Schwerpunktsatz und Drallsatz

 

Ein Paar grundlegende Dinge zum Verständnis der TM II

Bekannt sein dürften die Gleichgewichtsbedingungen aus TM I:

\sum {\vec F = 0}

\sum {\vec M = 0}

Bsp:
\sum {\vec F = S_1 +S_2 -S_3  = 0}

\sum {\vec M = M_a +M_b -M_c  = 0}

Das System ist hierbei im Gleichgewicht.

In TM II befassen wir uns allerdings nicht mehr mit starren Körpern, die im Gleichgewicht sind, sondern mit bewegten Systemen. Hier sind die Summen der Kräfte nicht mehr = 0. (Ansonsten würde auch ja auch nichts bewegen bzw. (exakter) sich keine Bewegung verändern).

Hier gelten (im 2-dimensionalen!) die Beziehungen:

\sum {\vec F}  = m \cdot \ddot {\vec r}

\sum {\vec M}  = \theta  \cdot \dot {\vec \omega}

Einsetzen des Bsp:

\sum {\vec F = S_1 +S_2 -S_3 }  = m \cdot \ddot {\vec r}

\sum {\vec M = M_a +M_b -M_c }  = \theta  \cdot \dot {\vec \omega}

Oder kürzer:

m \cdot \ddot {\vec r} = S_1 +S_2 -S_3

\theta  \cdot \dot {\vec \omega}  = M_a +M_b -M_c

Info:

\sum {\vec F}  = m \cdot \ddot {\vec r} : „Schwerpunktsatz“ beschreibt die Translationsbewegungen.
\sum {\vec M}  = \theta  \cdot \dot {\vec \omega} : „Drallsatz“ beschreibt die Rotationsbewegungen.

Kraft = Masse • Beschleunigung

Moment = Trägheitstensor • Winkelbeschleunigung

Zusammenfassung:

Σ F : Translation \Rightarrow SPS
Σ M : Rotation \Rightarrow DS

\mathcal{JK}