3.4 – Der Sobolev-Raum Hs[0,2π]

 

Definition: Sei 0 \leq s < \infty. Dann ist {H^s}\left[ {0,2\pi } \right] der Raum aller Funktionen \varphi \in {L^2}\left( {0,2\pi } \right) mit der Eigenschaft

\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^s}{{\left| {{a_k}} \right|}^s}} < \infty

für die Fourier-Koeffizienten {a_k} von \varphi.

Beispiel: Für s = 0 ist {H^0}\left[ {0,2\pi } \right] = {L^2}\left[ {0,2\pi } \right].

Durch die Definition des Funktionenraums {H^s}\left[ {0,2\pi } \right] macht es Sinn, die Norm

{\left\| \varphi \right\|_s}: = \sqrt {\sum\limits_k {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^s}{{\left| {{a_k}} \right|}^2}} }

und das zugehörige Skalarprodukt

{\left\langle {\varphi ,\psi } \right\rangle _s}: = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^s}{a_k}{{\bar b}_k}}

zu definieren. Wegen der einfachen Ungleichung {k^2} \leq 1+{k^2} \leq 2{k^2} ist diese Norm äquivalent zu der oben auf {H^s}\left[ {0,1} \right] definierten.

Satz: {H^s}\left[ {0,2\pi } \right] mit dem Skalarprodukt {\left\langle {\: \cdot \:,\: \cdot \:} \right\rangle _s} ist ein Hilbert-Raum. Die trigonometrischen Polynome liegen dicht in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right].

Satz: Für {s_2} > {s_1} \geq 0 gilt {H^{{s_2}}}\left[ {0,2\pi } \right] \subset {H^{{s_1}}}\left[ {0,2\pi } \right] mit dichter und kompakter Einbettung.

Wir führen nun zwei weitere Norm ein, die äquivalent zu {\left\| {\: \cdot \:} \right\|_s} sind.

Satz: Sei s = l \in \mathbb{N}, \varphi \in {C^l}\left[ {0,2\pi } \right] \subset {H^l}\left[ {0,2\pi } \right], dann definiert

{\left\| \varphi \right\|_{l,0}}: = \sqrt {\int\limits_0^{2\pi } {{{\left| {\varphi \left( t \right)} \right|}^2}+{{\left| {{\varphi ^{\left( l \right)}}\left( t \right)} \right|}^2}dt} }

eine zu {\left\| {\: \cdot \:} \right\|_s} äquivalente Norm.

Satz: Sei s = k+p, k \in \mathbb{N}, 0 < p < 1. Dann definiert

{\left\| \varphi \right\|_{k,p}}: = \sqrt {\left\| \varphi \right\|_0^2+\left\| {{\varphi ^{\left( k \right)}}} \right\|_{0,p}^2}

für \varphi \in {C^{k+1}}\left[ {0,2\pi } \right] eine zu {\left\| {\: \cdot \:} \right\|_s} äquivalente Norm.

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