11 – Separabilität (Beweis mit stückweise linearen Funktionen)

Der Raum der auf $\left[ {0,1} \right]$ stetigen Funktionen

$C\left[ {0,1} \right]$

ist eine Teilmenge der auf $\left[ {0,1} \right]$ beschränkten Funktionen

$B\left[ {0,1} \right]$ .

$C\left[ {0,1} \right]$ ist normiert und ein Banachraum (vollständig und abgeschlossen).

Satz von Weierstrass: Die Menge der Polynome liegt dicht in $C\left[ {0,1} \right]$ , d.h. jede stetige Funktion auf $\left[ {0,1} \right]$ kann beliebig gut durch ein Polynom approximiert werden.

Folgerung: $C\left[ {0,1} \right]$ ist separabel.

Beweis

Elementarer Beweis der Separabilität von ${C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right]$ unter Verwendung von “stückweise linearen Funktionen”

1. Schritt

Für jedes $\nu \in \mathbb{N}$ zerlegen wir $\left[ {0,1} \right]$ durch Teilpunkte

$0,\frac{1} {\nu }, \ldots ,\frac{{\nu -1}} {\nu },1$

in ν gleichgroße Teilintervalle

$I_\mu ^{\left( \nu \right)}: = \left[ {\frac{{\mu -1}} {\nu },\frac{\mu } {\nu }} \right],\mu = 1, \ldots ,\nu$

und erhalten ein “Gitter”

${\mathcal{G}^{\left( \nu \right)}} = \left\{ {I_\mu ^{\left( \nu \right)}:\mu = 1, \ldots ,\nu } \right\}$

Eine Funktion $\varphi \in {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right]$ heißt “stückweise linear” auf ${\mathcal{G}^{\left( \nu \right)}}$ , wenn sie linear ist auf jedem Teilintervall $I_\mu ^{\left( \nu \right)}$

Eine solche Funktion $\varphi$ ist durch ihre $\nu +1$ “Eckwerte”

$\varphi \left( 0 \right),\varphi \left( {\frac{1} {\nu }} \right), \ldots ,\varphi \left( {\frac{{\nu -1}} {\nu }} \right),\varphi \left( 1 \right)$

eindeutig bestimmt.

Damit ist

$\mathcal{C}_\nu ^{\left( \mathbb{R} \right)} = \left\{ {\varphi \in {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right]} \right\}$ abzählbar für jedes $\nu \in \mathbb{N}$

mit $\varphi$ stückweise linear und rationalen Eckwerten

Dann ist auch

${\mathcal{C}^{\left( \mathbb{R} \right)}} = \bigcup\limits_{\nu \in \mathbb{N}} {\mathcal{C}_\nu ^{\left( \mathbb{R} \right)}}$

abzählbar.

2. Schritt

Wir zeigen nun, dass die Funktionen dicht liegen.

Sei $f \in {C^\mathbb{R}}\left[ {0,1} \right]$ gegeben. Dann wird für jedes $\nu \in \mathbb{N}$ durch die $\nu +1$ Funktionswerte

$f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1} {\nu }} \right), \ldots ,f\left( {\frac{{\nu -1}} {\nu }} \right),f\left( 1 \right)$

eine stückweise lineare Funktion ${f_\nu }$ mit diesen Werten als Stützwerten bestimmt.

Wir zeigen:

$\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {f_\nu } = f$ (gleichmäßige Konvergenz) in $C\left[ {0,1} \right]$

$f$ ist auf $\left[ {0,1} \right]$ sogar gleichmäßig stetig, das heißt

$\forall \varepsilon > 0\exists \delta \left( \varepsilon \right) > 0:\left| {f\left( t \right)-f\left( {t^{\prime}} \right)} \right| < \varepsilon \forall t,t^{\prime} \in \left[ {0,1} \right]:\left| {t-t^{\prime}} \right| < \delta$

Mit ${t_\nu }$ werde derjenige Teilpunkt des Gitters ${\mathcal{G}^{\left( \nu \right)}}$ bezeichnet, der einem vorgegebenen ${t_0} \in \left[ {0,1} \right]$ links am nächsten kommt. Dann ist

$\left| {{t_0}-{t_\nu }} \right| < \frac{1} {\nu } < \delta \left( \varepsilon \right)$

falls $\nu > n\left( \varepsilon \right) = \left\lceil {\delta {{\left( \varepsilon \right)}^{-1}}} \right\rceil$ (kleinste ganze Zahl $\geq \delta {\left( \varepsilon \right)^{-1}}$ )

Nach

gilt

$\left| {f\left( {{t_0}} \right)-f\left( {{t_\nu }} \right)} \right| < \varepsilon \forall \nu > n\left( \varepsilon \right)$

Außerdem ist wegen der Linearität von ${f_\nu }$ auf $I_\mu ^{\left( \nu \right)}$

$\left| {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)-{f_\nu }\left( {{t_0}} \right)} \right| \leq \max \left\{ {\left| {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)-{f_\nu }\left( t \right)} \right|} \right\},t \in I_\mu ^{\left( \nu \right)}$

$\leq \left| {{f_\nu }\left( {\frac{{\mu -1}} {\nu }} \right)-{f_\nu }\left( {\frac{\mu } {\nu }} \right)} \right| = \left| {f\left( {\frac{{\mu -1}} {\nu }} \right)-f\left( {\frac{\mu } {\nu }} \right)} \right| < \varepsilon$

da ja

$\left| {\frac{{\mu -1}} {\nu }-\frac{\mu } {\nu }} \right| = \left| {\frac{{-1}} {\nu }} \right| = \frac{1} {\nu } < \frac{1} {{n\left( \varepsilon \right)}} \leq \delta \left( \varepsilon \right)$

Die Addition der beiden Ungleichungen (mit und ohne ν) liefert

$\left| {f\left( {{t_0}} \right)-{f_\nu }\left( {{t_0}} \right)} \right| \leq \left| {f\left( {{t_0}} \right)-\underbrace {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)}_{ = f\left( {{t_\nu }} \right)}} \right|+\left| {{f_\nu }\left( {{t_\nu }} \right)-{f_\nu }\left( {{t_0}} \right)} \right| < \varepsilon +\varepsilon = 2\varepsilon$