11 – Separabilität (Beweis mit stückweise linearen Funktionen)

 

Der Raum der auf \left[ {0,1} \right] stetigen Funktionen

C\left[ {0,1} \right]

ist eine Teilmenge der auf \left[ {0,1} \right] beschränkten Funktionen

B\left[ {0,1} \right].

C\left[ {0,1} \right] ist normiert und ein Banachraum (vollständig und abgeschlossen).

Satz von Weierstrass: Die Menge der Polynome liegt dicht in C\left[ {0,1} \right], d.h. jede stetige Funktion auf \left[ {0,1} \right] kann beliebig gut durch ein Polynom approximiert werden.

Folgerung: C\left[ {0,1} \right] ist separabel.

Beweis

Elementarer Beweis der Separabilität von {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right] unter Verwendung von “stückweise linearen Funktionen”

1. Schritt

Für jedes \nu  \in \mathbb{N} zerlegen wir \left[ {0,1} \right] durch Teilpunkte

0,\frac{1} {\nu }, \ldots ,\frac{{\nu -1}} {\nu },1

in ν gleichgroße Teilintervalle

I_\mu ^{\left( \nu  \right)}: = \left[ {\frac{{\mu -1}} {\nu },\frac{\mu } {\nu }} \right],\mu  = 1, \ldots ,\nu

und erhalten ein “Gitter”

{\mathcal{G}^{\left( \nu  \right)}} = \left\{ {I_\mu ^{\left( \nu  \right)}:\mu  = 1, \ldots ,\nu } \right\}

Eine Funktion \varphi  \in {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right] heißt “stückweise linear” auf {\mathcal{G}^{\left( \nu  \right)}}, wenn sie linear ist auf jedem Teilintervall I_\mu ^{\left( \nu  \right)}

Eine solche Funktion \varphi ist durch ihre \nu +1 “Eckwerte”

\varphi \left( 0 \right),\varphi \left( {\frac{1} {\nu }} \right), \ldots ,\varphi \left( {\frac{{\nu -1}} {\nu }} \right),\varphi \left( 1 \right)

eindeutig bestimmt.

Damit ist

\mathcal{C}_\nu ^{\left( \mathbb{R} \right)} = \left\{ {\varphi  \in {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right]} \right\} abzählbar für jedes \nu  \in \mathbb{N}

mit \varphi stückweise linear und rationalen Eckwerten

Dann ist auch

{\mathcal{C}^{\left( \mathbb{R} \right)}} = \bigcup\limits_{\nu  \in \mathbb{N}} {\mathcal{C}_\nu ^{\left( \mathbb{R} \right)}}

abzählbar.

2. Schritt

Wir zeigen nun, dass die Funktionen dicht liegen.

Sei f \in {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right] gegeben. Dann wird für jedes \nu  \in \mathbb{N} durch die \nu +1 Funktionswerte

f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1} {\nu }} \right), \ldots ,f\left( {\frac{{\nu -1}} {\nu }} \right),f\left( 1 \right)

eine stückweise lineare Funktion {f_\nu } mit diesen Werten als Stützwerten bestimmt.

Wir zeigen:

\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to \infty } {f_\nu } = f (gleichmäßige Konvergenz) in C\left[ {0,1} \right]

f ist auf \left[ {0,1} \right] sogar gleichmäßig stetig, das heißt

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta \left( \varepsilon  \right) > 0:\left| {f\left( t \right)-f\left( {t^{\prime}} \right)} \right| < \varepsilon \forall t,t^{\prime} \in \left[ {0,1} \right]:\left| {t-t^{\prime}} \right| < \delta

Mit {t_\nu } werde derjenige Teilpunkt des Gitters {\mathcal{G}^{\left( \nu  \right)}} bezeichnet, der einem vorgegebenen {t_0} \in \left[ {0,1} \right] links am nächsten kommt. Dann ist

\left| {{t_0}-{t_\nu }} \right| < \frac{1} {\nu } < \delta \left( \varepsilon  \right)

falls \nu  > n\left( \varepsilon  \right) = \left\lceil {\delta {{\left( \varepsilon  \right)}^{-1}}} \right\rceil (kleinste ganze Zahl \geq \delta {\left( \varepsilon  \right)^{-1}})

Nach

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta \left( \varepsilon  \right) > 0:\left| {f\left( t \right)-f\left( {t^{\prime}} \right)} \right| < \varepsilon \forall t,t^{\prime} \in \left[ {0,1} \right]:\left| {t-t^{\prime}} \right| < \delta

gilt

\left| {f\left( {{t_0}} \right)-f\left( {{t_\nu }} \right)} \right| < \varepsilon \forall \nu  > n\left( \varepsilon  \right)

Außerdem ist wegen der Linearität von {f_\nu } auf I_\mu ^{\left( \nu  \right)}

\left| {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)-{f_\nu }\left( {{t_0}} \right)} \right| \leq \max \left\{ {\left| {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)-{f_\nu }\left( t \right)} \right|} \right\},t \in I_\mu ^{\left( \nu  \right)}

\leq \left| {{f_\nu }\left( {\frac{{\mu -1}} {\nu }} \right)-{f_\nu }\left( {\frac{\mu } {\nu }} \right)} \right| = \left| {f\left( {\frac{{\mu -1}} {\nu }} \right)-f\left( {\frac{\mu } {\nu }} \right)} \right| < \varepsilon

da ja

\left| {\frac{{\mu -1}} {\nu }-\frac{\mu } {\nu }} \right| = \left| {\frac{{-1}} {\nu }} \right| = \frac{1} {\nu } < \frac{1} {{n\left( \varepsilon  \right)}} \leq \delta \left( \varepsilon  \right)

Die Addition der beiden Ungleichungen (mit und ohne ν) liefert

\left| {f\left( {{t_0}} \right)-{f_\nu }\left( {{t_0}} \right)} \right| \leq \left| {f\left( {{t_0}} \right)-\underbrace {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)}_{ = f\left( {{t_\nu }} \right)}} \right|+\left| {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)-{f_\nu }\left( {{t_0}} \right)} \right| < \varepsilon +\varepsilon  = 2\varepsilon

für alle \nu  > n\left( \varepsilon  \right),\forall {t_0} \in \left[ {0,1} \right]

\Rightarrow \left\| {f-{f_\nu }} \right\| < 2\varepsilon \forall \nu  > n\left( \varepsilon  \right)