17 – Schwingungen mit zwei Freiheitsgraden – Herleitung DGL

 

Die wichtigsten Methoden und Vorgehensweisen bei der Berechnung von Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich am einfachsten an Systemen mit zwei Freiheitsgraden zeigen. Hierbei ist die Matrixschreibweise unumgänglich (siehe nächster Artikel).

Im Folgenden wird zugunsten der Anschaulichkeit die Dämpfung zunächst nicht berücksichtigt.

Ausgangslage und ausgelenktes System

Auslenkung zur statischen Ruhelage

Durch das Gewicht der Massen werden die Federn auch ohne anregende Kraft schon auf eine statische Ruhelage gedehnt. Diese kann berechnet und aus der Betrachtung herausgezogen werden, da die eigentliche Schwingung dann um die statische Ruhelage und nicht um die Ausgangslage erfolgt.

Freigeschnittenes System

erste Masse:

Freigeschnittene obere Masse

zweite Masse:

Freigeschnittene untere Masse

Herleitung der Differentialgleichung

Schwerpunktsatz, angewendet auf die beiden Massen:

F_1 \left( t \right)+m_1 g+c_2 \left( {y_2 -y_1 } \right)-c_1 y_1  = m_1 \ddot y_1

F_2 \left( t \right)+m_2 g-c_2 \left( {y_2 -y_1 } \right) = m_2 \ddot y_2

umgestellt:

m_1 \ddot y_1 +\left( {c_1 +c_2 } \right)y_1 -c_2 y_2  = m_1 g+F_1 \left( t \right)

m_2 \ddot y_2 -c_2 y_1 +c_2 y_2  = m_2 g+F_2 \left( t \right)

Die statische Ruhelage ist gekennzeichnet durch

\ddot y_{1,2}  = 0

und

F_{1,2} \left( t \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad y_{1,2}  = y_{{1,2} _{Stat}}

Damit folgt aus dem umsortierten Schwerpunktsatz:

\left( {c_1 +c_2 } \right)y_{1 _{stat}} -c_2 y_{2 _{stat}}  = m_1 g

-c_2 y_{1 _{stat}} +c_2 y_{2 _{stat}}  = m_2 g

Die statische Durchsenkung der Masse 1 ist daher:

y_{1 _{stat}}  = \frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)g}} {{c_1 }}

und für die Masse 2:

y_{2 _{stat}}  = \left( {\frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}+\frac{{m_2 }} {{c_2 }}} \right)g

Die Koordinatentransformation

y_1 = x_1+y_{1stat}

und

y_2 = x_2+y_{2stat}

ermöglicht die Abspaltung der statischen Durchsenkungen und führt für die Wechselanteile der Auslenkungen x1,2 (samt zweiter und bei Berücksichtigung der Dämpfung erster Ableitung nach der Zeit) auf ein System von zwei gekoppelten DGLs:

m_1 \ddot x_1+\left( c_1+c_2 \right) x_1-c_2 x_2 = F_1 \left( t \right)

m_2 \ddot x_2-c_2 x_1+c_2 x_2 = F_2 \left( t \right)

Herleitung:

Ausgangsgleichungen

m_1 \ddot y_1 +\left( {c_1 +c_2 } \right)y_1 -c_2 y_2  = m_1 g+F_1 \left( t \right)

m_2 \ddot y_2 -c_2 y_1 +c_2 y_2  = m_2 g+F_2 \left( t \right)

y_{1 _{stat}}  = \frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)g}} {{c_1 }}

y_{2 _{stat}}  = \left( {\frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}+\frac{{m_2 }} {{c_2 }}} \right)g

y_1  = x_1 +y_{1stat}

y_2  = x_2 +y_{2stat}

Ableitung der Auslenkungen:

\dot y_1  = \dot x_1 +\underbrace {\dot y_{1stat} }_{ = 0} = \dot x_1

\dot y_2  = \dot x_2 +\underbrace {\dot y_{2stat} }_{ = 0} = \dot x_2

\ddot y_1  = \ddot x_1

\ddot y_2  = \ddot x_2

Alles in die Ausgangsgleichungen eingesetzt:

m_1 \ddot x_1 +\left( {c_1 +c_2 } \right)\left( {x_1 +y_{1stat} } \right)-c_2 \left( {x_2 +y_{2stat} } \right) = m_1 g+F_1 \left( t \right)

\Rightarrow m_1 \ddot x_1 +\left( {c_1 +c_2 } \right)\left( {x_1 +\frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}g} \right)-c_2 \left( {x_2 +\left( {\frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}+\frac{{m_2 }} {{c_2 }}} \right)g} \right)

= m_1 g+F_1 \left( t \right)

\Rightarrow m_1 \ddot x_1 +\left( {c_1 +c_2 } \right)x_1 +m_1 g+m_2 g+\frac{{c_2 \left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}g-c_2 x_2 -\frac{{c_2 \left( {m_1 +m_2 } \right)g}} {{c_1 }}

-m_2 g-m_1 g = F_1 \left( t \right)

\Rightarrow m_1 \ddot x_1 +\left( {c_1 +c_2 } \right)x_1 -c_2 x_2  = F_1 \left( t \right)

und

m_2 \ddot x_2 -c_2 \left( {x_1 +y_{1stat} } \right)+c_2 \left( {x_2 +y_{2stat} } \right) = m_2 g+F_2 \left( t \right)

\Rightarrow m_2 \ddot x_2 -c_2 \left( {x_1 +\frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)g}} {{c_1 }}} \right)+c_2 \left( {x_2 +\left( {\frac{{\left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}+\frac{{m_2 }} {{c_2 }}} \right)g} \right) = m_2 g+F_2 \left( t \right)

\Rightarrow m_2 \ddot x_2 -c_2 x_1 -\frac{{c_2 \left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}g+c_2 x_2 +\frac{{c_2 \left( {m_1 +m_2 } \right)}} {{c_1 }}g+m_2 g-m_2 g = F_2 \left( t \right)

\Rightarrow m_2 \ddot x_2 -c_2 x_1 +c_2 x_2  = F_2 \left( t \right)

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