27 – Stablängsschwingungen 1 – Herleitung der DGL

 

Wir betrachten ein kleines Stück aus dem schwingenden Dehnstab:

Stablängsschwingung herleitung dgl

EA: Dehnsteifigkeit
ρA = µ: Masse pro Längeneinheit
qx(x, t): eingeprägte Normalkraft pro Längeneinheit
u(x, t): Verschiebung in Stablängsrichtung

Es kommt zu Dehnschwingungen in Richtung der Stabachse, die vor allem longitudinale Anteile haben.

Herleitung der DGL

Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes in x-Richtung schließen wir auf die Differentialgleichung.

dm\ddot u = N+dN-N+q_x dx

mit

dm = \rho dV = \rho Adx

und

dN = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx

ergibt

\rho Adx\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx+q_x dx

Mit Materialgleichung

N = EA\varepsilon _x

EA ist die Längssteifigkeit. Wir können schreiben:

N = EA\frac{{\partial u}} {{\partial x}}

Wir erhalten damit

\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {EA\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right)+q_x = \rho A\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Im Gegensatz zur Saite muss hier also das Material berücksichtigt werden. EA hängt möglicherweise von x ab. Ist dies nicht der Fall, kann EA vor die Ableitung gezogen werden.

Die DGL soll nun zunächst für freie Schwingungen gelöst werden. Wir betrachten einen Stab konstanter Längssteifigkeit (EA = const). Die DGL vereinfacht sich wie folgt:

EA\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \rho A\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Wir bringen die Konstanten auf eine Seite:

\frac{{EA}} {{\rho A}}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Die Querschnittsfläche kürzt sich heraus, für den restlichen Quotienten schreiben wir

c_D = \sqrt {\frac{E} {\rho }}

(Ausbreitungsgeschwindigkeit von Dehnwellen in Stäben). Eingesetzt ergibt sich

c_D^2 \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}

Lösung der Differentialgleichung

Bernoulli-Ansatz

u\left( {x,t} \right) = \hat u\left( x \right)T\left( t \right)

Wir erhalten zwei gewöhnliche Differentialgleichungen und kommen auf die Gesamtlösung

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

mit der Wellenzahl k_j = \frac{{\omega _j }} {{c_D }}

Die weitere Behandlung erfolgt analog zur Saite. Neu ist, dass es verschiedene Randbedingungen geben kann.