.05.2 – Schwingende vorgespannte Saite

Die skizzierte Saite ist mit der Massenbelegung μ und der Vorspannkraft S gegeben. Die Saite wird an der Stelle x = a um den Betrag b ausgelenkt.

ausgelenkte Saite Aufgabenstellung Schwingung

Berechnen Sie

die Eigenfrequenzen
die dazugehörenden Eigenfunktionen
die Amplituden der zu den ersten fünf Eigenfrequenzen gehörenden Eigenformen für
$a = \frac{L} {2},\quad \quad \quad a = \frac{L} {3},\quad \quad \quad a = \frac{L} {4}$

Gegeben: S, L, b, µ = ρ A

Lösung

DGL der Saite:

$S\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}+q_z = \mu \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}$

Für eine freie Schwingung ist die anregende Kraft gleich 0. Es folgt:

$\frac{S} {\mu }w^{^{\prime\prime}} = \ddot w\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad c_s^2 w^{^{\prime\prime}} = \ddot w$

Dabei ist S die Vorspannkraft der Saite, µ die Massenbelegung der Saite (Masse pro Länge) und c_s die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwellen in der Saite.

Wir nutzen den Produktansatz von Bernoulli und erzeugen eine Funktion, die ein Produkt aus einer Zeit- und einer Ortsfunktion ist:

$w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)$

Die Funktion können wir sowohl nach dem Ort als auch nach der Zeit zwei Mal ableiten. Der andere Faktor bleibt dabei jeweils konstant:

$w^{^{\prime\prime}} = \hat w^{^{\prime\prime}} T,\quad \quad \ddot w = \hat w\ddot T$

wir setzen in die vereinfachte Differentialgleichung ein und bringen Zeit- und Ortsabhängige Terme jeweils auf eine Seite (Separation der Variablen):

$c_s^2 \hat wT = \hat w\ddot T\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}$

Schlussweise von Bernoulli
Nach Bernoulli kann in dieser Produktfunktion die zeitabhängige Seite nur immer gleich der ortsabhängigen sein, wenn beide konstant sind:

$c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = const = -\omega _j^2$

Daraus folgen die beiden Beziehungen

$\Rightarrow c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+\omega _j^2 = 0$

und

$\Rightarrow \frac{{\ddot T}} {T}+\omega _j^2 = 0$

Wir setzen nun für die Wellenzahl k_j:

$k_j = \frac{{\omega _j }} {{c_s }}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \omega _j = c_s k_j$

eingesetzt:

$\Rightarrow c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+c_s^2 k_j^2 = c_s^2 \left( {\frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+k_j^2 } \right) = 0$

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist ungleich 0, daher dividieren wir und lösen auf:

$\frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+k_j^2 = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \hat w^{^{\prime\prime}} +k_j^2 \hat w = 0$

Wir erhalten somit zwei Differentialgleichungen vom selben Typ:

$\hat w^{^{\prime\prime}} +k_j^2 \hat w = 0$

$\ddot T+\omega _j^2 T = 0$

Allgemeine Lösung:

$T_j = A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)$

$\hat w_j = C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)$

Daraus folgt, wenn wir die beiden Funktionen wieder zusammenmultiplizieren:

$w_j = \hat w_j T_j = \left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\left[ {C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)} \right]$

Die Gesamtlösung ist die Summe der Einzellösungen:

$w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat w_j T_j } = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\left[ {C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)} \right]}$

Berücksichtigung der Randbedingungen (RB)

Randbedingungen schwingende ausgelenkte Saite

Lagerung: fest-fest, die Auslenkung an beiden Enden ist also 0

$w\left( {0,t} \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \sum\limits_{j = 1}^\infty {C_j T_j } = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_j = 0$

$w\left( {L,t} \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \sum\limits_{j = 1}^\infty {D_j \sin \left( {k_j L} \right)T_j } = 0$

Aus der zweiten Randbedingung folgen unterschiedliche Werte für die Konstanten. Triviale Lösung:

$D_j = 0$

oder Eigenwertgleichung:

$\sin \left( {k_j L} \right) = 0$

Der Sinus hat seine Nullstellen bei Vielfachen von Pi:

$\sin \left( {k_j L} \right) = 0 = \sin \left( {j\pi } \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad k_j L = j\pi$

Damit erhalten wir für die Wellenzahlen k_j:

$k_j = \frac{{j\pi }} {L}$

Daraus folgt die Eigenkreisfrequenz:

$\omega _j = c_s k_j = j\sqrt {\frac{S} {\mu } \cdot } \frac{\pi } {L}$

Die Eigenfrequenz ist dann

$f_j = \frac{{\omega _j }} {{2\pi }} = \sqrt {\frac{S} {\mu } \cdot } \frac{j} {{2L}}$

b )

${\text{Moden}}\quad \overset{\wedge}{=}\quad \hat w$

Normierung auf Amplitude D_j = 1

Eigenschwingformen:

$\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {\pi j\frac{x} {l}} \right)$

c )

Wir haben für die Auslenkung berechnet:

$w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {\underbrace {A_j D_j }_{A_j^* }\cos \left( {\omega _j t} \right)+\underbrace {B_j D_j }_{B_j^* }\sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}$

Berücksichtigung der Anfangsbedingungen

Es soll eine Funktion für die Auslenkung gefunden werden. Betrachten wir folgendes Bild, sehen wir, dass die Funktion stückweise linear ist:

Randbedingungen schwingende ausgelenkte Saite

Wir schreiben für die Funktion:

$w\left( {x,0} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{b} {a}x & \forall & {0 \leq x \leq a} \\ {\frac{b} {{L-a}}\left( {L-x} \right)} & \forall & {a < x \leq L} \\ \end{array} } \right\} = \phi \left( x \right)$

$w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}$

$w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)} = \phi \left( x \right)$

Um auch die Anfangsgeschwindigkeit betrachten zu können, leiten wir ein mal nach der Zeit ab:

$\dot w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {-\omega _j A_j^* \sin \left( {\omega _j \cdot 0} \right)+\omega _j B_j^* \cos \left( {\omega _j \cdot 0} \right)} \right]\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}$

$\dot w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\omega _j B_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)} = \psi \left( x \right)$

Da die Saite zum Zeitpunkt t = 0 festgehalten wird und sich nicht bewegt, ist die erste Ableitung überall (für jedes x) = 0:

$\psi \left( x \right) = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \sum\limits_{j = 1}^\infty {\omega _j B_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)} = 0\quad \quad \Rightarrow \quad \quad B_j^* = 0$

Die Anfangsauslenkung müssen wir nun noch etwas aufwändiger betrachten, um das A^* bestimmen zu können:

$w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)} = \phi \left( x \right)$

Wir multiplizieren zunächst mit einem weiteren Sinusterm. Das k ist dabei ein bestimmter Index, also einer der Werte, die j annimmt:

$\sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)} = \phi \left( x \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)$

In der Summe steht also das Produkt aus zwei Eigenfunktionen. Wir integrieren über die gesamte Saite, um die Orthogonalitätsbeziehungen nutzen zu können:

$\sum\limits_{j = 1}^\infty {\int_0^L {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx} } = \int_0^L {\phi \left( x \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx}$

Aufgrund der Orthogonalität folgt nun

$A_j^* \underbrace {\int_0^L {\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)} dx}_{ = \frac{L} {2}} = \int_0^L {\phi \left( x \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx}$

Da die Funktion zum Zeitpunkt 0 stückweise linear ist, teilen wir das Integral am Kraftangriffspunkt auf:

$A_j^* = \frac{2} {L}\left[ {\int_0^a {\frac{b} {a}x \cdot \sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx} +\int_a^L {\frac{b} {{L-a}}\left( {L-x} \right) \cdot \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)dx} } \right]$

Die beiden Integrale lösen wir zunächt allgemein in einer Nebenrechnung:

$\int_q^s {g\left( x \right) \cdot \sin \left( {px} \right)dx} = \left[ {g\left( x \right)\left( {-\frac{1} {p}\cos \left( {px} \right)} \right)} \right]_q^s -\int_q^s {g^{\prime} \left( {-\frac{1} {p}\cos \left( {px} \right)} \right)dx}$

$= \left[ {g\left( x \right)\left( {-\frac{1} {p}\cos \left( {px} \right)} \right)} \right]_q^s +\left[ {g^{\prime} \left( {\frac{1} {{p^2 }}\sin \left( {px} \right)} \right)} \right]_q^s$

$= \frac{{g\left( q \right)}} {p}\cos \left( {pq} \right)-\frac{{g\left( s \right)}} {p}\cos \left( {ps} \right)+\frac{{g^{\prime} }} {{p^2 }}\sin \left( {ps} \right)-\frac{{g^{\prime} }} {{p^2 }}\sin \left( {pq} \right)$

Auf unseren Fall angewandt bedeutet das:

$A_j^* = \frac{2} {L}\left[ {-\frac{b} {{\frac{{j\pi }} {L}}}\cos \left( {j\pi \frac{a} {L}} \right)+\frac{b} {{a\left( {\frac{{j\pi }} {L}} \right)^2 }}\sin \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)+\frac{b} {{\frac{{j\pi }} {L}}}\cos \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)+\frac{b} {{\left( {L-a} \right)\left( {\frac{{j\pi }} {L}} \right)^2 }}\sin \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)} \right]$

$A_j^* = \frac{{2bL^2 }} {{\left( {j\pi } \right)^2 a\left( {L-a} \right)}}\sin \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)$

c )

Mit der eben bestimmten Formel lassen sich nun die Amplituden für bestimmte Eigenformen bestimmen. Die Werte A_j^* werden dabei jeweils bis zu einem bestimmten Entwicklungspunkt j entwickelt (hier bis zum 5. Glied) und aufsummiert.

Für a = L/2 folgt:

$A_1^* = \frac{{8b}} {{\pi ^2 }}\sin \left( {\frac{\pi } {2}} \right) = \frac{{8b}} {{\pi ^2 }}$

$A_2^* = \frac{{8b}} {{4\pi ^2 }}\sin \left( \pi \right) = 0$

$A_3^* = \frac{{8b}} {{9\pi ^2 }}\sin \left( {\frac{{3\pi }} {2}} \right) = -0,89\frac{b} {{\pi ^2 }}$

$A_4^* = \frac{b} {{2\pi ^2 }}\sin \left( {2\pi } \right) = 0$

$A_5^* = \frac{{8b}} {{25\pi ^2 }}\sin \left( {\frac{{5\pi }} {2}} \right) = 0,32\frac{b} {{\pi ^2 }}$

Die Formel für die Reihenentwicklung ist:

$w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}$

wir setzen die ersten fünf Werte für A ein:

$w\left( {x,t} \right) = \frac{{8b}} {{\pi ^2 }}\left[ {\cos \left( {\pi \frac{{c_s }} {L}t} \right)\sin \left( {\pi \frac{x} {L}} \right)-\frac{1} {9}\cos \left( {3\pi \frac{{c_s }} {L}t} \right)\sin \left( {3\pi \frac{x} {L}} \right)+\frac{1} {{25}}\cos \left( {5\pi \frac{{c_s }} {L}t} \right)\sin \left( {5\pi \frac{x} {L}} \right)} \right]$

Ebenso verfahren wir für a = L / 3 und a = L / 4. Wir erhalten den folgenden Graphen:

Graph mit berechneten Ergebnissen der Schwingung

Mathematical Engineering

.05.2 – Schwingende vorgespannte Saite

Lösung

b )

c )

c )

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen