Schwerpunktsatz (Beispiel rotierender Schwinger)

 

Der Schwerpunktsatz lautet:

F = m\:\ddot {\vec r}_s \quad ;\quad \ddot {\vec r}_s :Absolutbeschleunigung!\:\left( {nicht\:Relativ-!} \right)

Beispiel: rotierender Schwinger

Eine Masse, die an 2 Federn hängt, befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 mit einer bestimmten
Auslenkung auf einer rotierenden Scheibe:

rotierender Schwinger

Auslenkung vom Ursprung = ρ
Abstand der Bezugsysteme = r0
\vec r_0  = 0

\vec \omega  = \omega \:\vec e_z

\vec \rho  = \xi \:\vec e_\xi

Auslenkung der Masse zum Zeitpunkt t = 0:
\xi _{\left( 0 \right)}  = \xi _0

Geschwindigkeit der Masse zum Zeitpunkt t = 0:
\dot \xi _{\left( 0 \right)}  = 0

Als Nächstes wollen wir die Beschleunigung des Punktes beschreiben.
Noch einmal zur Erinnerung die Definition der Beschleunigung:

\vec a = \ddot {\vec r}_0 +\dot {\vec \omega}  \times \vec \rho +\vec \omega  \times \left( {\vec \omega  \times \vec \rho } \right)+2\vec \omega  \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}+\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}

\vec a = \underbrace {\ddot {\vec r}_0 +\dot {\vec \omega}  \times \vec \rho +\vec \omega  \times \left( {\vec \omega  \times \vec \rho } \right)}_{\vec a_f }+\underbrace {2\vec \omega  \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}}_{\vec a_c }+\underbrace {\frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}}_{\vec a_c }

\vec a_f :F\ddot u hrungsbeschleunigung

\vec a_c :Coriolisbeschleunigung

\vec a_r :Relativbeschleunigung

Der Einfachheit halbe berechnen wir zunächst die einzelnen Beschleunigungskomponenten:

\vec a_f  = \ddot {\vec r}_0 +\dot {\vec \omega}  \times \vec \rho +\vec \omega  \times \left( {\vec \omega  \times \vec \rho } \right)

\Rightarrow \vec a_f  = 0+0 \times \vec \rho +\omega \:\vec e_z  \times \left( {\omega \:\vec e_z  \times \xi \:\vec e_\xi  } \right)

\Rightarrow \vec a_f  = \omega \:\vec e_z  \times \omega \:\xi \:\vec e_\eta

\Rightarrow \vec a_f  = -\omega ^2 \:\xi \:\vec e_\xi

\vec a_c  = 2\vec \omega  \times \frac{{d_r \vec \rho }} {{dt}}

\Rightarrow \vec a_c  = 2\omega \:\vec e_z  \times \dot \xi \:\vec e_\xi

\Rightarrow \vec a_c  = 2\omega \:\dot \xi \:\vec e_\eta

\vec a_r  = \frac{{d_r ^2 \vec \rho }} {{dt^2 }}

\Rightarrow \vec a_r  = \ddot \xi \:\vec e_\xi

Und nun fügen wir sie zusammen:

\vec a = \vec a_f +\vec a_c +\vec a_r

\Rightarrow \vec a = -\omega ^2 \xi \:\vec e_\xi  +2\omega \:\dot \xi \:\vec e_\eta  +\ddot \xi \:\vec e_\xi

\Rightarrow \vec a = \left( {\ddot \xi -\omega ^2 \xi \:} \right)\vec e_\xi  +2\omega \:\dot \xi \:\vec e_\eta

Freikörperbild:

Freikörperbild

C ist hier die Federkonstante. Für die Dehnung gilt:
F = C \cdot x , wobei x die Auslenkung der Feder ist.

Es existieren nun zum Einen die Kräfte, welche durch die Federn erzeugt werden, zum Anderen aber auch noch die Kraft N, welche die rotierende Scheibe auf die Masse m überträgt.
Für die Resultierende Kraft in diesem System gilt daher:

\vec F_{ges}  = \vec F = K_1 \:\vec e_\xi  -K_2 \:\vec e_\xi  +N\:\vec e_\eta   = \left( {K_1 -K_2 } \right)\:\vec e_\xi  +N\:\vec e_\eta

K_2  = \frac{C} {2} \cdot \xi

K_1  = -\frac{C} {2} \cdot \xi

\Rightarrow \vec F = \left( {-\frac{C} {2} \cdot \xi -\frac{C} {2} \cdot \xi } \right)\:\vec e_\xi  +N\:\vec e_\eta

\Rightarrow \vec F = -C\:\xi \:\vec e_\xi  +N\:\vec e_\eta

Des Weiteren gilt für die Kraft der Schwerpunktsatz:

\vec F = m \cdot \vec a = m \cdot \ddot {\vec r}_s

Zusammengefügt ergeben sich nun 2 Gleichungen.
Eine in Richtung und eine in Richtung :

\ddot {\vec r}_s  = \vec a = \left( {\ddot \xi -\omega ^2 \xi \:} \right)\vec e_\xi  +2\omega \:\dot \xi \:\vec e_\eta

m \cdot \ddot {\vec r}_s  = -C\:\xi \:\vec e_\xi

\Rightarrow m \cdot \left( {\ddot \xi -\omega ^2 \xi \:} \right) = -C\:\xi

\Rightarrow \ddot \xi -\omega ^2 \xi  = -\frac{C} {m}\:\xi

\Rightarrow \ddot \xi +\underbrace {\left( {\frac{C} {m}\:-\omega ^2 } \right)}_{\Omega ^2 }\xi  = 0\quad :\left( 1 \right)

m \cdot \ddot {\vec r}_s  = N\:\vec e_\eta

\Rightarrow 2\:m\:\omega \:\dot \xi  = N\quad :\left( 2 \right)

Fall 1:

\frac{C} {m}-\omega ^2  > 0\quad ,\quad \Omega  = \sqrt {\frac{C} {m}-\omega ^2 }

\Rightarrow \ddot \xi +\Omega ^2 \:\xi  = 0

Dies ist die Differentialgleichung für harmonische Schwingungen, welche aus Experimentalphysik I vielleicht schon bekannt ist. Die allgemeine Lösung dieser DGL lautet:

\xi _{\left( t \right)}  = A\sin \left( {\Omega \:t} \right)+B\cos \left( {\Omega \:t} \right)

\Rightarrow \dot \xi _{\left( t \right)}  = A\:\Omega \cos \left( {\Omega \:t} \right)-B\:\Omega \sin \left( {\Omega \:t} \right)

\dot \xi _{\left( 0 \right)}  = 0\quad  \Rightarrow \quad 0 = A\:\Omega \cos \left( 0 \right)-B\:\Omega \sin \left( 0 \right)\quad  \Rightarrow \quad 0 = A\:\Omega

\Rightarrow \quad 0 = A\:

\xi _{\left( 0 \right)}  = \xi _0 \quad  \Rightarrow \quad \xi _0  = A\sin \left( 0 \right)+B\cos \left( 0 \right)

\Rightarrow \quad \xi _0  = B

\Rightarrow \xi _{\left( t \right)}  = \xi _0 \cos \left( {\sqrt {\frac{C} {m}-\omega ^2 } \: \cdot t} \right)

Der Schwinger schwingt also periodisch hin und her.

Eingesetzt in (2) folgt somit für die Kraft N:

N = 2\:\omega \:m\:\dot \xi  = -2\:\omega \:\xi _0 \:\sqrt {\frac{C} {m}-\omega ^2 }  \cdot \sin \left( {\sqrt {\frac{C} {m}-\omega ^2 } \: \cdot t} \right)m

Fall 2:

\frac{C} {m}-\omega ^2  = 0

Der Schwinger bewegt sich nicht, da keine Beschleunigung mehr vorherrscht.

Fall 3:

\frac{C} {m}-\omega ^2  < 0\quad ,\quad \sqrt {\omega ^2 -\frac{C} {m}}  = :\lambda

\ddot \xi +\left( {\frac{C} {m}\:-\omega ^2 } \right)\xi  = 0

\Rightarrow \ddot \xi -\lambda ^2 \xi  = 0

Dies ist wieder die Differentialgleichung für harmonische Schwingungen, nur diesmal mir einem – statt einem +. Die allgemeine Lösung dieser DGL lautet:

\xi _{\left( t \right)}  = A\:e^{\lambda t} +B\:e^{-\lambda t}

\Rightarrow \dot \xi _{\left( t \right)}  = A\:\lambda \:e^{\lambda t} -B\:\lambda \:e^{-\lambda t}

\dot \xi _{\left( 0 \right)}  = 0\quad  \Rightarrow \quad \dot \xi _{\left( 0 \right)}  = A\:\lambda \:e^0 -B\:\lambda \:e^0  = \lambda \:\left( {A-B} \right) = 0

\Rightarrow A = B

\Rightarrow \xi _{\left( t \right)}  = A\:e^{\lambda t} +A\:e^{-\lambda t}  = A\:\left( {e^{\lambda t} +\:e^{-\lambda t} } \right)

\xi _{\left( 0 \right)}  = \xi _0 \quad  \Rightarrow \quad \xi _{\left( 0 \right)}  = A\:\left( {e^0 +\:e^0 } \right) = 2A = \xi _0

\Rightarrow \xi _{\left( t \right)}  = A\:e^{\lambda t} +B\:e^{-\lambda t}

\Rightarrow \xi _{\left( t \right)}  = \frac{{\xi _0 }} {2} \cdot \left( {e^{\sqrt {\omega ^2 -\frac{C} {m}} \: \cdot t} +e^{-\sqrt {\omega ^2 -\frac{C} {m}} \: \cdot t} } \right)

In diesem Fall wächst die Auslenkung der Masse mit der Zeit exponentiell an. Die Masse würde also wegfliegen!