01.2 – Skalarprodukt und Topologie

 
  1. Diskutieren Sie Norm und Skalarprodukt in \mathbb{R}^n.
  2. Wiederholen Sie die Begriffe
    • offene Menge
    • abgeschlossene Menge
    • zusammenhängende Menge
    • Gebiet
    • Rand
  3. Was bedeutet glatt berandet?

Lösung

a)

  • Summennorm: \left\| x \right\|_1 = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x_i } \right|}
  • Euklidische Norm: \left\| x \right\|_2 = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 } }
  • p-Norm: \left\| x \right\|_p = \sqrt[p]{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x_i } \right|^p } }}
  • \infty-Norm / Maxnorm: \left\| x \right\|_\infty = \max \left| {x_i } \right|

Betrachte \left\| x \right\|_p = 1 für p = 1,2,\infty:

Grafik

grün (innen) für p = 1
blau für p = 2

Siehe auch: dieser Artikel

Definition des Skalarprodukts im \mathbb{R}^n:

\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i } = x_1 y_1 + \ldots +x_n y_n

oder auch:

\left( {x,y} \right) = \left| x \right| \cdot \left| y \right| \cdot \cos \alpha

Anderes Skalarprodukt im \mathbb{R}^n:

A \in \mathbb{R}^{n \times n} sei eine s.p.d. (symmetrisch positiv definite) Matrix.

\left( {x,y} \right)_A = x^T A\:y ist auch ein Skalarprodukt.

b)

Sei X ein normierter Raum, Ω eine Menge und \Omega \subset X.

  • offene Menge: Um jeden Punkt von Ω gibt es eine Kugel / Umgebung, die in Ω liegt.
  • abgeschlossene Menge: Der Grenzwert aller Folgen in Ω liegt in Ω.
  • Abschluss von Ω: - \overline \Omega = \left\{ {\Omega \cup alle\:H\ddot aufungspunkte\:von\:\Omega } \right\}</li> <li>-
    (Unter Häufungspunkt versteht man die Punkte, von denen jede noch so kleine Umgebung auf jeden Fall einen Teil der Menge enthält. So z.B. der Rand einer offenen Menge.)
  • zusammenhängende Menge:
    anschaulich: Wenn x,y \in \Omega, dann ist auch der Weg zwischen x,y in Ω.
    Eigentliche (unhandliche) Definition:
    Ω heißt zusammenhängend, falls es KEINE Zerlegung gibt mit:
    \Omega = U \cup V wobei U,V disjunkt, offen und nicht leer sind.

    Die Menge M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| > 1} \right\} ist z.B. nicht zusammenhängend, da es eine solche Zerlegung gibt.

  • Gebiet: offen, zusammenhängend, nicht leer
  • Rand von Ω:
    \overline \Omega = \backslash \operatorname{int} \left( \Omega \right)
    int Ω = {inneres / interior von Ω} = \left\{ {x \in \Omega :Kugelschale\:um\:x \subset \Omega } \right\}
    Grafik

c)

glatt berandet:
In jedem Punkt des Randes ist der Rand (lokal) als glatte Funktion beschreibbar.
Dies bedeutet, dass die Ableitung der Funktion stetig sein muss.
Wie glatt die Funktion ist kommt darauf an, bis zu welcher Ableitung sie stetig bleibt:
C^{0,1} \quad C^1 \quad C^2 \quad \ldots \quad C^\infty

Im folgenden Bild ist eine Stelle markiert, durch welche die Menge Ω nicht mehr glatt berandet ist:

Grafik

——
\mathcal{J}\mathcal{K}