29 – Stablängsschwingungen 3 – Anfangsbedingungen

Die Eigenfunktionen sind orthogonal.

$\int_0^l {\hat u_j \hat u_k dx} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {j \ne k} \\ {\frac{l} {2}} & {j = k} \\ \end{array} } \right.$

Anfangsauslenkung:

$u\left( {x,0} \right) = \phi \left( x \right)$

Anfangsgeschwindigkeit:

$\dot u\left( {x,0} \right) = \psi \left( x \right)$

Wir müssen nun eine Entwicklung nach den Eigenfunktionen durchführen.

$\phi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \hat u_j \left( x \right)}$

$\psi \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)}$

Multiplikation mit einer weiteren Ortsfunktion:

$\phi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right)}$

$\psi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right)}$

Integration unter Nutzung der Orthogonalität der Eigenfunktionen:

$\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\int_0^l {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} }$

$\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\int_0^l {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_k \left( x \right) dx} }$

Es fallen alle Summanden der Summe weg, bis auf den Fall k = j:

$\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\underbrace {\int_0^l {A_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} }_{\frac{l} {2}}}$

$\Rightarrow \quad \quad \int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = A_j^* \frac{l} {2}$

$\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\underbrace {\int_0^l {\omega _j B_j^* \hat u_j \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} }_{\frac{l} {2}}}$

$\Rightarrow \quad \quad \int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right) dx} = \omega _j B_j^* \frac{l} {2}$

mit den Koeffizienten

$A_j^* = \frac{2} {l}\int_0^l {\phi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right)dx}$

und

$B_j^* = \frac{2} {{\omega _j l}}\int_0^l {\psi \left( x \right)\hat u_j \left( x \right)dx}$

erhalten wir die Gesamtlösung:

$u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\hat u_j \left( x \right)\left( {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}$

$u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)\left( {A_j^* \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j^* \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}$