.03.2 – Schwingung eines Bodenverdichters

Aufgabenstellung Bodenverdichter Schwingung Kraftanregung

Der skizzierte Bodenverdichter wird durch extentrische Rotoren mit der Kraft meΩ² cos(Ω t) erregt.
Bei einer bestimmten Erregerfrequenz Ω_A beginnt die Platte m_p vom Boden abzuheben.

Man bestimme die kritische Frequenz Ω_A.
Wie groß ist bei Ω_A die erreichbare Kraft auf den Boden?

Gegeben: M, m, m_p, c, e, g (Erdbeschleunigung)

Lösung

Es handelt sich bei dem Problem um eine Kraftanregung.

Teilsystem I

Freischnitt des schwingenden Systems Bodenverdichter

Da nichts rotiert, brauchen wir keinen Drallsatz.

Schwerpunktsatz:

$ M \ddot x = F_e+Mg-F_c = Mg+me \Omega^2 \cos \Omega t-cx $

Auf normale Form gebracht:

$ \ddot x+\frac{c} {M}x = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t $

Abspalten der Gleichgewichtslage:

Die Beschleunigung der Schwingung ist bei einer statischen Auslenkung gleich 0. Auch die Erregerkreisfrequenz ist 0:

$ \ddot x = 0 $

$ \Omega = 0 $

Daraus folgt:

$ 0+\frac{c} {M}x = g+\frac{m} {M}e \cdot 0^2 \cos \left( {0 \cdot t} \right) $

$ \Rightarrow \quad \frac{c} {M}x_{stat} = g\quad \quad \Rightarrow \quad \quad x_{stat} = \frac{{gM}} {c} $

Wir setzen nun (Koordinatentransformation):

$ y = x-x_{stat} $

also

$ x = y+x_{stat} $

Die Schwingbeschleunigung ist in beiden Systemen gleich.

Eingesetzt:

$ \ddot y+\frac{c} {M}\left( {y+x_{stat} } \right) = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t $

$ \ddot y+\frac{c} {M}\left( {y+\frac{{gM}} {c}} \right) = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t $

$ \ddot y+\frac{{cy}} {M}+g = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t $

$ \ddot y+\frac{c} {M}y = \frac{{me\Omega ^2 }} {M}\cos \Omega t $

DGL für eine Standard-Schwingung:

$ \ddot y+\omega _1^2 y = f_0 \cos \Omega t $

Koeffizientenvergleich ergibt:

$ \omega _1 = \sqrt {\frac{c} {M}} $

$ f_0 = \frac{{me\Omega ^2 }} {M} $

Wir suchen nun nach einer partikulären Lösung y_p und verwenden dazu einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

$ y_p = A\cos \left( {\Omega t} \right) $

$ \ddot y_p = -\Omega ^2 A\cos \left( {\Omega t} \right) $

Eingesetzt in die Differentialgleichung:

$ \ddot y+\omega _1^2 y = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right) $

$ -\Omega ^2 A\cos \left( {\Omega t} \right)+\omega _1^2 A\cos \left( {\Omega t} \right) = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right) $

Durch Koeffizientenvergleich der cosinus-Terme folgt für die Konstante:

$ A = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }} $

In den Ansatz eingesetzt:

$ y_p = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\cos \Omega t = \frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t $

Teilsystem II

Freigeschnittene Bodenplatte:

Freigeschnittene Bodenplatte Verdichter

Wir brauchen wieder den Drallsatz nicht. Der Schwerpunktsatz ergibt:

$ m_p \ddot z = -m_p g-F_c +N $

Dies stellen wir nach der Normalkraft um:

$ N = m_p \ddot z+m_p g+F_c $

Für die Federkraft F_c, die von oben auf die Bodenplatte wirkt, gilt:

$ F_c = c \cdot x = c \cdot x_{stat} +c \cdot y_p = c\frac{{gM}} {c}+c\frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t $

Eingesetzt:

$ N = m_p \ddot z+m_p g+gM+c\frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t $

Wir betrachten die nicht beschleunigte Bodenplatte (sie hebt nicht vom Boden ab), daher hat sie keine Beschleunigung:

$ N = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t $

Auswerten:

Die Platte hebt erstmalig ab, wenn die auf den Boden ausgeübte Normalkraft gleich Null ist:

$ N_{min} = 0 $

Da die Normalkraft variabel ist, suchen wir zunächt ihr Minimum. Der erste Summand ist konstant, der zweite hängt von einem cosinus ab. Der cosinus ist minimal bei

$ \cos \left( {\Omega t} \right) = -1\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \Omega t = \arccos \left( {-1} \right) = \pi $

Eingesetzt:

$ N_{min} = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}}\cos \pi = \left( {m_p +M} \right)g-c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}} = 0 $

Aufgelöst:

$ \left( {m_p +M} \right)g = c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}} $

$ \left( {m_p +M} \right)\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)g = \Omega _A^2 \frac{{cme}} {M} $

$ m_p \omega _1^2 g-m_p \Omega _A^2 g+M\omega _1^2 g-M\Omega _A^2 g-\Omega _A^2 \frac{{cme}} {M} = 0 $

$ \Omega _A^2 \left( {m_p g+Mg+\frac{{cme}} {M}} \right) = +m_p \omega _1^2 g+M\omega _1^2 g $

$ \Omega _A = \sqrt {\frac{{\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}} $

Maximale Kraft auf den Boden:

Das Vorgehen ist analog zur minimalen Kraft, das Maximum des cos ist 1:

$ N_{\max } = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}}\cos 0 = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}} $

Einsetzen der kritischen Erregerkreisfrequenz:

$ N_{\max } = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\frac{{\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} {{M\omega _1^2 -M\frac{{\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} $

$ N_{\max } = \left( {m_p +M} \right)g+\frac{{\frac{{cme\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} {{\frac{{M\omega _1^2 \left( {\left( {m_p +M} \right)Mg+cme} \right)}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}-\frac{{M\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} $

$ N_{\max } = \left( {m_p +M} \right)g+\frac{{\frac{{cme\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} {{\frac{{M\omega _1^2 \left( {\left( {m_p +M} \right)Mg+cme} \right)-M\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} $