir müssen nun beachten, dass im System die Drehzahl durch das Getriebe verändert wird. Das Trägheitsmoment des Systems setzt sich wie folgt zusammen:

  • Kupplung
  • angetriebenes Getrieberad
  • nicht angetriebenes Getrieberad
  • Spindel
  • Tisches

Die ersten beiden Komponenten drehen sich dabei mit der Drehzahl des Motors. Die beiden nächsten Komponenten drehen sich mit der höheren Drehzahl, auf die das Getriebe übersetzt. Der Tisch bewegt sich translatorisch.

J_{red}^\prime = {J_K}+{J_{G,an}}+{J_{G,ab,red}}+{J_{S,red}}+{J_{T,red}}

Die beiden Drehzahlen (vor und hinter dem Getriebe) sind:

\omega _M^\prime = 2\pi n_M^\prime = 2\pi \frac{{1440}}{{60s}} = 150,8\frac{1}{s}

\omega _S^\prime = 2\pi n_S^\prime = 2\pi \frac{{6000}}{{60s}} = 628,3\frac{1}{s}

Es ergibt sich:

{J_{G,ab,red}} = {J_{G,ab}}{\left( {\frac{{\omega _S^\prime }}{{\omega _M^\prime }}} \right)^2} = 0,1215 kg{m^2}

{J_{S,red}} = {J_S}{\left( {\frac{{\omega _S^\prime }}{{\omega _M^\prime }}} \right)^2} = 0,278kg{m^2}

{J_{T,red}} = {m_T}{\left( {\frac{u}{{\omega _M^\prime }}} \right)^2} = 0,049kg{m^2}

J_{red}^\prime = 0,467kg{m^2}

{\dot \omega ^\prime } = \frac{{\omega _{\max }^\prime-\omega _{\min }^\prime }}{{{t_A}}} = \frac{{150,8\frac{1}{s}-0\frac{1}{s}}}{{0,2s}} = 754\frac{1}{{{s^2}}}

M_B^\prime = 352,12Nm

Wir haben nun das Beschleunigungsmoment ausgerechnet. Es fehlt noch das Lastmoment. Dieses können wir nicht einfach dazu addieren, da auch das Lastmoment über das Getriebe übersetzt wird:

i = \frac{{{n_{an}}}}{{{n_{ab}}}} = \frac{{{M_{ab}}}}{{{M_{an}}}} = \frac{{{M_L}}}{{M_L^\prime }}

Das Moment M_L^\prime müssen wir nun noch berechnen:

i = \frac{{1440{\min ^{-1}}}}{{6000{\min ^{-1}}}} = 0,24\quad \Rightarrow \quad M_L^\prime = \frac{{{M_L}}}{i} = \frac{{15Nm}}{{0,24}} = 62,5Nm

M_K^\prime = M_B^\prime +M_L^\prime = 414,62Nm

Wir können also nicht die gleiche Kupplung verwenden, wie beim Direktantrieb. Auch der Motor muss ein deutlich höheres Drehmoment liefern, kann dafür aber mit einer kleineren Drehzahl drehen.
Es lässt sich nicht allgemein entscheiden, welche Variante besser ist.

26.3 – Schaltarbeit für einen Schaltvorgang

Allgemein gilt: Die Schaltarbeit der Kupplung ist das Produkt aus dem Kupplungsmoment und dem Verdrehwinkel zwischen Antriebs- und Abtriebswelle (beim Andrehen dreht sich zuerst die angetriebene Welle, die andere bleibt aufgrund von Schlupf stehen, es kommt zu einem Drehwinkel).

{W_{KS}} = {M_K}\varphi

\varphi = \frac{1} {2}\left( {{\omega _A}-{\omega _{L0}}} \right){t_A}

Dabei ist \varphi der Drehwinkel, {\omega _A} die Winkelgeschwindigkeit der Antriebsseite, {\omega _{L0}} die Winkelgeschwindigkeit der Lastseite vor dem Schalten.

Direktantrieb:

{W_{KS}} = {M_K}\frac{1}{2}\left( {{\omega _M}-0} \right){t_A} = 86,63Nm \cdot \frac{1}{2} \cdot 628,3\frac{1}{s} \cdot 0,2s = 5443J

Antrieb mit Getriebe:

W_{KS}^\prime = M_K^\prime \frac{1}{2}\left( {\omega _M^\prime -0} \right){t_A} = 414,62Nm \cdot \frac{1}{2} \cdot 150,8\frac{1}{s} \cdot 0,2s = 6252J

{t_A} ist die Zeit, in der Welle und Kupplung aufeinander reiben (also die Zeit, in der Schlupf wirkt). Wir sehen, dass sehr viel Energie verloren geht. Man versucht daher, die Beschleunigungszeiten möglichst klein zu halten.

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    \[\omega _S^\prime = 2\pi n_S^\prime = 2\pi \frac{{6000}}{{60s}} = 628,3\frac{1}{s}\]

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