Aufgabe 01 – Spannungsverteilung vor Rissspitze in ausgedehnter Flachprobe

 

Die Spannungsverteilung {\sigma _{ij}} vor der Rissspitze einer unendlich ausgedehnten Flachprobe mit Innenriss folgt der folgenden Beziehung:

{\sigma _{ij}}\left( x \right) = \frac{{{K_I}}}{{\sqrt {2\pi x} }}\cdot {f_{ij}}\left( \Theta \right)

Zeichnen Sie den Spannungsverlauf {\sigma _y}\left( x \right) auf dem Ligament (entlang der Rissachse) für 1\mu m < x < 1mm in das beigefügte log-log-Diagramm für

  1. eine Stahlprobe (einseitig gekerbte Flachprobe, unendlich ausgedehnt) mit \sigma = 50MPa, a = 3mm, {R_{p0,2}} = 700MPa
  2. eine Probe aus hochfestem Aluminium [einseitig gekerbte Flachprobe, parallel geführt (l/w > 5)] mit \sigma = 30MPa, a = 0,5mm, w = 5mm, B = 2mm, {R_{p0,2}} = 300MPa sowie
  3. eine Probe nach b) jedoch mit \sigma = 50MPa und a = 4,5mm ein.
  4. Diskutieren Sie für a) bis c) die Randbedingungen x \to 0 bzw. x \to \infty !

Lösung

Bevor die “richtige” Rechnerei beginnt, sollte man sich über ein paar Randbedingungen bewusst werden.

Soweit keine Berandungsangaben vorliegen, kann immer der einfachste Fall angenommen werden. Weiter ist ein Innenriss im Allgemeinen symmetrisch. Damit ist bekannt (sofern nichts Sonstiges angegeben wird), dass für die Korrekturfunktion folgendes gilt:

\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {\frac{a}{w}} \right) = 1\quad \quad f\ddot u r\quad w = \infty } \\{f\left( {\frac{a}{w}} \right) = 1,12\quad \quad f\ddot u r\quad w = \frac{\infty }{2}} \\ \end{array}

a,d)

Da die Stahlprobe einseitig gekerbt ist, ist ersichtlich, dass die Probe nur eine halbunendliche Ausdehnung haben kann. Damit gilt für die Korrekturfunktion: f = 1,12

Für die Formel der Spannungsverteilung wird nun nur noch der Spannungsintensitätsfaktor {K_I} benötigt. Dieser hat die Einheit MPa\sqrt m , womit sich die Formel leicht erschließen lässt zu

{K_I} = \sigma \sqrt {\pi a} \cdot f

Werden nun die Werte eingesetzt ergibt sich

{K_I} = 50MPa\cdot \sqrt {\pi \cdot 3\cdot {{10}^{-3}}m}

{K_I} = 4,854

Es ist hierbei zu beachten, dass die Korrekturfunktion im Normalfall direkt in den Spannungsintensitätsfaktor eingefügt wird:

{K_I} = 50MPa\cdot \sqrt {\pi \cdot 3\cdot {{10}^{-3}}m} \cdot 1,12

{K_I} = 5,436

Nun kann mit oben gegebener Formel eine kleine Übersicht über die Spannungsverteilung berechnet werden.

\begin{array}{*{20}{c}}{x\left[ m \right]} &\vline & {{\sigma _{yy}}\left[ {MPa} \right]} \\ \hline{{{10}^{-6}}} &\vline & {2168} \\{{{10}^{-5}}} &\vline & {686} \\{{{10}^{-4}}} &\vline & {217} \\{{{10}^{-3}}} &\vline & {69} \\ \end{array}

Werden diese Werte, sowie ihre Entwicklung, nun mit der Realität verglichen, so ist ersichtlich, dass die Spannungen für x \to 0 gegen Unendlich geht. Bereits bei einem Abstand von x = {10^{-6}}m vom Riss beträgt die Spannung 2168MPa . Dies ist allerdings deutlich höher als die Streckgrenze {R_{p0,2}} = 700MPa . Folglich wäre die Probe schon lange zerstört, würden tatsächlich diese Kräfte wirken. Es muss also die Einschränkung getroffen werden, dass die vorhandene Spannung nicht die Streckgrenze übersteigen kann. Als Folge muss der Definitionsbereich der Spannungsfunktion eingeschränkt werden.

Wird nun die Entwicklung für x \to \infty betrachtet, so sieht man, dass die Spannung gegen 0 geht. Da allerdings eine äußere Spannung anliegt kann die Spannung im Bauteil nirgends unter diese äußere Spannung fallen.

b,d)

In diesem Fall muss die Formelsammlung zurate gezogen werden. Darin findet man die Formel der Korrekturfunktion für die parallele Probenführung. Diese lautet:

f\left( {\frac{a}{w}} \right) = \frac{5}{{\sqrt {20-13\frac{a}{w}-7\cdot {{\left( {\frac{a}{w}} \right)}^2}} }}

Mit den gegebenen Werten kann nun die Korrekturfunktion bestimmt werden.

f\left( {\frac{{0,5mm}}{{5mm}}} \right) = \frac{5}{{\sqrt {20-13\frac{{0,5mm}}{{5mm}}-7\cdot {{\left( {\frac{{0,5mm}}{{5mm}}} \right)}^2}} }}

f\left( {0,1} \right) = 1,158

Damit kann auch hier eine kleine Übersicht berechnet werden:

\begin{array}{*{20}{c}}{x\left[ m \right]} &\vline & {{\sigma _{yy}}\left[ {MPa} \right]} \\ \hline{{{10}^{-6}}} &\vline & {549} \\{{{10}^{-5}}} &\vline & {174} \\{{{10}^{-4}}} &\vline & {55} \\{{{10}^{-3}}} &\vline & {17} \\ \end{array}

Auch hier wird wieder die Betrachtung der Grenzwerte aufgeführt.

Bei gleicher Problemstellung wie bereits in Aufgabe a) ist zu sehen, dass sowohl die Streckgrenze überschritten, als auch die äußere Spannung unterschritten wird.

c)

Bei dieser Aufgabe lohnt es sich zuerst die Randbedingungen zu prüfen. Wird der Wert \frac{a}{w} berechnet ergibt sich ein Wert von 0,9 .

Dies bedeutet, dass 90% der Probe bereits durch den Riss eingenommen wird. Weiter würde die plastische Zone (im Allgemeinen angenommen mit maximal 10% der Risslänge) bis zu 9% der Probe einnehmen. Damit würde der Riss bis zu 99% der Probenbreite durchlaufen.

Als Folge werden Proben mit solchen Rissen als “durchplastizitiert” bezeichnet. Allgemein kann gesagt werden, dass Risse, welche mehr als 70% der Probenbreite durchlaufen, nicht mehr als klein gegenüber der Probenabmessung bezeichnet werden können. Die Folge ist, dass die linear elastische Bruchmechanik ungültig ist. So kann gesagt werden, dass diese Aufgabe nicht mit der LEBM berechnet werden kann, womit die Aufgabe beendet ist.

d)

Zunächst werden die Ergebnisse der beiden gültigen Aufgabenteile betrachtet:

\begin{array}{*{20}{c}}{x\left[ m \right]} &\vline & {{\sigma _{yy}}\left[ {MPa} \right]} & {{R_{p0,2}} = 700MPa\quad \mid \quad {\sigma _\infty } = 50MPa} \\ \hline{{{10}^{-6}}} &\vline & {2168} & {700} \\{{{10}^{-5}}} &\vline & {686} & {686} \\{{{10}^{-4}}} &\vline & {217} & {217} \\{{{10}^{-3}}} &\vline & {69} & {69} \\ \end{array}

\begin{array}{*{20}{c}}{x\left[ m \right]} &\vline & {{\sigma _{yy}}\left[ {MPa} \right]} & {{R_{p0,2}} = 300MPa\quad \mid \quad {\sigma _\infty } = 30MPa} \\ \hline{{{10}^{-6}}} &\vline & {549} & {300} \\{{{10}^{-5}}} &\vline & {174} & {174} \\{{{10}^{-4}}} &\vline & {55} & {55} \\{{{10}^{-3}}} &\vline & {17} & {30} \\ \end{array}

Werden Spannungen oberhalb der Streckgrenze erreicht, dann wird alle weitere Spannung in plastische Verformungen umgewandelt, so dass die maximale vorliegende Spannung die Streckgrenze ist. (Angenommen, dass das Bauteil noch nicht zerstört ist)

Werden Spannungen unterhalb der äußeren Spannung erreicht, so zeigt sich, dass die Formel nicht allgemein gültig sein kann. Als Folge ergibt sich diese Abwandlung der Formel:

{\sigma _{lokal}} = {\sigma _\infty }+\sigma \cdot \sqrt {\frac{a}{{2x}}}

Auch diese ist nur als Näherung zu betrachten, allerdings hat diese den Vorteil, dass für x \to \infty passende Werte ausgibt und ansonsten akzeptable Werte liefert.