.03.2 – Schwingung eines Bodenverdichters

 

Aufgabenstellung Bodenverdichter Schwingung Kraftanregung

Der skizzierte Bodenverdichter wird durch extentrische Rotoren mit der Kraft meΩ2 cos(Ω t) erregt.
Bei einer bestimmten Erregerfrequenz ΩA beginnt die Platte mp vom Boden abzuheben.

Man bestimme die kritische Frequenz ΩA.
Wie groß ist bei ΩA die erreichbare Kraft auf den Boden?

Gegeben: M, m, mp, c, e, g (Erdbeschleunigung)

Lösung

Es handelt sich bei dem Problem um eine Kraftanregung.

Teilsystem I

Freischnitt des schwingenden Systems Bodenverdichter

Da nichts rotiert, brauchen wir keinen Drallsatz.

Schwerpunktsatz:

M \ddot x = F_e+Mg-F_c = Mg+me \Omega^2 \cos \Omega t-cx

Auf normale Form gebracht:

\ddot x+\frac{c} {M}x = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t

Abspalten der Gleichgewichtslage:

Die Beschleunigung der Schwingung ist bei einer statischen Auslenkung gleich 0. Auch die Erregerkreisfrequenz ist 0:

\ddot x = 0

\Omega = 0

Daraus folgt:

0+\frac{c} {M}x = g+\frac{m} {M}e \cdot 0^2 \cos \left( {0 \cdot t} \right)

\Rightarrow \quad \frac{c} {M}x_{stat} = g\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad x_{stat} = \frac{{gM}} {c}

Wir setzen nun (Koordinatentransformation):

y = x-x_{stat}

also

x = y+x_{stat}

Die Schwingbeschleunigung ist in beiden Systemen gleich.

Eingesetzt:

\ddot y+\frac{c} {M}\left( {y+x_{stat} } \right) = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t

\ddot y+\frac{c} {M}\left( {y+\frac{{gM}} {c}} \right) = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t

\ddot y+\frac{{cy}} {M}+g = g+\frac{m} {M}e\Omega ^2 \cos \Omega t

\ddot y+\frac{c} {M}y = \frac{{me\Omega ^2 }} {M}\cos \Omega t

DGL für eine Standard-Schwingung:

\ddot y+\omega _1^2 y = f_0 \cos \Omega t

Koeffizientenvergleich ergibt:

\omega _1  = \sqrt {\frac{c} {M}}

f_0  = \frac{{me\Omega ^2 }} {M}

Wir suchen nun nach einer partikulären Lösung yp und verwenden dazu einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

y_p  = A\cos \left( {\Omega t} \right)

\ddot y_p  = -\Omega ^2 A\cos \left( {\Omega t} \right)

Eingesetzt in die Differentialgleichung:

\ddot y+\omega _1^2 y = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

-\Omega ^2 A\cos \left( {\Omega t} \right)+\omega _1^2 A\cos \left( {\Omega t} \right) = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

Durch Koeffizientenvergleich der cosinus-Terme folgt für die Konstante:

A = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}

In den Ansatz eingesetzt:

y_p  = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\cos \Omega t = \frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t

Teilsystem II

Freigeschnittene Bodenplatte:

Freigeschnittene Bodenplatte Verdichter

Wir brauchen wieder den Drallsatz nicht. Der Schwerpunktsatz ergibt:

m_p \ddot z = -m_p g-F_c +N

Dies stellen wir nach der Normalkraft um:

N = m_p \ddot z+m_p g+F_c

Für die Federkraft Fc, die von oben auf die Bodenplatte wirkt, gilt:

F_c  = c \cdot x = c \cdot x_{stat} +c \cdot y_p  = c\frac{{gM}} {c}+c\frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t

Eingesetzt:

N = m_p \ddot z+m_p g+gM+c\frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t

Wir betrachten die nicht beschleunigte Bodenplatte (sie hebt nicht vom Boden ab), daher hat sie keine Beschleunigung:

N = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega ^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}}\cos \Omega t

Auswerten:

Die Platte hebt erstmalig ab, wenn die auf den Boden ausgeübte Normalkraft gleich Null ist:

N_{min} = 0

Da die Normalkraft variabel ist, suchen wir zunächt ihr Minimum. Der erste Summand ist konstant, der zweite hängt von einem cosinus ab. Der cosinus ist minimal bei

\cos \left( {\Omega t} \right) = -1\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \Omega t = \arccos \left( {-1} \right) = \pi

Eingesetzt:

N_{min}  = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}}\cos \pi  = \left( {m_p +M} \right)g-c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}} = 0

Aufgelöst:

\left( {m_p +M} \right)g = c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}}

\left( {m_p +M} \right)\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)g = \Omega _A^2 \frac{{cme}} {M}

m_p \omega _1^2 g-m_p \Omega _A^2 g+M\omega _1^2 g-M\Omega _A^2 g-\Omega _A^2 \frac{{cme}} {M} = 0

\Omega _A^2 \left( {m_p g+Mg+\frac{{cme}} {M}} \right) = +m_p \omega _1^2 g+M\omega _1^2 g

\Omega _A  = \sqrt {\frac{{\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}

Maximale Kraft auf den Boden:

Das Vorgehen ist analog zur minimalen Kraft, das Maximum des cos ist 1:

N_{\max }  = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}}\cos 0 = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\Omega _A^2 }} {{M\left( {\omega _1^2 -\Omega _A^2 } \right)}}

Einsetzen der kritischen Erregerkreisfrequenz:

N_{\max }  = \left( {m_p +M} \right)g+c\frac{{me\frac{{\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} {{M\omega _1^2 -M\frac{{\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}}

N_{\max }  = \left( {m_p +M} \right)g+\frac{{\frac{{cme\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} {{\frac{{M\omega _1^2 \left( {\left( {m_p +M} \right)Mg+cme} \right)}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}-\frac{{M\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}}

N_{\max }  = \left( {m_p +M} \right)g+\frac{{\frac{{cme\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}} {{\frac{{M\omega _1^2 \left( {\left( {m_p +M} \right)Mg+cme} \right)-M\left( {m_p +M} \right)M\omega _1^2 g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme}}}}

N_{\max }  = \left( {m_p +M} \right)g+\frac{{cme\left( {m_p +M} \right)g}} {{\left( {m_p +M} \right)Mg+cme-\left( {m_p +M} \right)Mg}}

N_{\max }  = \left( {m_p +M} \right)g+\left( {m_p +M} \right)g

N_{\max }  = 2\left( {m_p +M} \right)g