15.1 – Separationsansatz, Anfangsrandwertproblem

 

Lösen Sie das Anfangsradwertproblem

{u_t}-{u_{xx}} = 0\quad \left( {x,t} \right) \in \left( {0,\pi } \right) \times {\mathbb{R}^+}

-{u_x}\left( {0,t} \right) = {u_x}\left( {\pi ,t} \right) = 0,\quad t \in {\mathbb{R}^+}

u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right)\quad x \in \left( {0,1} \right)

mit dem Separationsansatz,

a )

{u_0}\left( x \right) = 9+3\cos \left( x \right)+5\cos \left( {4x} \right) und plotten Sie die Lösunge für t = 0,\quad 0,05\quad 0,2

b )

{u_0}\left( x \right) = x und plotten Sie die Lösung für t = 0\quad 0,01\quad 0,1 .

Lösung

a )

Separationsansatz:

u\left( {x,t} \right) = X\left( x \right) \cdot T\left( t \right)

in die DGL einsetzten:

{T^\prime }\left( t \right)X\left( x \right)-T\left( t \right)X^{\prime\prime} \left( x \right) = 0

\Rightarrow  -\frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\frac{{{T^\prime }}}{T} = \lambda

Die linke Seite (LHS – LeftHandSide) ist nur von X, die rechte Seite (RHS – RightHandSide) nur von t abhängig.

Also müssen wir die Eigenfunktion von

-X^{\prime\prime} = \lambda X

bestimmen:

Für den Fall \lambda = 0

folgt:

\Rightarrow -X^{\prime\prime} = 0

Ansatz:

X = ax+b

Randbedingung:

{X^\prime }\left( 0 \right) = 0,\quad {X^\prime }\left( \pi \right) = 0

\Rightarrow a = 0,\quad b = bel.,\quad X = 1

Für den Fall \lambda > 0

folgt:

\Rightarrow -X^{\prime\prime} -\lambda X = 0

Charakteristisches Polynom:

{\chi ^2}-\lambda = 0

-{\chi ^2} = \lambda

\chi = \pm i\sqrt \lambda

also:

X = {{\tilde c}_1}{e^{i\sqrt \lambda x}}+{{\tilde c}_2}{e^{-i\sqrt \lambda x}} =

= {c_1}\frac{{{e^{ix}}}}{2}+\frac{{{c_1}}}{2}{e^{-ix}}+\frac{{{c_2}}}{2}{e^{ix}}-\frac{{{c_2}}}{2}{e^{-ix}}

= \frac{{\overbrace {{c_1}+{c_2}}^{{{\tilde c}_1}}}}{2}{e^{ix}}+\frac{{\overbrace {{c_1}-{c_2}}^{{{\tilde c}_2}}}}{2}{e^{-ix}}

= {c_1}cos\left( {\sqrt \lambda \cdot x} \right)+{c_2}\sin \left( {\sqrt \lambda \cdot x} \right)

Randbedingung:

{X^\prime }\left( 0 \right) = 0\quad {X^\prime }\left( \pi \right) = 0

\Rightarrow X = \cos \left( {\sqrt \lambda \cdot x} \right)

Gut zu wissen:

\cos \left( x \right) = \frac{{{e^{ix}}+{e^{-ix}}}}{2}

\sin \left( x \right) = \frac{{{e^{ix}}-{e^{-ix}}}}{2}

Für den Fall: \lambda < 0

folgt:

\Rightarrow -X^{\prime\prime} = \lambda X

Charakteristisches Polynom:

\chi = \pm \sqrt {\left| \lambda \right|}

Lösungen:

X = {c_1}{e^{\sqrt {\left| \lambda \right|} \cdot x}}+{c_2}{e^{-\sqrt {\left| \lambda \right|} \cdot x}}

Randwerte:

{X^\prime }\left( 0 \right) = 0,\quad {X^\prime }\left( {\pi = 0} \right)

\Rightarrow {c_1} = {c_2} = 0

Es gibt keine weiteren Eigenfunktionen.

X = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\cos \left( {kx} \right)}

Es bleibt noch:

-\frac{{{T^\prime }}}{T} = \lambda

-{T^\prime } = \lambda T

T = {e^{-\lambda t}}

damit \lambda passt, müssen wir \lambda als Eigenwert von -X^{\prime\prime} = \lambda X wählen, also \lambda \geq 0.

D.h. es ergibt sich eine mit zunehmender Zeit fallenden e-Funktion.

u = \sum\limits_{\lambda = 0}^\infty {{a_\lambda }\cos \left( {\lambda x} \right){e^{-{\lambda ^2}t}}}

mit den Anfangswerten

{u_0} = 9+3cos\left( x \right)+5\cos \left( {4x} \right)

ergibt sich die Lösung:

u = 9 \cdot {e^0}+3\cos \left( x \right) \cdot {e^{-t}}+5 \cdot \cos \left( {4x} \right) \cdot {e^{-16t}}

(wir haben hier aus der Reihendarstellung die entsprechenden Glieder ausgewählt, die übrigen verschwinden)

b )

{u_0}\left( x \right) = x

Wir entwickeln das Ganze als Cosinusreihe!

Setze {u_0}\left( x \right) = x achsensymmetrische fort (2\pi-periodisch). Das ist auch eine Fourier-Reihe.

\Rightarrow \frac{2}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {\left| x \right|\cos \left( {kx} \right)dx} = 2 \cdot \frac{2}{{2\pi }}\int_0^\pi {x \cdot \cos \left( {kx} \right)dx}

Also:

{c_0} = \frac{2}{\pi }\int_0^\pi {xdx} = \frac{2}{\pi }\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^\pi = \pi

und

{c_k} = \frac{2}{\pi }\int_0^\pi {x\cos \left( {kx} \right)dx} = \frac{2}{\pi }\left[ {\frac{{x\sin \left( {kx} \right)}}{k}+\frac{{\cos \left( {kx} \right)}}{{{k^2}}}} \right]_0^\pi

darauf kommt man durch Nachlesen in der Formelsammlung oder aufwendige Herleitung.

= \frac{2}{\pi }\left[ {\underbrace {\frac{{\pi \sin \left( {k\pi } \right)}}{k}}_{ = 0}+\underbrace {\frac{{\cos \left( {k\pi } \right)}}{{{k^2}}}}_{\frac{{{{\left( {-1} \right)}^k}}}{{{k^2}}}}-0-\frac{{\cos \left( 0 \right)}}{{{k^2}}}} \right] = \frac{2}{\pi }\frac{{{{\left( {-1} \right)}^k}-1}}{{{k^2}}}

also ist

{u_0} = \frac{\pi }{2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{2}{\pi }\left( {\frac{{{{\left( {-1} \right)}^k}-1}}{{{k^2}}}} \right)\cos \left( {kx} \right)}

\Downarrow

u = \frac{\pi }{2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{\pi }\left( {\frac{{{{\left( {-1} \right)}^k}-1}}{{{k^2}}}} \right)\cos \left( {kx} \right) \cdot {e^{-{k^2}t}}} \right)}