05.1 – Spektralradius und induzierte Matrixnorm

 

Für eine Matrix A \in {\mathbb{R}^{n \times n}} heißt

\rho \left( A \right): = \max \left\{ {\left| \lambda  \right|} \right\} (\lambda ist Eigenwert von A)

Spektralradius von A. Zeigen Sie, dass für eine beliebige induzierte Matrixnorm \left\|  \cdot   \right\| die Ungleichung \rho \left( A \right) \leq \left\| A \right\| gilt.

Bemerkung: Mit etwas mehr Aufwand kann man folgenden Satz beweisen: Zu jeder Matrix A \in {\mathbb{R}^{n \times n}} und zu jedem \varepsilon  > 0 existiert eine Norm auf {\mathbb{R}^{n \times n}}, so dass

\left\| A \right\| \leq \rho \left( A \right)+\varepsilon

gilt.

Lösung

Zeige: \rho \left( A \right) \leq \left\| A \right\|

Sei \lambda  \in \mathbb{C} der betragsgrößte Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor v und \left\| v \right\| = 1.

Dann folgt:

\left\| A \right\| =  \sup \limits_{\left\| x \right\| = 1} \left\| {Ax} \right\| \geq \left\| {Av} \right\| = \left\| {\lambda v} \right\| = \left| \lambda  \right|\left\| v \right\| = \left| \lambda  \right| = \rho \left( A \right)