12.1 – Separationsansätze – dreidimensionaler Würfel

 

Gegeben ist der dreidimensionale Würfel W = \left\{ {0 < x < \pi ,0 < y < \pi ,0 < z < \pi } \right\} und das Randwertproblem

-\Delta u = 0\quad in\quad W

u\left( {\pi ,y,z} \right) = g\left( {y,z} \right)

u\left( {0,y,z} \right) = u\left( {x,0,z} \right) = u\left( {x,y,0} \right) = 0

u\left( {x,\pi ,z} \right) = u\left( {x,y,\pi } \right) = 0

Lösen Sie das Problem mit dem Ansatz

u\left( {x,y,z} \right) = X\left( x \right)Y\left( y \right)Z\left( z \right)

Lösung

W = {\left( {0,\pi } \right)^3}

-\Delta u = 0\quad in\quad W

u\left( {\pi ,y,z} \right) = g\left( {x,y} \right)

u\left( {x,y,z} \right) = 0 Rest von \partial W

Gesucht ist die Funktion u.

Ansatz

u\left( {x,y,z} \right) = X\left( x \right)Y\left( y \right)Z\left( z \right)

Damit ist

-\Delta u = -X^{\prime\prime} YZ-Y^{\prime\prime} XZ-Z^{\prime\prime} XY = 0\quad |:XYZ

-\frac{X^{\prime\prime}}{X}-\frac{Y^{\prime\prime}}{Y}-\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = 0

Das heißt:

-\frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{Y^{\prime\prime}}{Y}+\frac{Z^{\prime\prime}}{Z}

-\frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \frac{X^{\prime\prime}}{X}+\frac{Z^{\prime\prime}}{Z}

-\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = \frac{X^{\prime\prime}}{X}+\frac{Y^{\prime\prime}}{Y}

Die linke und rechte Seite hängt jeweils von verschiedenen Variablen ab, daher müssen beide Seiten konstant sein.
Wir betrachten zunächst -\frac{Y^{\prime\prime}}{Y} und -\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} (homogene RB)

-{Y^{\prime \prime }} = {\lambda ^2}Y

Wird gelöst durch

\sin \left( {\lambda y} \right),\quad \cos \left( {\lambda y} \right)

Randbedingungen

Y\left( 0 \right) = 0,\quad Y\left( \pi  \right) = 0

Daher bleibt nur

Y = \sin \left( {\lambda y} \right)

analog:

-\frac{{{Z^{\prime \prime }}}}{Z} = {\mu ^2}\quad  \Rightarrow \quad Z = \sin \left( {\mu z} \right)

Welche Werte darf \lambda bzw \mu annehmen?

\quad  \Rightarrow \quad \lambda ,\mu  \in \mathbb{N}

Es bleibt noch das X:

-\frac{{{X^{\prime \prime }}}}{X} = \frac{{{Y^{\prime \prime }}}}{Y}+\frac{{{Z^{\prime \prime }}}}{Z} = -{\lambda ^2}-{\mu ^2}

-{X^{\prime \prime }}+\left( {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} \right)X = 0,\quad X\left( 0 \right) = 0,\quad X\left( \pi  \right) = g

Charakteristisches Polynom:

-{\chi ^2}+\left( {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad {\chi _{1,2}} =  \pm \sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}}

Daraus folgt die Lösung:

X = {C_1}{e^{\sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} x}}+{C_2}{e^{-\sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} x}}

Zur Bestimmung der Konstanten benutzen wir die beiden Randbedingungen:

X\left( 0 \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad {C_1} = -{C_2}

\Rightarrow \quad X = {C_1}{e^{\sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} x}}-{C_1}{e^{-\sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} x}} = {C_1}\sinh \left( {\sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} x} \right)

Gesamtlösung

u = \sum\limits_{\lambda  = 1}^\infty  {\sum\limits_{\mu  = 1}^\infty  {{C_{\lambda ,\mu }}\sinh \left( {\sqrt {{\lambda ^2}+{\mu ^2}} x} \right)\sin \left( {\lambda y} \right)\sin \left( {\mu z} \right)} }

Bestimmung der letzten Konstante:

Entwicklung der Funktion g als sin-sin-Reihe, anschließend Koeffizientenvergleich.