29 – Stablängsschwingungen 3 – Anfangsbedingungen

 

Die Eigenfunktionen sind orthogonal.

\int_0^l {\hat u_j \hat u_k dx}  = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & {j \ne k}  \\    {\frac{l} {2}} & {j = k}  \\   \end{array} } \right.

Anfangsauslenkung:

u\left( {x,0} \right) = \phi \left( x \right)

Anfangsgeschwindigkeit:

\dot u\left( {x,0} \right) = \psi \left( x \right)

Wir müssen nun eine Entwicklung nach den Eigenfunktionen durchführen.

\phi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j^* \hat u_j \left( x \right)}

\psi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)}

Multiplikation mit einer weiteren Ortsfunktion:

\phi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right)}

\psi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right)}

Integration unter Nutzung der Orthogonalität der Eigenfunktionen:

\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx}  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\int_0^l {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} }

\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx}  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\int_0^l {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} }

Es fallen alle Summanden der Summe weg, bis auf den Fall k = j:

\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx}  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\underbrace {\int_0^l {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} }_{\frac{l} {2}}}

\Rightarrow \quad \quad \int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx}  = A_j^* \frac{l} {2}

\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx}  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\underbrace {\int_0^l {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} }_{\frac{l} {2}}}

\Rightarrow \quad \quad \int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx}  = \omega _j B_j^* \frac{l} {2}

mit den Koeffizienten

A_j^*  = \frac{2} {l}\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

und

B_j^*  = \frac{2} {{\omega _j l}}\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

erhalten wir die Gesamtlösung:

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat u_j \left( x \right)\left( {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)\left( {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}

Die Eigenfunktionen sind dabei von der Art der Einspannung abhängig:

tabelle eigenfunktionen

Sie folgen aus der Anfangsauslenkung und der Anfangsgeschwindigkeit:

A_j^*  = \frac{1} {{K_j }}\int_0^l {u\left( {x,0} \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

B_j^*  = \frac{1} {{\omega _j K_j }}\int_0^l {\dot u\left( {x,0} \right)\hat u_j \left( x \right)dx}

mit

K_j  = \int_0^l {\hat u_j^2 dx}  = \frac{l} {2}

Wenn die Anfangsverteilungen als Fourier-Reihe vorliegen, folgen die Konstanten A* und B* sofort aus einem Koeffizientenvergleich.

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