10 – Separabilität (Beweis durch Widerspruch)

 

Beispiel eines linearen Raumes:

B\left[ {0,1} \right]

Beispiel einer Norm: Supremumsnorm

B\left[ {0,1} \right] mit der Supremumsnorm ist ein normierter Raum und ein Banach-Raum.

Mit Hilfe eines Beweises durch Widerspruch beweisen wir nun, dass der Raum nicht separabel ist.

Annahme

B\left[ {0,1} \right] ist separabel. Das heißt nach Definition gibt es eine Folge {\left\{ {{f_\nu }} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}} mit \overline {\bigcup\limits_{\nu  \in \mathbb{N}} {{f_\nu }} }  = B\left[ {0,1} \right]

(Der Abschluss der Vereinigung entspricht dem Raum)

Beweis

Wir zeigen:

\bigcup\limits_{\nu  \in \mathbb{N}} {{K_{\frac{1} {3}}}\left( {{f_\nu }} \right)}  = B\left[ {0,1} \right]

wobei

{K_\varepsilon }\left( {{f_\nu }} \right) = \left\{ {f \in B\left[ {0,1} \right]} \right\}:\left\| {f-{f_\nu }} \right\| \leq \varepsilon

abgeschlossene Kugel.

Wegen B\left[ {0,1} \right] separabel gilt für jedes f \in B\left[ {0,1} \right]

f = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_{{\nu _k}}}

für eine geeignete Teilfolge {\left\{ {{f_{{\nu _k}}}} \right\}_k}.

Das heißt zu einem beliebigen \varepsilon  > 0 gibt es ein

n\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}:\left\| {{f_{{\nu _k}}}-f} \right\| < \varepsilon \forall k > n\left( \varepsilon  \right)

und damit insbesondere

f \in {K_{\frac{1} {3}}}\left( {{f_{{\nu _k}}}} \right)\forall k > n\left( {\frac{1} {3}} \right)

womit die Behauptung gezeigt ist.

Wir definieren nun für jedes \tau  \in \left[ {0,1} \right]

die Indikatorfunktion

{f_\tau }\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & {\forall t \ne \tau }  \\    1 & {t = \tau }  \\   \end{array} } \right.

dabei sind die Indikatorfunktionen {f_\tau } \in B\left[ {0,1} \right]

{\left\{ {{f_\tau }} \right\}_{\tau  \in \left[ {0,1} \right]}} ist eine überabzählbare Teilmenge von B.

Schubfachschluss

Es gibt mehr Funktionen als Kugeln (laut Definition Separabilität), daher müssen in mindestens einer Kugel der Überdeckung mehr als eine Funktion sein.

Es gibt also in einer Kugel mindestens zwei verschiedene Elemente von {\left\{ {{f_\tau }} \right\}_{\tau  \in \left[ {0,1} \right]}}, d.h. es gibt ein {\nu _0} \in \mathbb{N}

und {\tau _1},{\tau _2} \in \left[ {0,1} \right],{\tau _1} \ne {\tau _2}

und {f_{{\tau _1}}} \in {K_{\frac{1} {3}}}\left( {{f_{{\nu _0}}}} \right) und {f_{{\tau _2}}} \in {K_{\frac{1} {3}}}\left( {{f_{{\nu _0}}}} \right)

Damit ist

\left\| {{f_{{\tau _1}}}-{f_{{\tau _2}}}} \right\| \leq \left\| {{f_{{\tau _1}}}-{f_{{\nu _0}}}} \right\|+\left\| {{f_{{\nu _0}}}-{f_{{\tau _2}}}} \right\| \leq \frac{1} {3}+\frac{1} {3} = \frac{2} {3}

Im Widerspruch zu

\left\| {{f_{{\tau _1}}}-{f_{{\tau _2}}}} \right\| = \sup \left\{ {\left| {{f_{{\tau _1}}}\left( t \right),{f_{{\tau _2}}}\left( t \right)} \right|} \right\},t \in \left[ {0,1} \right] = 1 wegen {\tau _1} \ne {\tau _2}