4 – Spezialfälle der instationären Wärmeleitung

 

Bei der instationären Wärmeleitung ist die Temperatur in Abhängigkeit von Ort und Zeit gesucht. Ausgangspunkt ist die Fouriersche Differentialgleichung/Wärmeleitungsgleichung. Ihre Form für eine Platte ohne Quellen lautet im Fall einer orts- und temperaturunabhängigen Wärmeleitfähigkeit:

\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}

Dabei ist

\alpha = \frac{k}{{\rho {c_V}}}

die Temperaturleitfähigkeit. Oft können vereinfachende Annahmen getroffen werden, die die Berechnung deutlich vereinfachen. Um diese einzuführen folgt zunächst zum besseren Verständnis eine kurze Wiederholung der Herleitung der Differentialgleichung.

Wir betrachten ein differentielles Volumenelement des Körpers:

wst-4-01-differentielles-volumenelement-warmestrom

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik liefert die Leistungsbilanz:

\frac{{dU}}{{dt}} = \sum\limits_i {{{\dot Q}_i}} +\dot W+{q^*}dV,\quad \quad U = m{c_V}T

Wir betrachten hier den Fall \dot W = {q^*}dV = 0.

Einsetzen der Gleichungen für die Wärmeströme führt auf eine Differentialgleichung, die wir anschließend entdimensionieren:

\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}},\quad \quad \tau = \operatorname{Fo} = \frac{{\alpha \cdot t}}{{{L^2}}}

Produktansatz:

\Theta = f\left( \tau \right) \cdot g\left( \xi \right)

\Rightarrow \quad \frac{{\dot f\left( \tau \right)}}{{f\left( \tau \right)}} = \frac{{{g^{\prime \prime }}\left( \xi \right)}}{{g\left( \xi \right)}} = \pm {\delta ^2}

Für die beiden entstandenen gewöhnlichen Differentialgleichungen verwenden wir verschiedene Ansätze.

f\left( \tau \right) = {C_A} \cdot {\text{exp}}\left\{ { \pm {\delta ^2} \cdot \tau } \right\}

Das positive \delta kann nicht sein bei einem Wärmeleitproblem, da sonst die Temperatur ohne irgendein Zutun exponentiell steigen würde.

g\left( \xi \right) = {C_B}\sin \left( {\delta \:\xi } \right)+{C_C}\cos \left( {\delta \:\xi } \right)

Insgesamt erhalten wir:

\Theta \left( {\tau ,\xi } \right) = {C_A} \cdot \exp \left\{ {-{\delta ^2}\tau } \right\} \cdot \left[ {{C_B}\sin \left( {\delta \xi } \right)+{C_C}\cos \left( {\delta \xi } \right)} \right]

Dies ist die allgemeine analytische Lösung der DGL.

Die Konstanten kennen wir nicht und auch nicht das \delta. Diese Größen sind problemspezifisch und müssen für jeden Fall einzeln bestimmt werden. Wie in Kapitel 1.2.5 beschrieben findet man unendlich viele Werte für die Koeffizienten und damit unendlich viele Lösungen. Diese müssen zur Gesamtlösung überlagert werden.

Problem auf konvektive Randbedingung zugeschnitten:

\Theta = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{C_k} \cdot \exp \left\{ {-\delta _k^2\operatorname{Fo} } \right\}f\left( {{\delta _k},\xi } \right),\quad \Theta = \frac{{T-{T_\infty }}}{{{T_0}-{T_\infty }}}}

4.1 Näherungslösung mit der Methode der Blockkapazität

Grundsätzlich beschreibt die Fouriersche Differentialgleichung für das Temperaturfeld in Verbindung mit den entsprechenden Randbedingungen Probleme der instationären Wärmeleitung. Da die Bestimmung von Lösungen dieser partiellen Differentialgleichung jedoch anspruchsvolle mathematische oder numerische Methoden erfordert, werden wir uns in diesem Abschnitt mit einer einfachen Näherungslösung befassen, die als Methode der Blockkapazität bekannt ist. Im Rahmen dieser Modellvorstellung geht man davon aus, dass örtliche Temperaturunterschiede innerhalb eines wärmeleitenden Körpers im Vergleich zu einer charakteristischen Temperaturdifferenz \Delta T vernachlässigbar klein bleiben:

\left| {T\left( {{{\vec x}_1},t} \right)-T\left( {{{\vec x}_2},t} \right)} \right| \ll \Delta T\quad \forall t,{\vec x_1},{\vec x_2}

Die Bezugstemperaturdifferenz \Delta T ist dabei dem vorliegenden Problem entsprechend zu wählen und kann z.B. die Differenz zwischen der Anfangstemperatur {T_0} des Körpers und der Umgebungstemperatur {T_\infty } sein. Bei instationären Wärmeübertragungsprozessen ist dann nur die Zeit-, nicht aber die Ortsabhängigkeit der Temperatur T zu berücksichtigen: T\left( {\vec x,t} \right) \approx T\left( t \right)

Diese Vereinfachung dürfen wir immer dann treffen, wenn die Wärmeleitung im Körper sehr gut ist im Vergleich zur konvektiven Wärmeübertragung am Rand. Dieser Fall entspricht einer kleinen Biot-Zahl:

\operatorname{Bi} = \frac{{h \cdot L}}{k} < 0,2

4.2 Näherungslösung für lange Zeiten (große Fourierzahlen)

Die Fourierreihe für die Lösung der Wärmeleitungsgleichung konvergiert für die ebene Platte, den Zylinder und die Kugel ziemlich rasch, so dass für nicht zu kleine Werte der Fourierzahl das erste Glied ausreichen kann. Es gilt dann näherungsweise:

\Theta \approx {C_1} \cdot \cos \left( {{\delta _1}\xi } \right) \cdot \exp \left\{ {-\delta _1^2 \cdot \tau } \right\}

Die Näherungslösung ist zulässig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Platte: \tau > 0,25
Zylinder: \tau > 0,23
Kugel: \tau > 0,18

Die Koeffizienten {C_1} und {\delta _1} werden in Abhängigkeit der Biot-Zahl tabelliert.

Hier die Werte für die ebene Platte, \tau > {\tau ^*} = 0,25:

\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{\operatorname{Bi} }}}&\vline & {{C_1}}&\vline & {{\delta _1}} \\ \hline {0,0}&\vline & {1,2732}&\vline & {1,5708} \\ {0,1}&\vline & {1,2620}&\vline & {1,4289} \\ {0,2}&\vline & {1,2402}&\vline & {1,3138} \\ {0,5}&\vline & {1,1784}&\vline & {1,0769} \\ {0,8}&\vline & {1,1379}&\vline & {0,9308} \\ {1,0}&\vline & {1,1191}&\vline & {0,8603} \\ {2,0}&\vline & {1,0701}&\vline & {0,6533} \\ {5,0}&\vline & {1,0311}&\vline & {0,4328} \\ {8,0}&\vline & {1,0199}&\vline & {0,3464} \\ {10,0}&\vline & {1,0161}&\vline & {0,3111} \\ {20,0}&\vline & {1,0082}&\vline & {0,2218} \\ {50,0}&\vline & {1,0033}&\vline & {0,1410} \\ {80,0}&\vline & {1,0021}&\vline & {0,1116} \\ {100,0}&\vline & {1,0017}&\vline & {0,0998} \end{array}

4.3 Instationäre Wärmeleitung im halbunendlichen Körper

Bei vielen Problemen betrachten wir Körper, die in eine Richtung sehr dick sind, so dass wir diese Dicke als unendlich annehmen können. Hierbei gibt es nicht wie bei den letzten Näherungslösungen einen Richtwert, sondern es muss problemabhängig entschieden werden.

4.3.1 Anfangs- und Randbedingungen

Wir betrachten einen Körper, der sich in x-Richtung unendlich ausdehnt. Die Anfangstemperaturverteilung ist in folgender Abbildung dargestellt:

wst-4-02-halbunendlicher-korper-anfangsbedingung

Der gesamte halbunendliche Körper hat eine konstante Temperatur, nur an der Oberfläche gibt es einen Sprung auf eine andere Temperatur. Mit der Zeit passt sich die Temperatur im Körper an die Oberflächentemperatur an, mit zunehmender Tiefe herrscht aber immer noch die konstante Starttemperatur:

wst-4-03-halbunendlicher-korper-temperaturverlauf-zeit

Die Temperatur hängt hier vom Ort und von der Zeit ab: T = T\left( {x,t} \right)

Die Wärmeleitungs-Differentialgleichung lautet:

\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}-\frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = 0

Anfangsbedingung:

T\left( {x > 0,t = 0} \right) = {T_0}

Für die Randbedingung gibt es verschiedene Möglichkeiten. Bei der Dirichlet-RB (1. Art) ist die Randtemperatur vorgeschrieben:

T\left( {x = 0,t} \right) = {T_S}

Bei der Neumann-RB (2. Art) ist der Wärmestrom über den Rand vorgegeben:

\dot q\left( {x = 0,t} \right) = {\dot q_S}

Die Robin-RB (3. Art) ist eine gemischte Randbedingung:

-k{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|_s} = h\left( {{T_\infty }-T\left( {x = 0,t} \right)} \right)

Veranschaulichung der verschiedenen Randbedingungen:

wst-4-04-halbunendlicher-korper-randbedingungen-vergleich

4.3.2 Selbstähnlichkeit

Ein Wärmeleitungsproblem hat meist zwischen 5 und 10 zu variierende Parameter. Um den Einfluss einer bestimmten Größe zu quantifizieren, wird man Versuche mit mindestens n (z.B. n = 5) verschiedenen Werten dieser Größe ausführen müssen, wobei alle anderen Einflussgrößen konstant gehalten werden. Will man insgesamt m Einflussgrößen auf diese Weise berücksichtigen, so sind {n^m} Einzelversuche erforderlich. Dies verlangt einen erheblichen Zeit- und Materialaufwand.

Eine wirksame Verringerung des Versuchsaufwands erreicht man durch Anwenden der Ähnlichkeits- oder Modelltheorie. Hierbei geht man von dem Grundsatz aus, dass sich die Geschwindigkeits- und Temperaturfelder durch dimensionslose Kenngrößen beschreiben lassen. Dieser Sachverhalt ist Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die Lösung eines physikalischen Problems unabhängig von dem zufällig gewählten Maßsystem sein und sich daher durch dimensionslose Variablen darstellen lassen muss. Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder, die in dimensionslosen Koordinaten übereinstimmen, bezeichnet man als ähnliche Felder. Sie lassen sich allein durch Maßstabsänderung, nämlich durch Ändern der Bezugsgrößen ineinander überführen.

Geschwindigkeits- und Temperaturfelder sind jedoch nur dann ähnlich, wenn auch die dimensionslosen Kennzahlen, von denen die Felder abhängen, übereinstimmen. Diese Kennzahlen enthalten geometrische Größen, maßgebende Geschwindigkeiten und Temperaturdifferenzen sowie Materialeigenschaften des wärmeübertragenden Fluids. Die Zahl der dimensionslosen Kenngrößen ist merklich geringer als die Zahl der insgesamt vorhandenen Einflussgrößen. Der experimentelle Aufwand wird erheblich verringert, denn man braucht nur noch den für das Wärmeübergangsproblem maßgebenden funktionalen Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Kennzahlen durch gezielte Experimente zu ermitteln.

Viele Probleme sind selbstähnlich. Bei ihnen kann man Ort und Zeit in einer Ähnlichkeitsvariablen zusammenfassen:

\eta = \frac{x}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}

T\left( {x,\tau } \right) = T\left( {\eta \left( {x,\tau } \right)} \right) = T\left( \eta \right)

Die Ableitungen mit dieser Ähnlichkeitsvariablen führen zu einer neuen Differentialgleichung:

\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = \frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}} = \frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}\frac{1}{{\sqrt {4\alpha \tau } }} = \frac{{{T^\prime }}}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}

\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = \frac{1}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}\frac{{\partial \frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}}}{{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}}

\Rightarrow \quad \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{{4\alpha \tau }}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {\eta ^2}}} = \frac{{{T^{\prime \prime }}}}{{4\alpha \tau }}

\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = \frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}\frac{{\partial \eta }}{{\partial \tau }} = \frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}\left( {-\frac{{\alpha x}}{{4{{\left( {\alpha \tau } \right)}^{3/2}}}}} \right)

= -\frac{{\partial T}}{{\partial \eta }}\frac{x}{{2{{\left( {\sqrt {\alpha \tau } } \right)}^3}}}\frac{\alpha }{2} = -{T^\prime }\underbrace {\frac{x}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}}_\eta \frac{1}{{2\tau }}

\Rightarrow \quad \frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = -{T^\prime }\frac{\eta }{{2\tau }}

Einsetzen in

\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}-\frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial \tau }} = 0

ergibt:

\frac{{{T^{\prime \prime }}}}{{4\alpha \tau }}-\frac{1}{\alpha }\left( {-{T^\prime }\frac{\eta }{{2\tau }}} \right) = 0\qquad | \cdot 4\alpha \tau

Es folgt die DGL für den Temperaturverlauf im halbunendlichen Körper:

{T^{\prime \prime }}+{T^\prime } \cdot 2\eta = 0

Wir wählen nun die Randbedingung 1. Art:

x = 0\quad \Leftrightarrow \quad \eta = 0,\quad T\left( {x = 0,\tau } \right)\mathop = \limits^! {T_S}\quad \Rightarrow \quad T\left( {\eta = 0} \right) = {T_S}

Auch die Anfangsbedingung bezieht sich nun auf die Ähnlichkeitsvariable: \tau \to 0\quad \Leftrightarrow \quad \eta \to \infty \quad \left( {x \to \infty } \right),\quad T\left( {x,\tau \to 0} \right)\mathop = \limits^! {T_0}\quad \Rightarrow \quad T\left( {\eta \to \infty } \right) = {T_0}

Im Unendlichen wird der Temperatursprung niemals ankommen. Dort herrscht immer die konstante Anfangstemperatur.

4.3.3 Lösung der Differentialgleichung

Da die Temperatur nun nicht mehr ohne Ableitung vorkommt, können wir durch Substitution aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung eine Gleichung erster Ordnung machen:

y\left( \eta \right) = \frac{{\partial T}}{{\partial \eta }} = {T^\prime }

\Rightarrow \quad \frac{{dy}}{{d\eta }}+2\eta y = 0

Diese einfache Gleichung können wir mit der Methode “Trennung der Veränderlichen” lösen.

\Rightarrow \quad \frac{1}{y}dy = -2\eta d\eta \qquad \left| {\int {} } \right.

\Rightarrow \quad \ln y = -{\eta ^2}+c

\Rightarrow \quad y = \exp \left\{ c \right\} \cdot \exp \left\{ {-{\eta ^2}} \right\} = {c_1} \cdot \exp \left\{ {-{\eta ^2}} \right\}

Rücksubstitution:

\Rightarrow \quad \frac{{dT}}{{d\eta }} = {c_1} \cdot \exp \left\{ {-{\eta ^2}} \right\}

\Rightarrow \quad dT = {c_1} \cdot \exp \left\{ {-{\eta ^2}} \right\}d\eta \qquad \left| {\int {} } \right.

\Rightarrow \quad T = {c_1} \cdot \int\limits_0^\eta {\exp \left\{ {-{\zeta ^2}} \right\}d\zeta } +{c_2}

Mit Hilfe der Randbedingung und Anfangsbedingung bestimmen wir die Konstanten {c_1} und {c_2}:

\eta = 0:\quad T\mathop = \limits^! {T_S}\quad \Rightarrow \quad {c_2} = {T_s}

\eta \to \infty :\quad T\mathop = \limits^! {T_0}\quad \Rightarrow \quad {T_0} = {T_S}+{c_1} \cdot \int\limits_0^\infty {\exp \left\{ {-{\zeta ^2}} \right\}d\zeta }

Das Integral kann man in einer Mathe-Formelsammlung nachschauen:

\int\limits_0^\infty {\exp \left\{ {-{x^2}} \right\}dx} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}

Damit folgt:

{T_0} = {T_S}+\frac{{\sqrt \pi }}{2}{c_1}\quad \Rightarrow \quad {c_1} = \frac{{2\left( {{T_0}-{T_S}} \right)}}{{\sqrt \pi }}

Einsetzen:

T\left( \eta \right) = {c_1} \cdot \int\limits_0^\eta {\exp \left\{ {-{\zeta ^2}} \right\}d\zeta } +{c_2} = \frac{{2\left( {{T_0}-{T_S}} \right)}}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^\eta {\exp \left\{ {-{\zeta ^2}} \right\}d\zeta } +{T_S}

T\left( {\eta = \frac{x}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}} \right) = {T_S}+\left( {{T_0}-{T_S}} \right)\frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^{\frac{x}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}} {\exp \left\{ {-{\zeta ^2}} \right\}d\zeta }

= {T_S}+\left( {{T_0}-{T_S}} \right) \cdot \operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{\sqrt {4\alpha \tau } }}} \right)

“erf” ist dabei die “Error-Function”, also die Gaußsche Fehlerfunktion.

wst-4-05-gauss-fehlerfunktion-error-function

Für Übungsaufgaben liegen die Werte der Fehlerfunktion auch tabelliert vor:

\begin{array}{*{20}{c}} \eta &\vline & {\operatorname{erf} \left( \eta \right)}&\vline & \eta &\vline & {\operatorname{erf} \left( \eta \right)}&\vline & \eta &\vline & {\operatorname{erf} \left( \eta \right)} \\ \hline {{\text{0}}{\text{,00}}}&\vline & {\text{0}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,65}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,642029}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,6}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,976348}}} \\ {{\text{0}}{\text{,05}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,056372}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,70}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,677801}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,7}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,983790}}} \\ {{\text{0}}{\text{,10}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,112463}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,75}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,711156}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,8}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,989091}}} \\ {{\text{0}}{\text{,15}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,167996}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,80}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,742101}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,9}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,992790}}} \\ {{\text{0}}{\text{,20}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,222703}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,85}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,770668}}}&\vline & {{\text{2}}{\text{,0}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,995322}}} \\ {{\text{0}}{\text{,25}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,276326}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,90}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,796908}}}&\vline & {{\text{2}}{\text{,2}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,998137}}} \\ {{\text{0}}{\text{,30}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,328627}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,95}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,820891}}}&\vline & {{\text{2}}{\text{,4}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,999311}}} \\ {{\text{0}}{\text{,35}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,379382}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,00}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,842701}}}&\vline & {{\text{2}}{\text{,6}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,999764}}} \\ {{\text{0}}{\text{,40}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,428392}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,10}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,880205}}}&\vline & {{\text{2}}{\text{,8}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,999925}}} \\ {{\text{0}}{\text{,45}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,475482}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,20}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,910314}}}&\vline & {{\text{3}}{\text{,0}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,999978}}} \\ {{\text{0}}{\text{,50}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,520500}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,30}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,934008}}}&\vline & {{\text{3}}{\text{,5}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,999999}}} \\ {{\text{0}}{\text{,55}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,563323}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,40}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,952285}}}&\vline & {{\text{4}}{\text{,0}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,000000}}} \\ {{\text{0}}{\text{,60}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,603856}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,50}}}&\vline & {{\text{0}}{\text{,966105}}}&\vline & {{\text{5}}{\text{,0}}}&\vline & {{\text{1}}{\text{,000000}}} \end{array}

Normierung der Variablen:

\xi = \frac{x}{L}\quad \Rightarrow \quad x = \xi \cdot L\quad \Rightarrow \quad \eta = \frac{\xi }{{\sqrt {\frac{{4\alpha \tau }}{{{L^2}}}} }},\quad \frac{{\alpha \tau }}{{{L^2}}} = {\text{Fo}} = \tau

\Rightarrow \quad \eta = \frac{\xi }{{\sqrt {4\tau } }} = \frac{\xi }{{2\sqrt \tau }}

\Theta = \frac{{T\left( \eta \right)-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}}\quad \Rightarrow \quad \Theta = \operatorname{erf} \left( {\frac{\xi }{{2\sqrt \tau }}} \right)

Damit ein halbunendlicher Körper angenommen werden darf, muss gelten:

Platte: \tau < 0,3

Zylinder: \tau < 0,13

Kugel: \tau < 0,09

Das Modell vom halbunendlichen Körper wird auch häufig genutzt, um den Wärmeübergangskoeffizienten zu bestimmen. (RB 3. Art mit x = 0)

Der Vollständigkeit halber hier die Lösungen für Randbedingungen1., 2. und 3. Art:

1. Art: konstante Wandtemperatur T\left( {x = 0,t} \right) = {T_S}:

\frac{{T\left( {x,t} \right)-{T_S}}}{{{T_0}-{T_S}}} = \operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)

2. Art: konstanter Wandwärmestrom \dot q\left( {x = 0,t} \right) = {\dot q_S}:

T\left( {x,t} \right)-{T_0} = \frac{{{{\dot q}_S}}}{k}\left( {\sqrt {\frac{{4\alpha t}}{\pi }} \exp \left\{ {-\frac{{{x^2}}}{{4\alpha t}}} \right\}-x\operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)} \right)

3. Art: gemischte Randbedingung -k{\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = 0}} = h\left( {{T_F}-{T_S}} \right):

\frac{{T\left( {x,t} \right)-{T_0}}}{{{T_F}-{T_0}}} = \operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)-\exp \left\{ {\frac{{hx}}{k}+\frac{{{h^2}\alpha t}}{{{k^2}}}} \right\}\operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}+\frac{{h\sqrt {\alpha t} }}{k}} \right)

4.3.4 Periodische Randbedingungen

Wir betrachten nun die Wärmeleitung im halbunendlichen Körper mit periodischen Randbedingungen.

wst-4-06-periodische-randbedingung

Fluidtemperatur:

{T_F} = {T_m}+\Delta T\cos \left( {\omega t} \right)

Diese Temperatur wird von der Oberfläche angenommen. Zum Körperinneren hin sinkt die Amplitude. Zu beachten ist außerdem die Phasenverschiebung.

wst-4-07-temperaturverlauf-zeit-periodische-randbedingung

Wir betrachten eine Randbedingung 3. Art:

-k{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|_{x = 0}} = h\left( {{T_F}\left( t \right)-T\left( {x = 0,t} \right)} \right)

Ansatz:

T\left( {x,t} \right) = {T_m}+\Delta T\eta {e^{-mx}}\cos \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)

Auch beim halbunendlichen Körper muss immer die Wärmeleitgleichung erfüllt sein:

\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}

Ableitung der Ansatzfunktion:

\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\Delta T\eta {e^{-mx}}\omega \sin \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)

\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = -\Delta T\eta m{e^{-mx}}\left[ {\cos \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)-\sin \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)} \right]

\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = -2\Delta T\eta {m^2}{e^{-mx}}\sin \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)

Einsetzen:

-\Delta T\eta {e^{-mx}}\omega \sin \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right) = -2\alpha \Delta T\eta {m^2}{e^{-mx}}\sin \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)

\Rightarrow \quad \omega = 2\alpha {m^2}

\Rightarrow \quad m = \sqrt {\frac{\omega }{{2\alpha }}} ,\quad \omega = \frac{{2\pi }}{{{t_0}}}

Randbedingung:

-k{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|_{x = 0}} = h\left( {{T_F}\left( t \right)-T\left( {x = 0,t} \right)} \right)

\Rightarrow \quad -k\Delta T\eta m\left[ {\cos \left( {\omega t-\varepsilon } \right)-\sin \left( {\omega t-\varepsilon } \right)} \right]

\mathop = \limits^! h\left( {{T_m}+\Delta T\cos \left( {\omega t} \right)-\left( {{T_m}+\Delta T\eta \cos \left( {\omega t-\varepsilon } \right)} \right)} \right)

Wir erhalten damit:

\frac{1}{\eta } = \sqrt {1+2R+2{R^2}} ,\quad R = \frac{{mk}}{h}

\varepsilon = \arctan \left( {\frac{R}{{1+R}}} \right)

Es ergibt sich, dass beim Ansatz

T\left( {x,t} \right) = {T_m}+\Delta T\eta {e^{-mx}}\cos \left( {\omega t-mx-\varepsilon } \right)

das \eta eine Dämpfung von \Delta T darstellt und immer kleiner als 1 sein muss. {e^{-mx}} ist die Dämpfung der Eindringtiefe. Man sieht, dass die Frequenz der Schwingung im Material sich nicht ändert. Der Term -mx-\varepsilon beschreibt eine Phasenverschiebung.

Es gibt zum Thema halbunendlicher Körper mit periodischen Randbedingungen zwei wichtige Formeln.

Wellenlänge: \Lambda = 2\sqrt {\pi \alpha {t_0}}

Eindringtiefe (Abfall auf den B-ten Teil): \frac{1}{B} = \exp \left\{ {-\frac{{2\pi {x_n}}}{\Lambda }} \right\}

4.4 Wärmeleitung im unendlichen Körper

In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, wie sich eine Deltafunktion als Temperaturverteilung instationär im Körper verteilt. Dies können wir dann auf beliebige Anfangstemperaturverteilungen verallgemeinern, die wir aus vielen Deltafunktionen zusammensetzen. Dabei beschränken wir uns auf den eindimensionalen Fall.

wst-4-08-warmeleitung-unendlicher-korper

Die Wärmeleitungsgleichung lautet:

\frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}

Anfangsbedingung:

T\left( {x,t = 0} \right)\mathop = \limits^! {T_0}\left( x \right)

Da sich das Gebiet im unendlichen Körper von -\infty bis \infty erstreckt, gibt es keine Randbedingungen.

Normierung:

\xi = \frac{x}{L},\quad \tau = \frac{{\alpha t}}{{{L^2}}},\quad \Theta = \frac{{T-{T_1}}}{{{T_1}}}

\Theta \left( {\xi ,\tau = 0} \right)\mathop = \limits^! {\Theta _0}\left( \xi \right)

Die Länge L ist dabei willkürlich gewählt. Greensche Funktion:

G\left( {\xi ,\tau } \right) = \frac{1}{{2\sqrt {\pi \tau } }}\exp \left\{ {-\frac{{{\xi ^2}}}{{4\tau }}} \right\}

Die Funktion ergibt über das Gebiet integriert immer 1:

\int\limits_{-\infty }^\infty {G\left( {\xi ,\tau } \right)d\xi } = 1\quad \forall \tau

Das ist wichtig, weil bei \tau = 0 das Integral der Dirac-Funktion über das Gebiet auch 1 sein muss. Die Funktion erfüllt außerdem die Wärmeleitungsgleichung:

\frac{{\partial G\left( {\xi ,\tau } \right)}}{{\partial \tau }}\mathop = \limits^! \frac{{{\partial ^2}G\left( {\xi ,\tau } \right)}}{{\partial {\xi ^2}}}

\frac{{\partial G}}{{\partial \tau }} = \frac{1}{{2\sqrt \pi }}\left[ {-\frac{1}{2}\frac{1}{{{\tau ^{\frac{3}{2}}}}}+\frac{1}{{\sqrt \tau }}\left( {-\frac{{{\xi ^2}}}{4}} \right)\left( {-\frac{1}{{{\tau ^2}}}} \right)} \right]\exp \left\{ {-\frac{{{\xi ^2}}}{{4\tau }}} \right\}

= G\left( {\xi ,\tau } \right)\left( {-\frac{1}{{2\tau }}+\frac{{{\xi ^2}}}{{4{\tau ^2}}}} \right)

\frac{{\partial G}}{{\partial \xi }} = \frac{1}{{2\sqrt {\pi \tau } }}\left( {-\frac{\xi }{{2\tau }}} \right)\exp \left\{ {-\frac{{{\xi ^2}}}{{4\tau }}} \right\} = -\frac{\xi }{{2\tau }}G\left( {\xi ,\tau } \right)

\frac{{{\partial ^2}G}}{{\partial {\xi ^2}}} = G\left( {\xi ,\tau } \right)\left( {-\frac{1}{{2\tau }}+\frac{{{\xi ^2}}}{{{\tau ^2}}}} \right)

Da G\left( {\xi ,\tau } \right) die Wärmeleitungsgleichung erfüllt, erfüllen auch beliebige örtliche Superpositionen G\left( {\xi -{\xi ^\prime },\tau } \right) die Gleichung:

\Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = \int\limits_{-\infty }^\infty {G\left( {\xi -{\xi ^\prime },\tau } \right){\Theta _0}\left( {{\xi ^\prime }} \right)d{\xi ^\prime }}

\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }}-\frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}} = \int\limits_{-\infty }^\infty {\left[ {\frac{{\partial G\left( {\xi -{\xi ^\prime },\tau } \right)}}{{\partial \tau }}-\frac{{{\partial ^2}G\left( {\xi -{\xi ^\prime },\tau } \right)}}{{\partial {\xi ^2}}}} \right]{\Theta _0}\left( {{\xi ^\prime }} \right)d{\xi ^\prime }} = 0

Wir prüfen nun die Anfangsbedingung. Es muss gelten:

\Theta \left( {\xi ,\tau \to 0} \right)\mathop = \limits^! 0

Wir haben für die Funktion bestimmt:

\Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = \frac{1}{{2\sqrt {\pi \tau } }}\int\limits_{-\infty }^\infty {\exp \left\{ {-\frac{{{{\left( {\xi -{\xi ^\prime }} \right)}^2}}}{{4\tau }}} \right\}{\Theta _0}\left( {{\xi ^\prime }} \right)d{\xi ^\prime }}

Dies sieht so aus, als würde der Vorfaktor für \tau \to 0 divergieren (steht im ersten Bruch im Nenner).

Wir führen eine neue Variable ein:

\beta : = \frac{{{\xi ^\prime }-\xi }}{{\sqrt {4\tau } }}

\Rightarrow \quad {\xi ^\prime } = \xi +\sqrt {4\tau } \beta

\Rightarrow \quad d{\xi ^\prime } = \sqrt {4\tau } d\beta

Einsetzen:

\Theta \left( {\xi ,\tau } \right) = \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int\limits_{-\infty }^\infty {{\Theta _0}\left( {\xi +\underbrace {\sqrt {4\tau } \beta }_{0\;{\text{fuer}}\;\tau \to 0}} \right)\exp \left\{ {-{\beta ^2}} \right\}d\beta }

Das \beta im Integral ist nun die Integrationsvariable unabhängig von \tau, der Summand \sqrt {4\tau } \beta geht daher für \tau \to 0 gegen 0.

\Theta \left( {\xi ,\tau \to 0} \right) = {\Theta _0}\left( \xi \right)\underbrace {\frac{1}{{\sqrt \pi }}\int\limits_{-\infty }^\infty {\exp \left\{ {-{\beta ^2}} \right\}d\beta } }_1 = {\Theta _0}\left( \xi \right)

Erweiterung auf den dreidimensionalen Raum

\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\xi ^2}}}+\frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\eta ^2}}}+\frac{{{\partial ^2}\Theta }}{{\partial {\zeta ^2}}}

Greensche Funktion in drei Dimensionen:

G\left( {\xi ,\eta ,\zeta ,\tau } \right) = G\left( {\xi ,\tau } \right)G\left( {\eta ,\tau } \right)G\left( {\zeta ,\tau } \right)

= \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {4\pi \tau } } \right)}^3}}}\exp \left\{ {-\frac{{{\xi ^2}+{\eta ^2}+{\zeta ^2}}}{{4\tau }}} \right\}

4.5 Produktansatz für die instationäre Wärmeleitung

Wir betrachten nun einen unendlich langen Stab mit rechteckigem Querschnitt. Um das resultierende Wärmeleitungsproblem zu lösen, benutzen wir einen Produktansatz.

Wärmeleitungsgleichung für zwei Dimensionen:

\frac{1}{\alpha }{\partial _t}T = \partial _x^2T+\partial _y^2T

Ansatz:

T\left( {x,y,t} \right) = {T_x}\left( {x,t} \right){T_y}\left( {y,t} \right)

{\partial _t}T = {T_y}{\partial _t}{T_x}+{T_x}{\partial _t}{T_y}

\partial _x^2T = {T_y}\partial _x^2{T_x}

\partial _y^2T = {T_x}\partial _y^2{T_y}

Einsetzen:

\frac{1}{\alpha }{\partial _t}T-\partial _x^2T-\partial _y^2T = \underbrace {\frac{1}{\alpha }{T_y}{\partial _t}{T_x}-{T_y}\partial _x^2{T_x}}_{{T_y}\left( {\frac{1}{\alpha }{\partial _t}{T_x}-\partial _x^2{T_x}} \right)}+\frac{1}{\alpha }{T_x}{\partial _t}{T_y}-{T_x}\partial _y^2{T_y}

Wenn {T_x}\left( {x,t} \right) die 1D-Wärmeleitungsgleichung in x-Richtung erfüllt und {T_y}\left( {y,t} \right) die 1D-Wärmeleitungsgleichung in y-Richtung, so ist T\left( {x,y,t} \right) Lösung der 2D-Wärmeleitungsgleichung.

Anfangsbedingung:

T\left( {x,y,t = 0} \right)\mathop = \limits^! {T_0}\left( {x,y} \right)

Randbedingung 1. Art:

{\left. {T\left( {x,y,t} \right)} \right|_{\partial \Omega }} = {T_{\partial \Omega }}\left( {x,y,t} \right)

Randbedingung 3. Art:

{\left. {{\partial _n}\Theta } \right|_{\partial \Omega }} = \pm \frac{h}{k}\Theta ,\quad

\Theta = {\Theta _x}{\Theta _y}\quad \Rightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Theta _y}{\partial _x}{\Theta _x} = \pm \frac{h}{k}{\Theta _y}{\Theta _x}} \\ {{\Theta _x}{\partial _y}{\Theta _y} = \pm \frac{h}{k}{\Theta _y}{\Theta _x}} \end{array}} \right.

T\left( {x,y,t} \right) = {T_x}\left( {x,t} \right){T_y}\left( {y,t} \right) erfüllt die Randbedingung 3. Art.

Anschaulich können wir uns den Produktansatz wie folgt vorstellen:

wst-4-09-produktansatz-warmeleitung

Wir rechnen mit zwei halbunendlichen Körpern, wie oben beschrieben, und kombinieren die beiden Lösungen. Dies funktioniert auch in drei Dimensionen:

wst-4-10-produktansatz-warmeleitung-komplexe-geometrie

4.6 Schmelzen und Erstarren

Reine Stoffe und eutektische Gemische erstarren und schmelzen bei bestimmten Temperaturen {T_E}, die von Stoff zu Stoff verschieden sind und geringfügig vom Druck abhängen. Das bekannteste Beispiel ist Wasser, das unter Atmosphärendruck bei {T_E} = 0^\circ C erstarrt. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie {h_E} = 333\;kJ/kg frei. Beim Schmelzen eines Festkörpers ist seine Schmelzenthalpie (entspricht {h_E}) als Wärme zuzuführen.

Bei Problemen dieser Art interessiert besonders die Geschwindigkeit, mit der sich die Grenze zwischen den Phasen bewegt. Daraus lassen sich die Zeiten berechnen, die zum Erstarren von Materialschichten gegebener Dicke erforderlich sind. Die Modellierung dieser Prozesse gehört in das Gebiet der instationären Wärmeleitung, da die an der Phasengrenze frei werdende Erstarrungsenthalpie durch den festen Körper geleitet werden muss.

Wir betrachten ein Material, das von einer Temperatur über der Schmelzgrenze auf eine Temperatur unter der Schmelzgrenze abkühlt. Die Temperatur der flüssigen Phase sei konstant. Die Phasengrenze verschiebt sich örtlich mit der Zeit, da sich immer mehr festes Material bildet:

wst-4-11-schmelzen-erstarren-phasengrenze

Randbedingung:

T\left( {x = 0,t} \right) = {T_0}

Annahmen:

\rho ,{c_V},k = \operatorname{const}

T\left( {x > s,t} \right) = {T_E}

Wärmeleitungsgleichung für 0 \leq x \leq s:

\frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}

Randbedingung für den rechten Rand (Phasengrenze):

T\left( {x = s\left( t \right),t} \right) = {T_E}

Anfangsbedingungen:

s\left( {t = 0} \right) = 0

T\left( {x,t = 0} \right) = {T_E}

Wärmestrom an der Phasengrenze:

dq = {\dot q_x}dt = k{\left. {\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|_{x = s}}dt = {h_E}\rho \;ds

Dabei ist {h_E} die Schmelzenthalpie. Wir können diese Gleichung zunächst in eine Differentialgleichung für den Fortschritt der Phasengrenze auflösen:

\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{1}{{\rho {h_E}}}{\left. {k\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right|_{x = s}}

Ansatz: Wir benutzen die Lösung für den halbunendlichen Körper mit einem Temperatursprung im Ursprung:

T\left( {x,t} \right) = {T_0}+{c_0}\operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)

Die Funktion erfüllt die Wärmeleitungsgleichung, die Anfangsbedingungen und die Randbedingungen bei x = 0. Wir müssen nun noch die andere Randbedingung einbauen:

T\left( {x = s,t} \right)\mathop = \limits^! {T_E} = {T_0}+{c_0}\operatorname{erf} \left( {\frac{{s\left( t \right)}}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{{T_E}-{T_0}}}{{{c_0}}} = \operatorname{erf} \left( {\frac{{s\left( t \right)}}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)

Dies funktioniert nur, wenn s\left( t \right) \sim \sqrt t gilt, da auf der linken Seite eine Konstante steht. Wir definieren also:

s\left( t \right) = 2\gamma \sqrt {\alpha t} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{erf} \left( {\frac{{s\left( t \right)}}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right) = \operatorname{erf} \left( \gamma \right)

\Rightarrow \quad {T_E}-{T_0} = {c_0}\operatorname{erf} \left( \gamma \right)

\Theta \left( {x,t} \right) = \frac{{T-{T_0}}}{{{T_E}-{T_0}}} = \frac{{{c_0}\operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)}}{{{T_E}-{T_0}}} = \frac{{\operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)}}{{\operatorname{erf} \left( \gamma \right)}}

T\left( {x,t} \right) = {T_0}+\frac{{{T_E}-{T_0}}}{{\operatorname{erf} \left( \gamma \right)}}\operatorname{erf} \left( {\frac{x}{{2\sqrt {\alpha t} }}} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{\partial T}}{{\partial x}} = \frac{{{T_E}-{T_0}}}{{\operatorname{erf} \left( \gamma \right)}}\frac{{\exp \left\{ {-{\gamma ^2}} \right\}}}{{\sqrt \pi \sqrt {\alpha t} }}

s\left( t \right) = 2\gamma \sqrt {\alpha t}

\Rightarrow \quad \frac{{ds}}{{dt}} = \gamma \sqrt {\frac{\alpha }{t}}

Einsetzen in die DGL für die Phasengrenze:

\gamma \sqrt {\frac{\alpha }{t}} = \frac{1}{{\rho {h_E}}}k\left( {\frac{{{T_E}-{T_0}}}{{\operatorname{erf} \left( \gamma \right)}}} \right)\left( {\frac{{\exp \left\{ {-{\gamma ^2}} \right\}}}{{\sqrt \pi \sqrt {\alpha t} }}} \right),\quad \quad \alpha = \frac{k}{{\rho {c_V}}}

Wir bekommen die folgende Bestimmungsgleichung für das \gamma:

\sqrt \pi \gamma \exp \left\{ {+{\gamma ^2}} \right\}\operatorname{erf} \left( \gamma \right) = \frac{{{c_V}\left( {{T_E}-{T_0}} \right)}}{{{h_E}}} = \operatorname{St} = \frac{1}{{\operatorname{Ph} }}

St ist die Stefan-Zahl, ihr Kehrwert ist die Phasenübergangszahl.