U 01.3 – Schwerpunktlage und Massenträgheitsmoment eines Körpers

 

Das zu untersuchende Bauteil ist in dem nebenstehenden Bild gezeigt. Mithilfe der Doppelpendelmethode sollen die Lage des Schwerpunktes und das Massenträgheitsmoment bestimmt werden. In dem Versuch wurde das Bauteil an den Punkten A und B auf eine Schneide gelegt und die beiden Schwingzeiten {T_A} und {T_B} ermittelt.

Gesucht ist die Lage des Schwerpunktes (Länge a oder b) und das Massenträgheitsmoment bezüglich der durch den Schwerpunkt gehenden Drehachse.

bauteil-pleul

Gegeben: e = a+b = 266\;mm, m = 1,2\;kg, g = 9,81\frac{m}{{{s^2}}}, {T_A} = 0,95\;s, {T_B} = 0,81\;s

Lösung 1.3

Für die Periodendauer des Pendels gilt je nach Aufhängungspunkt:

{T_A} = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_A}}}{{mga}}} \quad ;\quad {T_B} = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_B}}}{{mgb}}}

Herleitung

Zur Berechnung der Schwingungsdauer benötigen wir zwei verschiedene Ansätze für das Drehmoment:
\vec M = \vec r \times \vec F\quad ;\quad M = {J_B} \cdot \ddot \varphi

mit

M,\;\vec M: Drehmoment

\vec r: Lage des Schwerpunktes des Körpers

\vec F: Angreifende Kraft

{J_B}: Trägheitsmoment bezüglich des Aufhängepunktes

\varphi: Auslenkwinkel des Pendels

pendel

Es gilt:

\vec r = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {b\sin \varphi } \\   {-b\cos \varphi } \\   0  \end{array}} \right\}\quad ;\quad \vec F = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  0 \\   {-mg} \\   0  \end{array}} \right\}

Damit folgt für das Drehmoment:

\vec M = \vec r \times \vec F = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {b\sin \varphi } \\   {-b\cos \varphi } \\   0  \end{array}} \right\} \times \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  0 \\   {-mg} \\   0  \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  0 \\   0 \\   {-mgb\sin \varphi }  \end{array}} \right\}

Des Weiteren gilt:

-mgb\sin \varphi = {M_z} = {J_B} \cdot \ddot \varphi

Durch Umformen und Linearisieren erhalten wir:

0 = \ddot \varphi +\frac{{mgb}}{{{J_B}}}\varphi

Diese Gleichung beschreibt eine harmonische Schwingung, die wir mit dem Exponentialansatz lösen können:

\varphi = C \cdot {e^{\lambda t}}

\Rightarrow \quad 0 = {\lambda ^2}+\frac{{mgb}}{{{J_B}}}\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = \pm i\sqrt {\frac{{mgb}}{{{J_B}}}} = \pm i\omega

Dabei gilt für die Kreisfrequenz:

\omega = \sqrt {\frac{{mgb}}{{{J_B}}}}

Somit folgt für die Periodendauer:

{T_B} = \frac{{2\pi }}{\omega } = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_B}}}{{mgb}}}

Die Herleitung von {T_B} erfolgt analog.

Nach dem Satz von Steiner gilt:

{J_A} = {J_S}+m{a^2}\quad ;\quad {J_B} = {J_S}+m{b^2}

Dabei ist {J_S} das Trägheitsmoment bezüglich der Schwerachse in S.

Für den Abstand der Pendelpunkte gilt:

e = b \pm a

+: innen liegender Schwerpunkt (a)

-: außen liegender Schwerpunkt (b)

bezeichnungen-am-physikalischen-pendel

Wir setzten nun ein und formen um:

{T_B} = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_B}}}{{mgb}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{J_S}+m{b^2}}}{{mgb}}} \quad \Rightarrow \quad {J_S} = \frac{{T_B^2}}{{4{\pi ^2}}}mgb-m{b^2} = \frac{{T_A^2}}{{4{\pi ^2}}}mga-m{a^2}

Des Weiteren erhalten wir:

b = \frac{{\frac{{4{\pi ^2}e}}{g} \mp T_A^2}}{{2\frac{{4{\pi ^2}e}}{g} \mp \left( {T_A^2-T_B^2} \right)}}

Durch Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich für die Lage des Schwerpunktes:

b = e\frac{{\frac{{4{\pi ^2}e}}{g} \mp T_A^2}}{{2\frac{{4{\pi ^2}e}}{g} \mp T_A^2-T_B^2}}

\quad \Rightarrow \quad b = 0,266\;m \cdot \frac{{\frac{{4{\pi ^2} \cdot 0,266\;m}}{{9,81\frac{m}{{{s^2}}}}}-{{\left( {0,95\;s} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{4{\pi ^2} \cdot 0,266\;m}}{{9,81\frac{m}{{{s^2}}}}}-{{\left( {0,95\;s} \right)}^2}-{{\left( {0,81\;s} \right)}^2}}} = 76,79\;mm

a = e\frac{{\frac{{4{\pi ^2}e}}{g} \mp T_B^2}}{{2\frac{{4{\pi ^2}e}}{g} \mp T_B^2-T_A^2}}

\quad \Rightarrow \quad a = 0,266\;m \cdot \frac{{\frac{{4{\pi ^2} \cdot 0,266\;m}}{{9,81\frac{m}{{{s^2}}}}}-{{\left( {0,81\;s} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{{4{\pi ^2} \cdot 0,266\;m}}{{9,81\frac{m}{{{s^2}}}}}-{{\left( {0,81\;s} \right)}^2}-{{\left( {0,95\;s} \right)}^2}}} = 189,2\;mm

Überprüfung des Ergebnisses:

e = a+b = 76,79\;mm+189,2\;mm \simeq 266\;mm

Für das Massenträgheitsmoment erhalten wir:

{J_S} = \frac{{T_B^2}}{{4{\pi ^2}}}mgb-m{b^2}

\quad \Rightarrow \quad {J_S} = \frac{{{{\left( {0,81\;s} \right)}^2}}}{{4{\pi ^2}}} \cdot 1,2\;kg \cdot 9,81\frac{m}{{{s^2}}} \cdot 76,79\;mm-1,2\;kg \cdot {\left( {76,79\;mm} \right)^2}

\quad \Rightarrow \quad {J_S} = 7,94 \cdot {10^{-3}}kg\;{m^2}

Alternativ:

{J_S} = \frac{{T_A^2}}{{4{\pi ^2}}}mga-m{a^2}

\quad \Rightarrow \quad {J_S} = \frac{{{{\left( {0,95\;s} \right)}^2}}}{{4{\pi ^2}}} \cdot 1,2\;kg \cdot 9,81\frac{m}{{{s^2}}} \cdot 189,2\;mm-1,2\;kg \cdot {\left( {189,2\;mm} \right)^2}

\quad \Rightarrow \quad {J_S} = 7,94 \cdot {10^{-3}}kg\;{m^2}

\mathcal{J}\mathcal{K}