U 07.1 – Schwarzer Strahler, Pyrometer

 

Betrachten Sie zwei schwarze Strahler mit den Temperaturen {T_1} = 27^\circ Cund {T_2} = 227^\circ C.

(Benutzen Sie dazu die folgende Abbildung)

mt2-u07-strahl-dichten-schwarzer-koerper

  1. Bei welcher Wellenlänge liegt jeweils das Maximum der Strahlungsdichte?
  2. Wie groß ist jeweils das Maximum der Strahlungsdichte?
  3. Welchen Anteil der Gesamtstrahlung können Sie mit einem Pyrometer mit einer Wellenlängenakzeptanz von 8-14\mu m detektieren?

Lösung

Allgemeines zur Planck-Formel:

Die Plank’sche Formel für die Strahlungsleistung lautet in der Frequenzdarstellung:

{P_{A,\nu ,\Omega }} = \int\limits_{A,\nu ,\Omega } {\frac{{2h{\nu ^3}}}{{{c^2}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{\hbar \omega }}{{{k_B}T}}} \right\}-1}}dAd\nu d\Omega }

Diese lässt sich auch wie folgt in die Wellenlängendarstellung umschreiben:

\omega = 2\pi \nu

\nu = \frac{c}{\lambda }\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\nu }}{{d\lambda }} = -\frac{c}{{{\lambda ^2}}}\quad \Rightarrow \quad d\nu = \left( - \right)\frac{c}{{{\lambda ^2}}}d\lambda

Hierbei können wir das Vorzeichen auch vernachlässigen, da für uns nur die Änderung von Bedeutung ist:

\Rightarrow \quad {P_{A,\nu ,\Omega }} = \int\limits_{A,\lambda ,\Omega } {\frac{{2h{c^3}}}{{{c^2}{\lambda ^3}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{2\pi \hbar c}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}-1}} \cdot \frac{c}{{{\lambda ^2}}}d\lambda dAd\Omega }

\Rightarrow \quad {P_{A,\nu ,\Omega }} = \int\limits_{A,\lambda ,\Omega } {\underbrace {\frac{{2h{c^2}}}{{{\lambda ^5}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}-1}}}_{{L_\lambda }}d\lambda dAd\Omega }

Die Einheit der Leistungsdichte bzw. spektralen spezifischen Ausstrahlung {L_\lambda } lautet \frac{W}{{{m^3}sr}}, wobei sr für Steradiant steht.

Wiensches Verschiebungsgesetz:

Nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz gilt für das Maximum der Strahlungsintensität stets:

{\lambda _{\max }}T = 2898\mu mK

mt2-u07-spektrale-verteilung-strahlungsenergie-schwarzer-korper

[Quelle: http://de.wikipedia.org]

Noch eine Vereinfachung:

\lambda T \ll \frac{{hc}}{K} = 14388\;\mu m \cdot K\quad \Rightarrow \quad \exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}-1 \to \exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}

a) Wellenlänge beim Maximum der Strahlungsdichte

Durch Ablesen erhalten wir:

T = 27^\circ C = 300K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} \approx 10\mu m

T = 227^\circ C = 500K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} \approx 6\mu m

Durch Rechnen mit dem Wienschen Strahlungsgesetz erhalten wir:

{\lambda _{\max }}T = 2898\mu mK\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} = \frac{{2898\mu mK}}{T}

T = 27^\circ C = 300K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} = 9,66\mu m

T = 227^\circ C = 500K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} = 5,8\mu m

b) Maximum der Strahlungsdichte

Das Maximum der Strahlungsdichte ermitteln wir mit Hilfe der spektralen spezifischen Ausstrahlung:

{L_{\lambda ,\max }} = \frac{{2h{c^2}}}{{\lambda _{\max }^5}}\frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}T \cdot {k_B}}}} \right\}}} = \frac{{2h{c^2}{T^5}}}{{{{\left( {2898\mu mK} \right)}^5}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{2898\mu m \cdot {k_B}}}} \right\}}}

\Rightarrow \quad {L_{\lambda ,\max }} = \underbrace {\frac{{2h{c^2}}}{{{{\left( {2898\mu mK} \right)}^5}}}}_b \cdot {T^5} \cdot \underbrace {\frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{2898\mu m \cdot {k_B}}}} \right\}}}}_{0,007} = b \cdot {T^5} \cdot 0,007

Mit b = 5,83 \cdot {10^{-4}}\frac{W}{{{m^3}sr\;{K^5}}} = 5,83 \cdot {10^{-14}}\frac{W}{{c{m^2}\mu m\;sr\;{K^5}}} ergibt sich:

{L_{\lambda ,\max ,300K}} = 9,91 \cdot {10^{-4}}\frac{W}{{c{m^2}\mu m\:sr}}

{L_{\lambda ,\max ,500K}} = 1,27 \cdot {10^{-2}}\frac{W}{{c{m^2}\mu m\:sr}}

c) Detektierbarer Anteil der Gesamtstrahlung

Ablesen vom Diagramm:

Für 300K: 38\%

Für 500K: 33\%

Berechnung mit Hilfe des Wienschen Strahlungsgesetzes:

Für 300K:

{\lambda _1} = 8\mu m = 0,83{\lambda _{\max }}

{\lambda _2} = 14\mu m = 1,45{\lambda _{\max }}

Für 500K:

{\lambda _1} = 8\mu m = 1,38{\lambda _{\max }}

{\lambda _2} = 14\mu m = 2,41{\lambda _{\max }}

Aus der Tabelle lesen wir anschließend für 300K ab:

L\left( {0-0,83{\lambda _{\max }}} \right) = 14\%

L\left( {0-1,45{\lambda _{\max }}} \right) = 51,6\%

\Rightarrow \quad L\left( {\left[ {0,83-1,45} \right]{\lambda _{\max }}} \right) = 37,6\%

Und für 500K:

L\left( {0-1,38{\lambda _{\max }}} \right) = 48,1\%

L\left( {0-2,41{\lambda _{\max }}} \right) = 80,8\%

\Rightarrow \quad L\left( {\left[ {1,38-2,41} \right]{\lambda _{\max }}} \right) = 32,7\%

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}