8.2 – Schwache Form, Prinzip der virtuellen Temperaturen

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Multiplikation der letzten Gleichung aus 8.1 mit dem virtuellem Temperaturfeld und anschließende Integration über das Gebiet ergibt:

\int\limits_V {\rho {c_V}\dot \theta \delta \theta dV} = \lambda \int\limits_V {\left( {\operatorname{div} \operatorname{grad} \theta } \right)\delta \theta dV} +\int\limits_V {\rho r\delta \theta dV}

Das virtuelle Temperaturfeld \delta \theta muss mit den geometrischen Randbedingungen kompatibel sein.

Nebenrechnung:

\operatorname{div} \left( {\vec q\delta \theta } \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{q_i}\delta \theta } \right) = \frac{{\partial {q_i}}}{{\partial {x_i}}}\delta \theta +{q_i}\frac{{\partial \delta \theta }}{{\partial {x_i}}} = \left( {\operatorname{div} \vec q} \right)\delta \theta +\vec q\operatorname{grad} \delta \theta

Es folgt:

\Rightarrow \quad \left( {\operatorname{div} \vec q} \right)\delta \theta = \operatorname{div} \left( {\vec q\delta \theta } \right)-\vec q\operatorname{grad} \delta \theta = \operatorname{div} \left( {\left( {\operatorname{grad} \theta } \right)\delta \theta } \right)-\operatorname{grad} \theta \cdot \operatorname{grad} \delta \theta

\Rightarrow \quad \int\limits_V {\rho {c_V}\dot \theta \delta \theta dV} = -\lambda \int\limits_V {\left( {\operatorname{grad} \theta } \right) \cdot \left( {\operatorname{grad} \delta \theta } \right)dV}

+\int\limits_V {\rho r\delta \theta dV} +\lambda \int\limits_V {\operatorname{div} \left( {\left( {\operatorname{grad} \theta } \right)\delta \theta } \right)dV}

bzw. mit Gauß’schem Integralsatz:

\int\limits_V {\rho {c_V}\dot \theta \delta \theta dV} = -\int\limits_V {\left( {\lambda \operatorname{grad} \theta } \right) \cdot \operatorname{grad} \delta \theta dV} +\int\limits_V {\rho r\delta \theta dV} +\int\limits_A {\lambda \left( {\operatorname{grad} \theta } \right) \cdot \vec n\delta \theta dA}