3.4 – Schubweicher Balken (Timoshenko)

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Wiki: „Im engeren Sinne versteht man unter einem Balken einen Euler-Bernoulli-Balken. Dabei gilt die Hypothese: Querschnitte, die ursprünglich rechtwinklig zur Nulllinie sind, bleiben bei der Verformung eben. Bei reiner Biegung (M = const) bleiben die Querschnitte außerdem auch senkrecht auf der Nulllinie, weil die Biegelinie dann ein Kreis ist und die Querschnittsebene mit dem Kreisradius zusammenfällt. In allen anderen Fällen ist die Querschnittsebene um den Schubwinkel gedreht. Dies wird z. B. durch eine allgemeinere und kompliziertere Balkentheorie zu erfassen versucht, nämlich die Theorie der Timoshenko-Balken. Diese berücksichtigt die Schubverformung der Querschnittsebene.“

3.4.1 – Grundlagen

3.4.1.1 – Ableitung der Kinematik

timoshenko-balken-schubweich-querschnittsebene

Annahmen

  • keine Querdehnungen, d.h. {y^0} = y
  • kleine Drehungen \left| {\psi \left( x \right)} \right| \ll 1

\Rightarrow \quad \sin \psi \approx \psi \quad ,\quad \cos \psi \approx 1

Zusammenhang zwischen den Verschiebungskomponenten:

\boxed{u_p}\left( {x,y,t} \right) = u\left( {x,t} \right)-y\psi \left( {x,t} \right)\;

{v_p}\left( {x,y,t} \right) = v\left( {x,t} \right)

Wichtiger Unterschied zu Euler – Bernoulli: \psi \ne {v^\prime }!

Für die Verzerrungen ergibt sich aus {\varepsilon _{jk}} = \frac{1}{2}\left( {{\partial _j}{u_k}+{\partial _k}{u_j}} \right):

{\varepsilon _{xx}} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial x}} = {u^\prime }-y{\psi ^\prime }\quad ,\quad {\gamma _{xy}} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {u_p}}}{{\partial x}} = {v^\prime }-\psi

{\varepsilon _{yy}} = \frac{{\partial {u_p}}}{{\partial y}} = 0

3.4.1.2 – Materialgleichungen

Es gilt:

{\sigma _{xx}} = E{\varepsilon _{xx}} = E\left( {{u^\prime }-y{\psi ^\prime }} \right)

{\sigma _{xy}} = G{\gamma _{xy}} = G\left( {{v^\prime }-\psi } \right)

Daraus folgt für die Schnittlasten:

N = \int\limits_A {{\sigma _{xx}}dA} = E\int\limits_A {\left( {{u^\prime }-y{\psi ^\prime }} \right)dA} = EA{u^\prime }-E\underbrace {\int\limits_A {ydA} }_{ = 0}{\psi ^\prime } = EA{u^\prime }

{M_z} = -\int\limits_A {{\sigma _{xx}}ydA} = -E\int\limits_A {\left( {{u^\prime }-y{\psi ^\prime }} \right)ydA} = E\int\limits_A {{y^2}dA} {\psi ^\prime } = E{I_z}{\psi ^\prime }

{Q_y} = \int\limits_A {{\sigma _{xy}}dA} = G\int\limits_A {\left( {{v^\prime }-\psi } \right)dA} = GA\left( {{v^\prime }-\psi } \right)

Aufgrund der angenommenen Kinematik ergibt sich eine über einem Querschnitt \left( {x = konst.} \right) konstante Schubspannung. Da dies nicht mit dem tatsächlichen Schubfluss in Balkenquerschnitten übereinstimmt, wird der Korrekturfaktor \kappa eingeführt:

{Q_y} = \kappa GA\left( {{v^\prime }-\psi } \right)

3.4.1.3 – Gleichgewicht

timoshenko-balken-krafte-gleichgewicht-materialgleichung

\Rightarrow \quad \boxed{\frac{{d{Q_y}}}{{dx}}+{q_y} = 0\quad ,\quad \frac{{d{M_z}}}{{dx}}+{Q_y}+{m_z} = 0}

Mit den Materialgleichungen für die Schnittlasten folgt:

\kappa GA\left( {{v^{\prime \prime }}-{\psi ^\prime }} \right)+{q_y} = 0

E{I_z}{\psi ^{\prime \prime }}+\kappa GA\left( {{v^\prime }-\psi } \right)+{m_z} = 0

Entkopplung führt auf die Differentialgleichungen:

\boxed E{I_z}{v^{\prime \prime \prime \prime }} = {q_y}-\frac{{E{I_z}}}{{\kappa GA}}q_y^{\prime \prime }-m_z^\prime

E{I_z}{\psi ^{\prime \prime \prime }} = {q_y}-m_z^\prime

3.4.2 – Prinzip von d’Alembert in der Lagrange’schen Fassung

Unter Berücksichtigung der gewählten Kinematik ergibt sich:

\delta {W_\sigma } = \int\limits_V {{\sigma _{jk}}\delta {\varepsilon _{jk}}dV} = \int\limits_V {{\sigma _{xx}}\delta {\varepsilon _{xx}}dV}+\int\limits_V {{\sigma _{xy}}\delta {\gamma _{xy}}dV}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = \int\limits_V {{\sigma _{xx}}\left( {\delta {u^\prime }-y\delta {\psi ^\prime }} \right)dV} +\int\limits_V {{\sigma _{xy}}\left( {\delta {v^\prime }-\delta \psi } \right)dV}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {\underbrace {\int\limits_A {{\sigma _{xx}}dA} }_{ = N}\delta {u^\prime }dx} -\int\limits_0^L {\underbrace {\int\limits_A {{\sigma _{xx}}ydA} }_{ = -{M_z}}d{\psi ^\prime }dx} +

+\int\limits_0^L {\underbrace {\int\limits_A {{\sigma _{xy}}dA} }_{ = {Q_y}}\left( {\delta {v^\prime }-\delta \psi } \right)dx}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {N\delta {u^\prime }dx} -\int\limits_0^L {{M_z}d{\psi ^\prime }dx} +\int\limits_0^L {{Q_y}\left( {\delta {v^\prime }-\delta \psi } \right)dx} }}

\delta {W_T} = -\int\limits_V {\rho {{\ddot u}_j}\delta {u_j}dV} = -\int\limits_V {\rho \left( {{{\ddot u}_p}\delta {u_p}+{{\ddot v}_p}\delta {v_p}} \right)dV}

\Rightarrow \quad \delta {W_T} = -\int\limits_V {\rho \left[ {\left( {\ddot u-y\ddot \psi } \right)\left( {\delta u-y\delta \psi } \right)+\ddot v\delta v} \right]dV}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\delta {W_T} = -\int\limits_0^L {\rho A\left( {\ddot u\delta u+\ddot v\delta v} \right)dx} -\int\limits_0^L {\rho {I_Z}\ddot \psi \delta \psi dx} }}

\underline{\underline {\delta {W_a} = F_1^x\delta {u_1}+F_1^y\delta {v_1}+{M_1}\delta \;{\psi _1}+F_2^x\delta {u_2}+F_2^y\delta {v_2}+{M_2}\delta \;{\psi _2}+\int\limits_0^L {\left( {{q_x}\delta u+{q_y}\delta v+{m_z}\delta \psi } \right)dx} }}

Analog zu 3.3:

  • horizontale Richtung über Stabtheorie
  • keine Momentenstreckenlast \left( {{m_z} = 0} \right)
  • Vernachlässigung rotatorischer Trägheiten

Damit folgt:

\int\limits_0^L {{M_z}\delta {\psi ^\prime }dx} +\int\limits_0^L {{Q_y}\left( {\delta {v^\prime }-\delta \psi } \right)dx} =

=F_1^y\delta {v_1}+F_2^y\delta {v_2}+{M_1}\delta {\psi _1}+{M_2}\delta {\psi _2}+\int\limits_0^L {{q_y}\delta vdx} -\int\limits_0^L {\rho A\ddot v\delta vdx}

3.4.3 – Finite-Elemente-Formulierung

Matrizenformulierung für Verschiebungs- und Verzerrungsfeld

{\left\{ u \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} v&\psi \end{array}} \right\}\quad ,\quad {\left\{ \varepsilon \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} \beta &\gamma \end{array}} \right\}

Aus der Kinematik:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ \gamma \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{\partial }{{\partial x}}} \\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{-1} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \psi \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}}} \\ {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}-\psi } \end{array}} \right\}

bzw.

\left\{ \varepsilon \right\} = \left[ D \right]\left\{ u \right\}

Matrizenformulierung für die Schnittlasten

{\left\{ b \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{M_z}}&{{Q_y}} \end{array}} \right\}

Aus den Materialgleichungen:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{M_z}} \\ {{Q_y}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{E{I_z}}&0 \\ 0&{\kappa GA} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ \gamma \end{array}} \right\} = \left[ E \right]\left\{ \varepsilon \right\}

Es folgt für die virtuellen Arbeiten:

\delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {{M_z}d{\psi ^\prime }dx} +\int\limits_0^L {{Q_y}\left( {\delta {v^\prime }-\delta \psi } \right)dx} = \int\limits_0^L {{{\left\{{\delta \varepsilon } \right\}}^T}\left\{ \sigma \right\}dx}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = \int\limits_0^L {{{\left\{{\delta \varepsilon } \right\}}^T}\left[ E \right]\left\{ \varepsilon \right\}dx}

\delta {W_T} = -\int\limits_0^L {\rho A\ddot v\delta vdx} = -\int\limits_0^L {{{\left\{{\delta u} \right\}}^T}\left[ I \right]\left\{{\ddot u} \right\}dx}

mit

\left[ I \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\rho A}&0 \\ 0&{\rho {I_z}} \end{array}} \right]

\delta {W_a} = {\left\{{\delta u} \right\}^T}\left\{{\hat \sigma } \right\}+\int\limits_0^L {{{\left\{{\delta u} \right\}}^T}\left\{ t \right\}dx}

mit

{\left\{{\hat \sigma } \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_1^y}&{{M_1}}&{F_2^y}&{{M_2}} \end{array}} \right\}

und

{\left\{ t \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{q_y}}&{{m_z}} \end{array}} \right\}

Wahl eines Verschiebungsansatzes

Da in der virtuellen Arbeit nur erste Ableitungen des Verschiebungsfeldes vorkommen \Rightarrow {C^0}-Steifigkeit

Der einfachste Verschiebungsansatz ist daher:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \psi \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_1}}&0&{{h_2}}&0 \\ 0&{{h_1}}&0&{{h_2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}} \\ {{\Theta _1}} \\ {{v_2}} \\ {{\Theta _2}} \end{array}} \right\}

bzw.

\left\{ u \right\} = \left[ H \right]\left\{{\hat u} \right\}

mit den beiden Formfunktionen {h_1} = 1-\frac{x}{L} und {h_2} = \frac{x}{L}

Damit folgt für die Verzerrungen im Element

\left\{ \varepsilon \right\} = \left[ D \right]\left\{ u \right\} = \left[ D \right]\left[ H \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left[ B \right]\left\{{\hat u} \right\}

mit

\left[ B \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial x}}}&0&{\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial x}}} \\ {\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial x}}}&{-{h_1}}&{\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial x}}}&{-{h_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{-\frac{1}{L}}&0&{\frac{1}{L}} \\ {-\frac{1}{L}}&{\left( {\frac{x}{L}-1} \right)}&{\frac{1}{L}}&{-\frac{x}{L}} \end{array}} \right]

Elementsteifigkeitsmatrizen

\delta {W_\sigma } = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\underbrace {\int\limits_0^L {{{\left[ B \right]}^T}\left[ E \right]\left[ B \right]\:dx} }_{ = \left[ k \right]}\left\{{\hat u} \right\}

\left[ k \right] = \left[ {{k_B}} \right]+\left[ {{k_s}} \right]

mit

\left[ {{k_B}} \right] = \int\limits_0^L {{{\left[ B \right]}^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{E{I_z}}&0 \\ 0&0 \end{array}} \right]\left[ B \right]dx}

\Rightarrow \quad \left[ {{k_B}} \right] = \frac{{E{I_z}}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ 0&1&0&{-1} \\ 0&0&0&0 \\ 0&{-1}&0&1 \end{array}} \right]

und

\left[ {{k_s}} \right] = \int\limits_0^L {{{\left[ B \right]}^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&{\kappa GA} \end{array}} \right]\left[ B \right]dx}

\left[ {{k_s}} \right] = \frac{{\kappa GA}}{{6L}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6L}&{3L}&{-6}&{3L} \\ {3L}&{2{L^2}}&{-3L}&{{L^2}} \\ {-6}&{-3L}&6&{-3L} \\ {3L}&{{L^2}}&{-3L}&{2{L^2}} \end{array}} \right]

Insgesamt folgt daraus mit \alpha = \frac{{\kappa GA}}{{E{I_z}}}

\left[ k \right] = \frac{{E{I_z}}}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &{\alpha \frac{L}{2}}&{-\alpha }&{\alpha \frac{L}{2}} \\ {\alpha \frac{L}{2}}&{1+\frac{\alpha }{3}{L^2}}&{-\frac{\alpha }{2}L}&{\frac{\alpha }{6}{L^2}-1} \\ {-\alpha }&{-\frac{\alpha }{2}L}&\alpha &{-\frac{\alpha }{2}L} \\ {\alpha \frac{L}{2}}&{\frac{\alpha }{6}{L^2}-1}&{-\frac{\alpha }{2}L}&{1+\frac{\alpha }{3}{L^2}} \end{array}} \right]

Elementmassenmatrix

\left[ m \right] = \int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\left[ I \right]\left[ H \right]dx} = \frac{{\rho AL}}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&1&0 \\ 0&{2\frac{{{I_z}}}{A}}&0&{\frac{{{I_z}}}{A}} \\ 1&0&2&0 \\ 0&{\frac{{{I_z}}}{A}}&0&{2\frac{{{I_z}}}{A}} \end{array}} \right]

Spaltenmatrix der Streckenlast

\left\{{{r_s}} \right\} = \int\limits_0^L {{{\left[ H \right]}^T}\left\{ t \right\}dx} = \int\limits_0^L {\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{h_1}{q_y}}&{{h_1}{m_z}}&{{h_2}{q_y}}&{{h_2}{m_z}} \end{array}} \right\}dx}

Lineare Approximation der Streckenlast:

{q_y}\left( x \right) = \left( {1-\frac{x}{L}} \right){q_1}+\frac{x}{L}{q_2}\quad ,\quad {m_z}\left( x \right) = \left( {1-\frac{x}{L}} \right){m_1}+\frac{x}{L}{m_2}

Nach Integration ergibt sich

{\left\{{{r_s}} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\frac{1}{3}{q_1}+\frac{1}{6}{q_2}} \right)}&{\left( {\frac{1}{3}{m_1}+\frac{1}{6}{m_2}} \right)}&{\left( {\frac{1}{6}{q_1}+\frac{1}{3}{q_2}} \right)}&{\left( {\frac{1}{6}{m_1}+\frac{1}{3}{m_2}} \right)} \end{array}} \right\}