28 – Schrägverzahnte profilverschobene Getriebestufe

Es ist ein einstufiges Stirnradgetriebe mit Schrägverzahnung und Profilverschiebung zu berechnen.

schragverzahnte-verschobene-getriebestufe

Gegeben

Antriebsleistung: $P = 20kW$

Anwendungsfaktor: ${K_A} = 1,5$

Antriebsdrehzahl: ${n_1} = 750mi{n^{-1}}$

Soll-Abtriebsdrehzahl: ${n^\prime }_2 = 200 \pm 2{\min ^{-1}}$

Ritzelzähnezahl: ${z_1} = 18$

Normalmodul: ${m_n} = 3mm$

Normaleingriffswinkel: ${\alpha _n} = 20^\circ$

Schrägungswinkel: $\beta = 14,108^\circ$

Geforderter Achsabstand: $a = 133,5mm$

Aufgaben

28.1 – Legen Sie die Zähnezahlen von Ritzel und Rad fest und berechnen Sie die daraus resultierenden Ersatzzähnezahlen

28.2 Verzahnungsgeometrie

28.2.1 – Bestimmen Sie Teil- und Grundkreisdurchmesser sowie Null-Achsenabstand des Getriebes.

28.2.2 – Bestimmen Sie die Profilverschiebungsfaktoren sowie den sich dann ergebenden Kopfkreisdurchmesser.

28.2.3 – Legen Sie die Verzahnungsbreite fest.

28.2.4 – Berechnen Sie Profil- und Sprungüberdeckung der Verzahnung

28.3 – Tragfähigkeit

28.3.1 – Berechnen Sie das an- und Abtriebsmoment des Getriebes sowie die sich hieraus ergebenden Zahnkräfte

28.3.2 – Bestimmen Sie die Zahnfußspannung und Flankenpressung an den beiden Zahnrädern.

28.3.3 – Wählen Sie für beide Zahnräder einen geeigneten Werkstoff aus

Lösung

In dieser Aufgabe steht der Index 1 immer für das Ritzel und der Index 2 immer für das Rad. Wir wiederholen zunächst ein paar Gegebenheiten der Zahnradgeometrie von Stirnrädern.

Geometrie der Geradstirnräder

Begriffe und Bestimmungsgrößen

Ein außenverzahntes Geradstirnrad mit Evolventenverzahnung sieht wie folgt aus:

benennung-aussenverzahntes-stirnrad

Die Zähnezahl $z$ ist die auf dem vollen Radumfang ganzzahlig aufgehende Anzahl der Zähne.

Die Zahnbreite $b$ ist der Abstand der beiden Stirnflächen.

Die Teilung $p$ ist der Abstand einer rechten Zahnflanke zur nächsten rechten Zahnflanke.

Der Teilkreisdurchmesser $d$ ist der Durchmesser, an dem Zähne und Lücken gleich dick sind.

Die Zahndicke $s$ und die Lückenweite $e$ ergänzen sich zu $p = s+e$ .

Der Zahndicken-Halbwinkel $\psi$ ist das Verhältnis der Zahndicke am Teilkreis zu $d$ .

Die Eingriffsteilung ${p_e}$ ist die Entfernung der Eingriffspunkte benachbarter Zahnflanken.

Für ein gutes Zusammenarbeiten zweier Zahnräder muss ${p_e}$ übereinstimmen!

Verzahnungsmaße der Nullräder

Ein Null-Radpaar sieht wie folgt aus:

paarung-ausenverzahnte-nullrader

Wird bei der Erzeugung der Verzahnung die Profilbezugslinie des Werkzeuges auf dem Teilkreis abgerollt, entsteht ein Zahnrad mit Nullverzahnung. Die Wälzgerade M-M fällt dann mit der Profilbezugslinie P-P zusammen. Hat das Gegenrad ebenfalls Nullverzahnung, so ist der Betiebseingriffswinkel gleich dem Erzeugungseingriffswinkel $\alpha$ und die Erzeugungs-Wälzkreise gleich Teilkreise sind auch Betriebswälzkreise, die sich im Wälzpunkt C berühren.

Zahnabmessungen:
Zahnkopfhöhe: ${h_a} = {h_{aP}} = m$
Zahnfußhöhe: ${h_f} = {h_{fP}} = m+c$

Die Übersetzung ist das Verhältnis der Teilkreisdurchmesser und damit auch das Zähnezahlverhältnis.

Eingriffsstrecke, Profilüberdeckung

Um eine gleichförmige Kraft- und Bewegungsübertragung eines außenverzahnten Null-Radpaares zu gewährleisten, muss bereits ein neuer Zahn im Eingriff sein, wenn der vorhergehende Zahn außer Eingriff kommt, d.h. es muss stets das ausgenutzte Stück der Eingriffslinie n-n, die Eingriffsstrecke ${g_\alpha } = \overline {AE}$ größer als die Eingriffsteilung ${p_e}$ sein. Es gilt für die Eingriffsstrecke:

${g_\alpha } = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {d_{a1}^2-d_{b1}^2} +\sqrt {d_{a2}^2-d_{b2}^2} } \right)-{a_d}\sin \left( \alpha \right)$

Das Verhältnis der Eingriffsstrecke zur Eingriffsteilung ist die Profilüberdeckung:

${\varepsilon _\alpha } = \frac{{{g_\alpha }}}{{{p_e}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sqrt {d_{a1}^2-d_{b1}^2} +\sqrt {d_{a2}^2-d_{b2}^2} } \right)-{a_d}\sin \left( \alpha \right)}}{{\pi \cdot m \cdot \cos \left( \alpha \right)}}$

Die Profilüberdeckung ist der zeitliche Mittelwert der Anzahl der im Eingriff befindlichen Zahnpaare. Mit Rücksicht auf Toleranzen und Verformungen sollte gelten:

${\varepsilon _\alpha } > 1,1$

oder möglichst

${\varepsilon _\alpha } > 1,25$

Wenn ${\varepsilon _\alpha } > 1,25$ ist, bedeutet das anschaulich, dass während der Eingriffsdauer eines Zahnpaares zu 25% der Zeit ein zweites Zahnpaar im Eingriff ist.

Profilverschiebung (Geradverzahnung)

Das Unterschreiben einer bestimmten Zähnezahl, der Grenzzähnezahl ${z_g}$ , führt beim Erzeugen der Verzahnung eines Null-Rades zu Unterschnitt an den Zahnflanken. Dadurch verkürzt sich die Eingriffsstrecke und damit die Profilüberdeckung. Gleichzeitig werden der Zahnfuß geschwächt und die Bruchgefahr vergrößert.

zahnunterschnitt-eingriffslinie

Die theoretische Grenzzähnezahl in Abhängigkeit vom Eingriffswinkel ist:

${z_g} = \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( \alpha \right)}} \approx 17$

Eine wirkliche Gefährdung des Eingriffsverhältnisse ergibt sich jedoch erst bei der praktischen Grenzzähnezahl $z_g^\prime = 14$ . Beim Zusammenarbeiten eines Ritzels mit ${z_1} < z_g^\prime$ und eines Rades mit ${z_2} > z_g^\prime$ kann ${g_\alpha } < {p_e}$ und ${\varepsilon _\alpha } < 1$ werden. Die Bewegungsübertragung wird dann ungleichmäßig. Zur Vermeidung von Unterschnitt könnten die Zähne verkürzt oder der Eingriffswinkel vergrößert werden. Dies würde allerdings ein anderes Werkzeug erfordern und ist nicht wirtschaftlich. Stattdessen verwendet man eine Profilverschiebung. Es kann dadurch der Achsabstand, die Tragfähigkeit und die Profilüberdeckung variiert werden.

profilverschiebung

Dargestellt ist ein Rad mit positiver Profilverschiebung. Zur Herstellung muss das Werkzeug (Profilbezugslinie P-P) um einen bestimmten Betrag $V$ vom Teilkreis verschoben werden. Es können so ${V_{plus}}$ und ${V_{minus}}$ Räder erzeugt werden:

vplus-vminus-profilverschiebung

Geometrie der Schrägstirnräder

Grundformen und Schrägungswinkel

Die Zähne sind auf dem Radzylinder schraubenförmig gewunden. Der Flankenlinienverlauf in der Wälzebene ist durch den Schrägungswinkel $\beta$ bestimmt. Bei der Paarung von Schrägstirnrädern müssen die Zähne des einen Rades rechtssteigend, die des Gegenrades linkssteigend bei gleichem Steigungswinkel ausgeführt sein.

Vorteile:

Ruhigerer Lauf, da Eingriff und Ablösung allmählich erfolgen und mehr Zähne gleichzeitig im Eingriff sind
Für höhere Drehzahlen geeignet
Schrägzähne sind höher belastbar

Nachteile:

Durch die Schrägung entstehen unter Belastung Axialkräfte
Zusätzliche Belastung für Welle und Lager
Höhere Reibung, geringerer Wirkungsgrad
Bei gleicher Zähnezahl größerer Durchmesser

Verzahnungsmaße

Bei Schrägverzahnung muss man zwischen dem für die Eingriffsverhältnisse maßgebendem Stirnschnitt senkrecht zur Radachse und dem für die Herstellung und das Werkzeug maßgebendem Normalschnitt senkrecht zu den Flankenlinien unterscheiden. Das Stirnprofil zeigt reine Evolventen, das Normalprofil nur angenähert. Es gilt der Zusammenhang:

$\cos \beta = \frac{{{p_n}}}{{{p_t}}} = \frac{{{m_n} \cdot \pi }}{{{m_t} \cdot \pi }} = \frac{{{m_n}}}{{{m_t}}}$

Eingriffsverhältnisse, Gesamtüberdeckung

Hier eine Grafik mit dem Sprung $U$ und den verschiedenen Schnitten:

schragstirnrad-sprung-eingriff

Um die Gesamtüberdeckung zu berechnen, müssen wir zwei Teile addieren. Die Profilüberdeckung ist die gleiche wie bei der Geradverzahnung:

${\varepsilon _\alpha } = \frac{{{g_\alpha }}}{{{p_{et}}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sqrt {d_{a1}^2-d_{b1}^2} +\sqrt {d_{a2}^2-d_{b2}^2} } \right)-{a_d}\sin \left( {{\alpha _t}} \right)}}{{\pi \cdot {m_t} \cdot \cos \left( {{\alpha _t}} \right)}}$

Dazu kommt die Sprungüberdeckung:

${\varepsilon _\beta } = \frac{U}{{{p_t}}} = \frac{{b \cdot \tan \left( \beta \right)}}{{{p_t}}} = \frac{{b\sin \left( \beta \right)}}{{\pi \cdot {m_n}}} \geq 1$

Profilverschiebung (Schrägverzahnung)

Es gilt im Prinzip das Gleiche wie bei der Geradverzahnung. Statt mit dem Schrägstirnrad rechnen wir mit einem Ersatzrad. Dieses Ersatzrad hat bei einer Zähnezahl $z$ des Schrägstirnrades die Ersatzzähnezahl

${z_n} = \frac{{{d_n}}}{{{m_n}}} = \frac{d}{{{{\cos }^2}\left( {{\beta _b}} \right) \cdot {m_n}}} = \frac{z}{{{{\cos }^2}\left( {{\beta _b}} \right) \cdot \cos \left( \beta \right)}} \approx \frac{z}{{{{\cos }^3}\left( {gb} \right)}}$

Wir kommen nun zur Beantwortung der Aufgabenstellung.

28.1 – Zähnezahlen von Ritzel und Rad und Ersatzzähnezahlen

Das Verhältnis von Antriebsdrehzahl und gewünschter Abtriebsdrehzahl ist die Soll-Übersetzung:

${i^\prime } = \frac{{{n_1}}}{{n_2^\prime }} = 3,75$

Wir wollen nun die Zähnezahlen des Ritzels und des Rades festlegen. Lauf Aufgabenstellung ist die Zähnezahl des Ritzels ${z_1} = 18$ . Dies müssen wir so übernehmen, auch wenn eine Primzahl besser gewesen wäre.

Die geforderte Zähnezahl des Rades können wir mit Hilfe des geforderten Übersetzungsverhältnisses festlegen:

$z_2^\prime = {i^\prime } \cdot {z_1} = 67,5$

Wir wählen die Primzahl: ${z_2} = 67$

Die Ist-Übersetzung ergibt sich damit zu

$i = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = 3,72$

Daraus folgt die Ist-Abtriebsdrehzahl:

${n_2} = \frac{{{n_1}}}{i} = 201,6\frac{1}{{\min }}\quad \Rightarrow \quad$ in Ordnung, sollte im Bereich [198, 202] liegen!

Wir bestimmen nun die Ersatzzähnezahl. Es gilt die in der Einleitung erwähnte Formel:

${z_n} = \frac{z}{{{{\cos }^2}\left( {{\beta _b}} \right) \cdot \cos \left( \beta \right)}}$

Dabei ist ${\beta _b}$ der Schrägungswinkel am Grundkreis. Für diesen gilt:

${\beta _b} = \arcsin \left( {\sin \left( \beta \right) \cdot \cos \left( {{\alpha _n}} \right)} \right) = 13,241^\circ$

Daraus folgen die Ersatzzähnezahlen für Ritzel und Rad:

${z_n}_1 = 19,6$

${z_n}_2 = 72,9$

Wir können hier mit den Kommastellen weiterrechnen, da dieser Werte theoretischer Natur sind und nicht gefertigt werden müssen.

28.2.1 – Teil- und Grundkreisdurchmesser, Null-Achsenabstand

Die Formel für den Teilkreisdurchmesser lautet:

$d = \frac{{z \cdot {m_n}}}{{\cos \left( \beta \right)}}$

${d_1} = 55,679mm$

${d_2} = 207,251mm$

Daraus berechnen wir den Grundkreisdurchmesser:

${d_b} = d \cdot \cos \left( {{\alpha _t}} \right)$

Den hier außerdem noch benötigten Stirneingriffswinkel ${\alpha _t}$ können wir aus dem Normaleingriffswinkel und dem Schrägungswinkel berechnen:

${\alpha _t} = \arctan \left( {\frac{{\tan \left( {{a_n}} \right)}}{{\cos \left( \beta \right)}}} \right) = \arctan \left( {\frac{{\tan \left( {20^\circ } \right)}}{{\cos \left( {14,108^\circ } \right)}}} \right) = 20,57^\circ$

Damit folgt:

Ritzel: ${d_b}_1 = 52,129mm$

Rad: ${d_b}_2 = 197,037mm$

Der Null-Achsabstand ist der Mittelwert der beiden Teilkreisdurchmesser:

${a_d} = \frac{{{d_1}+{d_2}}}{2} = \frac{{55,679mm+207,251mm}}{2} = 131,465mm$

28.2.2 – Profilverschiebungsfaktoren und Kopfkreisdurchmesser

Wir wollen die Profilverschiebungsfaktoren für das Ritzel und für das Rad bestimmen. Dazu bestimmen wir zuerst die Summe der Faktoren, dann mit einem Diagramm den Faktor für das Ritzel. Der Rest ist der Faktor für das Rad.

Dazu betrachten wir folgendes Diagramm:

profilverschiebung-diagramm-langsam

Wir müssen den Mittelwert der Profilverschiebungsfaktoren und den Mittelwert der Zähnezahlen der Ersatzzahnräder bestimmen.

Summe der Profilverschiebungsfaktoren:

${x_1}+{x_2} = \left( {inv\left( {{\alpha _w}_t} \right)-inv\left( {{\alpha _t}} \right)} \right) \cdot \frac{{{z_1}+{z_2}}}{{2\tan \left( {{a_n}} \right)}}$

$inv$ steht für die Evolventenfunktion, siehe unten. Hier müssen die echten Zähnezahlen benutzt werden und nicht die der Ersatzzahnräder.

Wir bestimmen zunächst den Betriebseingriffswinkel:

${\alpha _w}_t = \arccos \left( {\frac{{{m_t} \cdot \left( {{z_1}+{z_2}} \right)}}{{2a}}\cos \left( {{\alpha _t}} \right)} \right)$

Mit

${m_t} = \frac{{{m_n}}}{{\cos \left( \beta \right)}} = \frac{{3mm}}{{\cos \left( {14,108^\circ } \right)}} = 3,093mm$

erhalten wir:

${\alpha _w}_t = \arccos \left( {\frac{{{m_t} \cdot \left( {{z_1}+{z_2}} \right)}}{{2a}}\cos \left( {{\alpha _t}} \right)} \right)$

$=\arccos \left( {\frac{{3,093mm \cdot \left( {18+67} \right)}}{{2 \cdot 133,5mm}}\cos \left( {20,57^\circ } \right)} \right) = 22,797^\circ$

Evolventenfunktion

Allgemein gilt:

$inv\left( \alpha \right) = \tan \left( \alpha \right)-\hat \alpha = \tan \left( \alpha \right)-\frac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}$

hier:

$inv\left( {{\alpha _w}_t} \right) = \tan \left( {{\alpha _w}_t} \right)-\frac{{\pi \cdot {\alpha _w}_t}}{{180}} = 0,0224$

$inv\left( {{\alpha _t}} \right) = \tan \left( {{\alpha _t}} \right)-\frac{{\pi \cdot {\alpha _t}}}{{180}} = 0,0163$

damit erhalten wir schließlich die Summe der Profilverschiebungsfaktoren:

${x_1}+{x_2} = \left( {inv\left( {{\alpha _w}_t} \right)-inv\left( {{\alpha _t}} \right)} \right) \cdot \frac{{{z_1}+{z_2}}}{{2\tan \left( {{a_n}} \right)}}$

$=\frac{{\left( {0,0224-0,0163} \right) \cdot \left( {18+67} \right)}}{{2 \cdot \tan \left( {20^\circ } \right)}} = 0,712$

Mittlerer Profilverschiebungsfaktor:

${x_m} = \frac{{{x_1}+{x_2}}}{2} = \frac{{0,712}}{2} = 0,356$

Zähnezahlsumme der Ersatzzahnräder:

${z_{n1}}+{z_{n2}} = 19,6+72,9 = 92,5$

Mittlere Zähnezahl:

${z_{nm}} = \frac{{{z_{n1}}+{z_{n2}}}}{2} = \frac{{19,6+72,9}}{2} = 46,3$

Wir können nun im oben gezeigten Diagramm den Profilverschiebungsfaktor für das Ritzel bestimmen. Dazu zeichnen wir zunächst die mittlere Ersatzzähnezahl und den mittleren Profilverschiebungsfaktor ein (blau). Außerdem zeichnen wir die Ersatzzähnezahl des Ritzels und die des Rades ein (grün):

profilverschiebung-diagramm-nutzung

Nun zeichnen wir eine Gerade von der linken zur rechten grünen Linie, die durch den Schnittpunkt der blauen Linien geht. Die Steigung wählen wir dabei so, dass sie die der darüber liegenden und der darunter liegenden schrägen schwarzen Linie interpoliert (orange):

profilverschiebung-diagramm-nutzung

Jetzt müssen wir nur noch vom Schnittpunkt der orangen Linie mit der linken grünen Linie waagerecht nach links gehen und können dort den Wert für den Profilverschiebungsfaktor des Ritzels ablesen. Es folgt:

${x_1}\left( {{z_{n1}} = 19,6} \right) = 0,4$

${x_2} = \left( {{x_1}+{x_2}} \right)-{x_1} = 0,312$

Die tatsächliche Profilverschiebung ergibt sich als das Produkt aus Profilverschiebungsfaktor und Modul:

für das Ritzel : ${V_1} = {x_1}{m_n} = 1,2mm$

für das Rad: ${V_2} = {x_2}{m_n} = 0,936mm$

Wir berechnen nun den Kopfkreisdurchmesser mit Kopfhöhenänderung:

${d_a} = d+2\left( {{m_n}+V+K} \right)$

Kopfhöhenänderungsfaktor:

$K = k \cdot m_n = a-{a_d}-{m_n}\left( {{x_1}+{x_2}} \right)$

Dabei ist $a$ der Achsabstand und ${a_d}$ der Nullachsabstand. Es ergibt sich:

$K = a-{a_d}-{m_n}\left( {{x_1}+{x_2}} \right) = 133,5mm-131,465mm-3mm \cdot 0,712 = -0,101mm$

Damit folgt für die Kopfkreisdurchmesser:

${d_{a1}} = {d_1}+2\left( {{m_n}+{V_1}+k} \right)$

${d_{a1}} = 55,679mm+2 \cdot \left( {3mm+1,2mm-0,101mm} \right) = 63,877mm$

${d_{a2}} = {d_2}+2\left( {{m_n}+{V_2}+k} \right)$

$=207,251mm+2 \cdot \left( {3mm+0,936mm-0,101mm} \right) = 214,921mm$

Diese Formel gilt nur, wenn die Kopfhöhenänderung ungefähr dem Modul entspricht. Davon können wir aber im Rahmen der Vorlesung und Seminarübung immer ausgehen. Wenn wir mit Profilverschiebung rechnen, ändert sich der Kopfkreis. Teil- und Grundkreis ändern sich nicht, es kommt nur noch der Wälzkreis dazu. Wälzkreis und Teilkreis haben unterschiedliche Durchmesser, nur bei Nullverzahnung fallen sie zusammen.

28.2.3 – Verzahnungsbreite

Annahmen:

Stahlkonstruktion
Symmetrische Lagerung
nitriert
DIN IT8

Es müssen zwei Bedingungen erfüllt werden.

1. Durchmesser-Breitenverhältnis:

${\psi _d} = \frac{{b_1^\prime }}{{{d_1}}} \leq 0,8$

2. Breiten-Modulverhältnis:

${\psi _m} = \frac{{b_1^{\prime \prime }}}{{{m_n}}} = 15 \ldots 25$

Die erste Bedingung ergibt:

$b_1^\prime \leq 44,5mm$

Die zweite Bedingung ergibt:

$b_1^{\prime \prime } = 45mm \ldots 75mm$

Die beiden Bedingungen lassen sich nicht gleichzeitig erfüllen. In so einer Situation benutzt man immer den kleineren Wert, daher wählen wir:

${b_1} = 44mm$

28.2.4 – Profil- und Sprungüberdeckung

Die Formel für die Profilüberdeckung lautet:

${\varepsilon _\alpha } = \frac{1}{{{p_{et}}}} \cdot \left( {\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a1}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b1}}}}{2}} \right)}^2}} +\frac{{{z_2}}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a2}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b2}}}}{2}} \right)}^2}} -a \cdot \sin \left( {{\alpha _{wt}}} \right)} \right)$

Die Werte haben wir fast alle schon in früheren Aufgabenteilen berechnet:

${m_t} = 3,093mm$ (Modul im Stirnschnitt, 28.2.2)

${p_{et}} = {m_t} \cdot \pi \cdot \cos \left( {{\alpha _t}} \right) = 9,097$

${\alpha _{wt}} = 22,797^\circ$ (Betriebseingriffswinkel, 28.2.2)

${\alpha _t} = 20,57^\circ$ (Stirneingriffswinkel, 28.2.1)

${d_{a1}} = 63,877mm$
${d_{a2}} = 214,921mm$

(Kopfkreisdurchmesser, 28.2.2)

${d_b}_1 = 52,129mm$
${d_b}_2 = 197,037mm$

(Fußkreisdurchmesser, 28.2.1)

$a = 133,5mm$ (geforderter Achsabstand, Aufgabenstellung)

Es ergibt sich:

${\varepsilon _\alpha } = \frac{1}{{{p_{et}}}}\left( {\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a1}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b1}}}}{2}} \right)}^2}} +\frac{{{z_2}}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a2}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b2}}}}{2}} \right)}^2}} -a\sin \left( {{\alpha _{wt}}} \right)} \right)$

$= 1,42$

Sprungüberdeckung:

${\varepsilon _\beta } = \frac{{{b_w}\sin \left( {\left| \beta \right|} \right)}}{{{m_n}\pi }} = \frac{{44mm \cdot \sin \left( {14,108^\circ } \right)}}{{3mm \cdot \pi }} = 1,138$

${b_w}$ : gemeinsame Breite (Überdeckung) der Zahnräder, ist die berechnete Breite.

${m_n}$ : Normalmodul (gegeben)

28.3.1 – An- und Abtriebsmoment und Zahnkräfte

Für das Antriebsmoment des Ritzels gilt (da die Drehzahl in min^-1 angegeben ist):

${M_{an}} = \frac{{P \cdot 30}}{{\pi \cdot {n_1}}} = \frac{{20 \cdot {{10}^3}\frac{{Nm}}{s} \cdot 30}}{{\pi \cdot 750\frac{1}{s}}} = 255Nm$

Wir gehen dabei von einem Wirkungsgrad von 1 des Getriebes aus. Daher ist das Abtriebsmoment:

${M_{ab}} = i \cdot {M_{an}} = 949Nm$

Da wir mit WK 1 rechnen, müssen auch hier wieder die Kräfte an beiden Zahnrädern gleich sein. Es reicht daher, sie für ein Zahnrad zu berechnen.

Umfangskraft:

${F_{t,1}} = \frac{M}{r} = \frac{{2{M_{an}}}}{{{d_{w,1}}}}$

${d_w}$ : Wälzkreisdurchmesser (bei Profilverschiebung ist das da, wo die Kraft angreift)

Für das Ritzel:

${d_{w1}} = \frac{{2a}}{{\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}+1}} = 56,568mm$

Für das Rad:

${d_{w2}} = 2a-{d_{w1}} = 210,432mm$

Daraus folgt:

${F_{t,1}} = \frac{M}{r} = \frac{{2{M_{an}}}}{{{d_{w,1}}}} = \frac{{2 \cdot 255 \cdot {{10}^3}Nmm}}{{56,568mm}} = 9015N$

Für die Radialkraft benutzen wir eine Näherungsformel aus dem Skript:

${F_{r1}} \approx {F_{t1}}\frac{{\tan \left( {{\alpha _n}} \right)}}{{\cos \left( \beta \right)}} = 9015N \cdot \frac{{\tan \left( {20^\circ } \right)}}{{\cos \left( {14,108^\circ } \right)}} = 3383N$

Axialkraft:

${F_{a1}} \approx {F_{t1}}\tan \left( \beta \right) = 2266N$

28.3.2 – Zahnfußspannung und Flankenpressung

Formel für die Zahnfußspannung:

${\sigma _{F0}} = \frac{{{F_t}}}{{b \cdot m}} \cdot {Y_{FS}} \cdot {Y_\varepsilon } \cdot {Y_\beta }$

Die drei y-Faktoren sind dabei Kopffaktor, Überdeckungsfaktor und Schrägungsfaktor.

Wir betrachten das folgende Diagramm (Kopffaktor für Außenverzahnung nach DIN 3990)

kopffaktor-yfs

Um einen Wert abzulesen, brauchen wir die die Zähnezahl $z$ und den Profilverschiebungsfaktor $x$ :

${z_1} = 18$

${z_2} = 67$

${x_1}\left( {{z_{n1}} = 19,6} \right) = 0,4$

${x_2} = \left( {{x_1}+{x_2}} \right)-{x_1} = 0,312$

Kopffaktor für das Ritzel: ${y_{FS1}} = 4,19$

Kopffaktor für das Rad: ${y_{FS2}} = 4,17$

Profilüberdeckung im Normalschnitt (Formel aus [RM]):

${\varepsilon _{\alpha n}} = \frac{{{\varepsilon _\alpha }}}{{{{\cos }^2}\left( {{\beta _b}} \right)}} = 1,5$

Überdeckungsfaktor:

${Y_\varepsilon } = 0,25+\frac{{0,75}}{{{\varepsilon _{\alpha n}}}} = 0,75$

Schrägungsfaktor:

${Y_\beta } = 1-{\varepsilon _\beta }\frac{\beta }{{120^\circ }}$

Die Werte werden dabei in die Grenzen beschränkt:

${\varepsilon _\beta } > 1\quad \Rightarrow \quad {\varepsilon _b} \equiv 1$

$\beta > 30^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta \equiv 30^\circ$

${Y_\beta } = 1-{\varepsilon _\beta }\frac{\beta }{{120^\circ }} = 1-1 \cdot \frac{{14,108^\circ }}{{120^\circ }} = 0,88$

Wir können nun alles einsetzen und die Zahnfußspannungen bestimmen:

${\sigma _{F01}} = \frac{{{F_{t1}}}}{{b \cdot m}} \cdot {Y_{FS1}} \cdot {Y_\varepsilon } \cdot {Y_\beta } = \frac{{9015N}}{{44mm \cdot 3mm}} \cdot 4,19 \cdot 0,75 \cdot 0,88 = 189\frac{N}{{m{m^2}}}$

${\sigma _{F02}} = \frac{{{F_{t2}}}}{{b \cdot m}} \cdot {Y_{FS2}} \cdot {Y_\varepsilon } \cdot {Y_\beta } = \frac{{9015N}}{{44mm \cdot 3mm}} \cdot 4,17 \cdot 0,75 \cdot 0,88 = 188\frac{N}{{m{m^2}}}$

Die Zahnfußspannungen sind hier ungefähr gleich, da die Kopffaktoren auch nur kleine Unterschiede haben.

Überhöhte Zahnfußspannung:

${\sigma _F} = {\sigma _{F0}} \cdot {K_{Fges}} = {\sigma _{F0}} \cdot {K_A} \cdot {K_V} \cdot {K_{F\alpha }} \cdot {K_{F\beta }}$

Anwendungsfaktor:

${K_A} = 1,5$ (Aufgabenstellung)

Dynamikfaktor:

${K_V} = 1+\left( {\frac{{{K_1}}}{{{K_A} \cdot \frac{{{F_t}}}{b}}} \cdot {K_2}} \right) \cdot {K_3}$

Für die beiden Hilfswerte betrachten wir folgende Tabelle:

hilfsfaktoren-k1-k2

Bei einer Schrägverzahnung der Verzahnungsqualität DIN IT8 erhalten wir:

${K_1} = 21,8$

${K_2} = 0,0087$

Der dritte Hilfswert:

${K_3} = \frac{{{z_1} \cdot v}}{{100}}\sqrt {\frac{{{u^2}}}{{1+{u^2}}}}$

Die Umfangsgeschwindigkeit ist dabei:

$v = \pi \cdot {d_{w1}} \cdot {n_1} = 2,2\frac{m}{s}$

Daraus folgt:

${K_3} = \frac{{{z_1} \cdot v}}{{100}}\sqrt {\frac{{{u^2}}}{{1+{u^2}}}} = \frac{{18 \cdot 2,2\frac{m}{s}}}{{100}}\sqrt {\frac{{{{3,72}^2}}}{{1+{{3,72}^2}}}} = 0,38$

Linienbelastung:

${K_A} \cdot \frac{{{F_{t1}}}}{b} = \frac{{1,5 \cdot 9015N}}{{44mm}} = 307\frac{N}{{m{m^2}}}$

Damit folgt für den Dynamikfaktor:

${K_V} = 1+\left( {\frac{{{K_1}}}{{{K_A} \cdot \frac{{{F_t}}}{b}}} \cdot {K_2}} \right) \cdot {K_3} = 1,03$

Wir betrachten nun die folgende Tabelle:

stirnfaktor-kha-kfa

Stirnfaktor:

${K_{F\alpha }} = 1,2$

Der Breitenfaktor ist wie immer ${K_{F\beta }} = 1$ .

${K_{Fges}} = {K_A}{K_V}{K_{F\alpha }}{K_{f\beta }} = 1,85$

Daraus ergeben sich die Zahnfußspannungen:

${\sigma _{F1}} = 350\frac{N}{{m{m^2}}}$

${\sigma _{F2}} = 348\frac{N}{{m{m^2}}}$

Nominelle Flankenpressung:

${\sigma _{H0}} = \sqrt {\frac{{{F_t}}}{{b \cdot d}} \cdot \frac{{u+1}}{u}} \cdot {Z_H}{Z_E}{Z_\varepsilon }{Z_\beta }$

u ist das Zähnezahlverhältnis (große Zähnezahl durch die kleine Zähnezahl). i ist das Übersetzungsverhältnis (Abtrieb durch Antrieb).

Zonenfaktor:

Wir betrachten folgendes Diagramm:

zonenfaktor-zh

Mit

$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{z_1}+{z_2}}} = \frac{{0,712}}{{18+67}} = 0,0084$

und dem gegebenen Schrägungswinkel $\beta = 14,108^\circ$ erhalten wir:

${Z_H} = 2,3$

Elastizitätsfaktor:

Wir betrachten folgende Tabelle:

elastizitatsfaktor-ze

Bei Stahl ergibt sich:

${Z_E} = 189,9\sqrt {\frac{N}{{m{m^2}}}}$

Überdeckungsfaktor:

Wir betrachten folgendes Diagramm:

profiluberdeckungsfaktor-ze

${\varepsilon _\beta } = 1,44 > 1$

${\varepsilon _\alpha } = 1,42$

Daraus ergibt sich (siehe gestrichelte Linie):

${Z_\varepsilon } = 0,84$

Schrägungsfaktor:

${Z_\beta } = \sqrt {\cos \left( \beta \right)} = 0,98$

Damit ergibt sich für die nominelle Flankenpressung:

${\sigma _{H0}} = \sqrt {\frac{{{F_t}}}{{b \cdot d}} \cdot \frac{{u+1}}{u}} \cdot {Z_H}{Z_E}{Z_\varepsilon }{Z_\beta } = 776\frac{N}{{m{m^2}}}$

Überhöhte Flankenpressung:

${\sigma _H} = {\sigma _{H0}}{K_{Hges}}$

Mit dem gesamten Faktor:

${K_{Hges}} = \sqrt {{K_A}{K_V}{K_{H\alpha }}{K_{H\beta }}}$

Die ersten beiden Faktoren haben wir bereits bestimmt.

Für den Stirnfaktor ergibt sich aus der Tabelle oben: ${K_{H\alpha }} = 1,2$

Der Breitenfaktor ist auch hier ${K_{H\beta }} = 1,0$ .

Damit ergibt sich für den Gesamtfaktor:

${K_{Hges}} = \sqrt {{K_A}{K_V}{K_{H\alpha }}{K_{H\beta }}} = 1,36$

Die überhöhte Flankenpressung ist dann:

${\sigma _H} = {\sigma _{H0}}{K_{Hges}} = 1055\frac{N}{{m{m^2}}}$

28.3.3 – Auswahl der Werkstoffe

Mindestsicherheit gegen Zahnbruch ist laut [RM]:

${S_{F,\min 1}} = {S_{F,\min 2}} = 1,5$

Erforderliche zulässige Zahnfußspannung:

$\sigma _{F,zul,1}^\prime = {S_{F\min 1}} \cdot {\sigma _{F1}} = 525\frac{N}{{m{m^2}}}$

$\sigma _{F,zul,2}^\prime = {S_{F\min 2}} \cdot {\sigma _{F2}} = 522\frac{N}{{m{m^2}}}$

Mindestsicherheit gegen Grübchenbildung ist laut [RM]:

${S_{H,\min }} = 1,1$

Erforderliche zulässige Flächenpressung:

$p_{zul}^\prime = {S_{H\min }} \cdot {\sigma _H} = 1160\frac{N}{{m{m^2}}}$

Wir müssen gehärtete nitrierte Werkstoffe wählen. Wir betrachten die folgende Tabelle:

ertragbare-spannunge-herzsche-pressung

Für die zulässige Flächenpressung von 1160 gibt es oben in der Tabelle passende Werkstoffe. Diese sind allerdings nicht nitriert. Weiter unten finden wir (Nummer 23) den nitrierten Einsatzstahl 31CrMoV9. Diesen wählen wir.

Der gewählte Werkstoff hat die zulässige Zahnfußbiegespannung

${\sigma _{b,zul}} = 840\frac{N}{{m{m^2}}}$

und die zulässige Flächenpressung (Hertzsche Pressung)

${p_{C,zul}} = 1230\frac{N}{{m{m^2}}}$

1 Kommentar zu “28 – Schrägverzahnte profilverschobene Getriebestufe”

20. 03. 10 at 2:03 pm

Update: Formel Kopfkreisdurchmesser und Kopfhöhenänderungsfaktor korrigiert.

Mathematical Engineering