.05.2 – Schwingende vorgespannte Saite

 

Die skizzierte Saite ist mit der Massenbelegung μ und der Vorspannkraft S gegeben. Die Saite wird an der Stelle x = a um den Betrag b ausgelenkt.

ausgelenkte Saite Aufgabenstellung Schwingung

Berechnen Sie

  1. die Eigenfrequenzen
  2. die dazugehörenden Eigenfunktionen
  3. die Amplituden der zu den ersten fünf Eigenfrequenzen gehörenden Eigenformen für

    a = \frac{L} {2},\quad \quad \quad a = \frac{L} {3},\quad \quad \quad a = \frac{L} {4}

Gegeben: S, L, b, µ = ρ A

Lösung

DGL der Saite:

S\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial x^2 }}+q_z  = \mu \frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }}

Für eine freie Schwingung ist die anregende Kraft gleich 0. Es folgt:

\frac{S} {\mu }w^{^{\prime\prime}}  = \ddot w\quad \quad  \Leftrightarrow \quad \quad c_s^2 w^{^{\prime\prime}}  = \ddot w

Dabei ist S die Vorspannkraft der Saite, µ die Massenbelegung der Saite (Masse pro Länge) und cs die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwellen in der Saite.

Wir nutzen den Produktansatz von Bernoulli und erzeugen eine Funktion, die ein Produkt aus einer Zeit- und einer Ortsfunktion ist:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

Die Funktion können wir sowohl nach dem Ort als auch nach der Zeit zwei Mal ableiten. Der andere Faktor bleibt dabei jeweils konstant:

w^{^{\prime\prime}}  = \hat w^{^{\prime\prime}} T,\quad \quad \ddot w = \hat w\ddot T

wir setzen in die vereinfachte Differentialgleichung ein und bringen Zeit- und Ortsabhängige Terme jeweils auf eine Seite (Separation der Variablen):

c_s^2 \hat wT = \hat w\ddot T\quad \quad  \Leftrightarrow \quad \quad c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}

Schlussweise von Bernoulli
Nach Bernoulli kann in dieser Produktfunktion die zeitabhängige Seite nur immer gleich der ortsabhängigen sein, wenn beide konstant sind:

c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = const = -\omega _j^2

Daraus folgen die beiden Beziehungen

\Rightarrow c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+\omega _j^2  = 0

und

\Rightarrow \frac{{\ddot T}} {T}+\omega _j^2  = 0

Wir setzen nun für die Wellenzahl kj:

k_j  = \frac{{\omega _j }} {{c_s }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \omega _j  = c_s k_j

eingesetzt:

\Rightarrow c_s^2 \frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+c_s^2 k_j^2  = c_s^2 \left( {\frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+k_j^2 } \right) = 0

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist ungleich 0, daher dividieren wir und lösen auf:

\frac{{\hat w^{^{\prime\prime}} }} {{\hat w}}+k_j^2  = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \hat w^{^{\prime\prime}} +k_j^2 \hat w = 0

Wir erhalten somit zwei Differentialgleichungen vom selben Typ:

\hat w^{^{\prime\prime}} +k_j^2 \hat w = 0

\ddot T+\omega _j^2 T = 0

Allgemeine Lösung:

T_j  = A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)

\hat w_j  = C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)

Daraus folgt, wenn wir die beiden Funktionen wieder zusammenmultiplizieren:

w_j  = \hat w_j T_j  = \left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\left[ {C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)} \right]

Die Gesamtlösung ist die Summe der Einzellösungen:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j T_j }  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\left[ {C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)} \right]}

Berücksichtigung der Randbedingungen (RB)

Randbedingungen schwingende ausgelenkte Saite

Lagerung: fest-fest, die Auslenkung an beiden Enden ist also 0

w\left( {0,t} \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \sum\limits_{j = 1}^\infty  {C_j T_j }  = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C_j  = 0

w\left( {L,t} \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \sum\limits_{j = 1}^\infty  {D_j \sin \left( {k_j L} \right)T_j }  = 0

Aus der zweiten Randbedingung folgen unterschiedliche Werte für die Konstanten. Triviale Lösung:

D_j  = 0

oder Eigenwertgleichung:

\sin \left( {k_j L} \right) = 0

Der Sinus hat seine Nullstellen bei Vielfachen von Pi:

\sin \left( {k_j L} \right) = 0 = \sin \left( {j\pi } \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad k_j L = j\pi

Damit erhalten wir für die Wellenzahlen kj:

k_j  = \frac{{j\pi }} {L}

Daraus folgt die Eigenkreisfrequenz:

\omega _j  = c_s k_j  = j\sqrt {\frac{S} {\mu } \cdot } \frac{\pi } {L}

Die Eigenfrequenz ist dann

f_j  = \frac{{\omega _j }} {{2\pi }} = \sqrt {\frac{S} {\mu } \cdot } \frac{j} {{2L}}

b )

{\text{Moden}}\quad  \overset{\wedge}{=}\quad \hat w

Normierung auf Amplitude Dj = 1

Eigenschwingformen:

\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {\pi j\frac{x} {l}} \right)

c )

Wir haben für die Auslenkung berechnet:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left[ {\underbrace {A_j D_j }_{A_j^* }\cos \left( {\omega _j t} \right)+\underbrace {B_j D_j }_{B_j^* }\sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}

Berücksichtigung der Anfangsbedingungen

Es soll eine Funktion für die Auslenkung gefunden werden. Betrachten wir folgendes Bild, sehen wir, dass die Funktion stückweise linear ist:

Randbedingungen schwingende ausgelenkte Saite

Wir schreiben für die Funktion:

w\left( {x,0} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{b} {a}x & \forall  & {0 \leq x \leq a}  \\    {\frac{b} {{L-a}}\left( {L-x} \right)} & \forall  & {a < x \leq L}  \\   \end{array} } \right\} = \phi \left( x \right)

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left[ {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}

w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}  = \phi \left( x \right)

Um auch die Anfangsgeschwindigkeit betrachten zu können, leiten wir ein mal nach der Zeit ab:

\dot w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left[ {-\omega _j A_j^* \sin \left( {\omega _j  \cdot 0} \right)+\omega _j B_j^* \cos \left( {\omega _j  \cdot 0} \right)} \right]\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}

\dot w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\omega _j B_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}  = \psi \left( x \right)

Da die Saite zum Zeitpunkt t = 0 festgehalten wird und sich nicht bewegt, ist die erste Ableitung überall (für jedes x) = 0:

\psi \left( x \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\omega _j B_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}  = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad B_j^*  = 0

Die Anfangsauslenkung müssen wir nun noch etwas aufwändiger betrachten, um das A* bestimmen zu können:

w\left( {x,0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}  = \phi \left( x \right)

Wir multiplizieren zunächst mit einem weiteren Sinusterm. Das k ist dabei ein bestimmter Index, also einer der Werte, die j annimmt:

\sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)}  = \phi \left( x \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)

In der Summe steht also das Produkt aus zwei Eigenfunktionen. Wir integrieren über die gesamte Saite, um die Orthogonalitätsbeziehungen nutzen zu können:

\sum\limits_{j = 1}^\infty  {\int_0^L {A_j^* \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx} }  = \int_0^L {\phi \left( x \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx}

Aufgrund der Orthogonalität folgt nun

A_j^* \underbrace {\int_0^L {\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)} dx}_{ = \frac{L} {2}} = \int_0^L {\phi \left( x \right)\sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx}

Da die Funktion zum Zeitpunkt 0 stückweise linear ist, teilen wir das Integral am Kraftangriffspunkt auf:

A_j^*  = \frac{2} {L}\left[ {\int_0^a {\frac{b} {a}x \cdot \sin \left( {k\pi \frac{x} {L}} \right)dx} +\int_a^L {\frac{b} {{L-a}}\left( {L-x} \right) \cdot \sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)dx} } \right]

Die beiden Integrale lösen wir zunächt allgemein in einer Nebenrechnung:

\int_q^s {g\left( x \right) \cdot \sin \left( {px} \right)dx}  = \left[ {g\left( x \right)\left( {-\frac{1} {p}\cos \left( {px} \right)} \right)} \right]_q^s -\int_q^s {g^{\prime} \left( {-\frac{1} {p}\cos \left( {px} \right)} \right)dx}

= \left[ {g\left( x \right)\left( {-\frac{1} {p}\cos \left( {px} \right)} \right)} \right]_q^s +\left[ {g^{\prime} \left( {\frac{1} {{p^2 }}\sin \left( {px} \right)} \right)} \right]_q^s

= \frac{{g\left( q \right)}} {p}\cos \left( {pq} \right)-\frac{{g\left( s \right)}} {p}\cos \left( {ps} \right)+\frac{{g^{\prime} }} {{p^2 }}\sin \left( {ps} \right)-\frac{{g^{\prime} }} {{p^2 }}\sin \left( {pq} \right)

Auf unseren Fall angewandt bedeutet das:

A_j^*  = \frac{2} {L}\left[ {-\frac{b} {{\frac{{j\pi }} {L}}}\cos \left( {j\pi \frac{a} {L}} \right)+\frac{b} {{a\left( {\frac{{j\pi }} {L}} \right)^2 }}\sin \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)+\frac{b} {{\frac{{j\pi }} {L}}}\cos \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)+\frac{b} {{\left( {L-a} \right)\left( {\frac{{j\pi }} {L}} \right)^2 }}\sin \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)} \right]

A_j^*  = \frac{{2bL^2 }} {{\left( {j\pi } \right)^2 a\left( {L-a} \right)}}\sin \left( {\frac{{j\pi a}} {L}} \right)

c )

Mit der eben bestimmten Formel lassen sich nun die Amplituden für bestimmte Eigenformen bestimmen. Die Werte Aj* werden dabei jeweils bis zu einem bestimmten Entwicklungspunkt j entwickelt (hier bis zum 5. Glied) und aufsummiert.

Für a = L/2 folgt:

A_1^*  = \frac{{8b}} {{\pi ^2 }}\sin \left( {\frac{\pi } {2}} \right) = \frac{{8b}} {{\pi ^2 }}

A_2^*  = \frac{{8b}} {{4\pi ^2 }}\sin \left( \pi  \right) = 0

A_3^*  = \frac{{8b}} {{9\pi ^2 }}\sin \left( {\frac{{3\pi }} {2}} \right) = -0,89\frac{b} {{\pi ^2 }}

A_4^*  = \frac{b} {{2\pi ^2 }}\sin \left( {2\pi } \right) = 0

A_5^*  = \frac{{8b}} {{25\pi ^2 }}\sin \left( {\frac{{5\pi }} {2}} \right) = 0,32\frac{b} {{\pi ^2 }}

Die Formel für die Reihenentwicklung ist:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)\sin \left( {j\pi \frac{x} {L}} \right)}

wir setzen die ersten fünf Werte für A ein:

w\left( {x,t} \right) = \frac{{8b}} {{\pi ^2 }}\left[ {\cos \left( {\pi \frac{{c_s }} {L}t} \right)\sin \left( {\pi \frac{x} {L}} \right)-\frac{1} {9}\cos \left( {3\pi \frac{{c_s }} {L}t} \right)\sin \left( {3\pi \frac{x} {L}} \right)+\frac{1} {{25}}\cos \left( {5\pi \frac{{c_s }} {L}t} \right)\sin \left( {5\pi \frac{x} {L}} \right)} \right]

Ebenso verfahren wir für a = L / 3 und a = L / 4. Wir erhalten den folgenden Graphen:

Graph mit berechneten Ergebnissen der Schwingung